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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Di 18.06.2013 | | Autor: | blubblub |
| Aufgabe | Gegeben sei [mm] \dot{x} [/mm] = f(x) auf [mm] \IR^n. [/mm] Sei z [mm] \in \IR^n [/mm] so, dass die Lösung [mm] \Phi(t,z) [/mm] für alle t [mm] \ge [/mm] 0 existiert. Zeigen Sie:
w(z)={y [mm] \in \IR^n; \forall [/mm] t > 0 [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] t* > t: [mm] ||\Phi [/mm] (t*, z)-y|| < [mm] \varepsilon} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich sitze gerade an dieser Aufgabe und habe leider keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Kann mir jemand weiterhelfen? Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Liebe Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Di 18.06.2013 | | Autor: | fred97 |
Oh mann , oh mann. Das ist ja mal wieder eine dahingerotzte "Aufgabe" !
1. Soll f auf [mm] \IR^n [/mm] lokal Lipschitzstetig sein. Ich nehme an, ja.
2. Du schreibst:
"Sei z $ [mm] \in \IR^n [/mm] $ so, dass die Lösung $ [mm] \Phi(t,z) [/mm] $ für alle t $ [mm] \ge [/mm] $ 0 existiert."
Auch hier kann ich nur ahnen, was gemeint sein könnte:
Man betrachtet das Anfangswertproblem
$ [mm] \dot{x} [/mm] = f(x), [mm] \quad [/mm] x(0)=z.$
Ist f lokal Lip-stetig, so hat dieses AWP genau eine Lösung. Ich vermute, dass diese Lösung mit $ [mm] \Phi(*,z) [/mm] $ bez. wird. Ist das so ?
3. Für z [mm] \in \IR^n [/mm] wird definiert:
[mm] $w(z)=\{y \in \IR^n: \forall t > 0 \forall \varepsilon > 0 \exists t* > t: ||\Phi (t*, z)-y|| < $ \varepsilon \}$
[/mm]
Jetzt kommt die große Preisfrage:
was ist zu zeigen ?????????
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 Mi 19.06.2013 | | Autor: | blubblub |
Hallo Fred,
danke für deine Antwort.
Ich habe diese Aufgabe genauso bekommen, wie sie oben steht. Wir hatten keine Angaben zum AWP oder zu der Lipschitzstetigkeit. Aus diesem Grund konnte ich mit dieser Aufgabe GAR NICHTS anfangen.
Leider kann ich deine letzte Frage ebenfalls nicht beantworten. I-wie bin ich zu doof für DGL :-(
Könntest du mir helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Mi 19.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
> danke für deine Antwort.
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> Ich habe diese Aufgabe genauso bekommen, wie sie oben
> steht. Wir hatten keine Angaben zum AWP oder zu der
> Lipschitzstetigkeit. Aus diesem Grund konnte ich mit dieser
> Aufgabe GAR NICHTS anfangen.
>
> Leider kann ich deine letzte Frage ebenfalls nicht
> beantworten. I-wie bin ich zu doof für DGL :-(
>
> Könntest du mir helfen?
Oben steht:
"Zeigen Sie:
w(z)={y $ [mm] \in \IR^n; \forall [/mm] $ t > 0 $ [mm] \forall \varepsilon [/mm] $ > 0 $ [mm] \exists [/mm] $ t* > t: $ [mm] ||\Phi [/mm] $ (t*, z)-y|| < $ [mm] \varepsilon} [/mm] $"
Ja, was ist zu zeigen ???????????????????????????
FRED
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