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B(X)-B(Y)-messbar: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:32 Do 25.04.2019
Autor: TS85

Aufgabe
Zeigen Sie, dass jede stetige Abbildung f: X [mm] \to [/mm] Y zwischen metrischen Räumen X,Y [mm] \mathcal{B}(X)-\mathcal{B}(Y)-messbar [/mm] ist.

Ersteinmal: Liege ich damit richtig, dass hier die [mm] Borelsche-\sigma [/mm] Algebra
gemeint ist?

Als Beweis würde ich dann anführen, dass [mm] \mathcal{B}(Y) [/mm] von den offenen Mengen [mm] \mathcal{O}(Y) [/mm] von Y erzeugt wird.
Es sei dazu V [mm] \in \mathcal{O}(Y). [/mm] Wegen der Stetigkeit von
f ist [mm] f^{-1}(V) \in \mathcal{O}(X). [/mm] Und [mm] \mathcal{O}(X) \subseteq \mathcal{B}(X). [/mm]

Ist die Argumentation richtig und fehlt irgendetwas? Falls die Argumentation falsch ist, wie geht es richtig?

        
Bezug
B(X)-B(Y)-messbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 Do 25.04.2019
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass jede stetige Abbildung f: X [mm]\to[/mm] Y zwischen
> metrischen Räumen X,Y
> [mm]\mathcal{B}(X)-\mathcal{B}(Y)-messbar[/mm] ist.
>  Ersteinmal: Liege ich damit richtig, dass hier die
> [mm]Borelsche-\sigma[/mm] Algebra
>  gemeint ist?

Das würde ich vermuten. Du hörst doch die Vorlesung, dort werden Bezeichnungen eingeführt, also solltest Du diese kennen.


>  
> Als Beweis würde ich dann anführen, dass [mm]\mathcal{B}(Y)[/mm]
> von den offenen Mengen [mm]\mathcal{O}(Y)[/mm] von Y erzeugt wird.
>  Es sei dazu V [mm]\in \mathcal{O}(Y).[/mm] Wegen der Stetigkeit
> von
>  f ist [mm]f^{-1}(V) \in \mathcal{O}(X).[/mm] Und [mm]\mathcal{O}(X) \subseteq \mathcal{B}(X).[/mm]
>  
> Ist die Argumentation richtig und fehlt irgendetwas?


Es fehlt noch was . Du hast nur gezeigt: ist V offen in Y, so ist  $ [mm] f^{-1}(V) \in \mathcal{B}(X). [/mm] $

Zeige dies auch für $V [mm] \in \mathcal{B}(Y).$ [/mm]


> Falls
> die Argumentation falsch ist, wie geht es richtig?


Bezug
                
Bezug
B(X)-B(Y)-messbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:06 Do 25.04.2019
Autor: TS85

Der gleiche Vorgang nur anders herum mit der Folgerung, dass [mm] \mathcal{B}(X)-\mathcal{B}(Y)-messbar [/mm] ist? Vermutlich nicht?

Bezug
                        
Bezug
B(X)-B(Y)-messbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:59 Do 25.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Der gleiche Vorgang nur anders herum

was soll denn "anders herum" sein?

Ihr hattet bestimmt sowas wie:
Sei $f: [mm] (X,\mathcal{A}) \to (Y,\mathcal{B})$ [/mm] eine Abbildung zwischen zwei meßbaren Räumen und [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] ein Erzeuger von [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] (d.h. [mm] $\sigma(\mathcal{C}) [/mm] = [mm] \mathcal{B}$) [/mm] so gilt:

f ist [mm] $\mathcal{A} [/mm] - [mm] \mathcal{B}$ [/mm] - meßbar, genau dann, wenn [mm] $f^{-1}(C) \in \mathcal{A}$ [/mm] für alle $C [mm] \in \mathcal{C}$ [/mm]

Es reicht also, alle Elemente eines Erzeugers der Bild-Sigma-Algebra zu betrachten anstatt die gesamte Sigma-Algebra.

Falls nicht: Zeige es!

Gruß,
Gono

Bezug
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