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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:52 Di 16.02.2021 | | Autor: | Noya |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Bilinearform $b: [mm] H_0(curl) \times H^1_0(\Omega) \to \mathbb{R}$ [/mm] mit
$b(y, [mm] \psi) [/mm] = [mm] \int_{\Omega} [/mm] y [mm] \nabla \psi [/mm] dx$ stetig ist. |
Hallo ihr Lieben,
ich möchte gerne die obige Aussage zeigen.
Eine BLF $b: X [mm] \times [/mm] Y [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] ist stetig gdw eine Konstante $c >0$ existiert, s.d.
$ [mm] |b(u,v)|\le [/mm] c [mm] \parallel [/mm] u [mm] \parallel_X \parallel v\parallel_Y [/mm] $
Wir haben die Normen
[mm] $\parallel [/mm] u [mm] \parallel_{H(curl)}= [/mm] ( [mm] \parallel [/mm] u [mm] \parallel^2_{L^2(\Omega)}+\parallel [/mm] curl u [mm] \parallel^2_{L^2(\Omega)})^{\bruch{1}{2}}$
[/mm]
und
(hier war ein Fehler:)
[mm] $\parallel [/mm] u [mm] \parallel_{ H^1_0(\Omega)}= (\int_{\Omega} |\nabla u|^2dx)^{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \parallel \nabla [/mm] u [mm] \parallel_{L^2(\Omega)}$, [/mm] wobei mit curl die rotation gemeint ist.
Bis hier hin komme ich
(*)$|b(y, [mm] \psi) [/mm] )|= [mm] |\int_{\Omega} [/mm] y [mm] \nabla \psi [/mm] dx| = [mm] |(y,\nabla \psi)_{L^2(\Omega)}| \le \parallel [/mm] y [mm] \parallel_{L^2(\Omega)} \parallel \nabla \psi \parallel_{L^2(\Omega)} \le \parallel [/mm] y [mm] \parallel_{L^2(\Omega)}\parallel \psi \parallel_{ H^1_0(\Omega)}$
[/mm]
kommen möchte ich auf
$|b(y, [mm] \psi) [/mm] )| [mm] \le c\parallel [/mm] y [mm] \parallel_{H(curl)} \parallel \psi \parallel_{H^1_0(\Omega)}$
[/mm]
Aber wie schätze ich
[mm] $\parallel [/mm] y [mm] \parallel_{L^2(\Omega)} \le \parallel [/mm] y [mm] \parallel_{H(curl)} [/mm] =( [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel^2_{L^2(\Omega)}+\parallel [/mm] curl y [mm] \parallel^2_{L^2(\Omega)})^{\bruch{1}{2}}$
[/mm]
Ist das so in Ordnung?:
[mm] $\parallel [/mm] y [mm] \parallel^2_{L^2(\Omega)} \le \parallel [/mm] y [mm] \parallel^2_{L^2(\Omega)}+\parallel [/mm] curl y [mm] \parallel^2_{L^2(\Omega)} =\parallel [/mm] y [mm] \parallel^2_{H(curl)}$
[/mm]
Und erhalte so insgesamt dann das erwünschte Ergebnis?
Oder ist das totaler Blödsinn?
Vielen Dank und liebe Grüße
Noya
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 24.02.2021 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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