Bahnen auf R² < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:03 Sa 23.11.2013 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | Sei G = [mm] \{\pmat{ a & -b \\ b & a } | a,b \in \IR, a^{2}+b^{2} \not= 0 \}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass G eine Gruppe ist, die auf natürliche Art und Weise auf [mm] \IR^{2} [/mm] operiert. Beschreiben Sie die Bahnen von G. |
Hallo 
Stecke leider ein wenig in dieser Aufgabe fest... :-(
i) G eine Gruppe?:
UO): G [mm] \not= \emptyset
[/mm]
z.B. [mm] E_{2} \in [/mm] G [mm] \Rightarrow [/mm] G [mm] \not= \emptyset
[/mm]
U1): a,b [mm] \in [/mm] G [mm] \Rightarrow [/mm] a*b [mm] \in [/mm] G:
Sei a= [mm] \pmat{ a & -b \\ b & a}, [/mm] b= [mm] \pmat{ c & -d \\ d & c} \Rightarrow [/mm] a*b= [mm] \pmat{ ac-bd & -(ad+cb) \\ ad+cb & ac-bd }
[/mm]
z.z. [mm] (ac-bd)^{2}+(ad+cb)^{2} \not= [/mm] 0:
[mm] \Rightarrow (ac-bd)^{2}+(ad+cb)^{2}=a^{2}(c^{2}+d^{2})+b^{2}(c^{2}+d^{2}).
[/mm]
Sei [mm] c^{2}+d^{2}:=k, \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow a^{2}k+b^{2}k. [/mm] Da [mm] a^{2}+b^{2} \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow a^{2}k+b^{2}k \not= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] a*b [mm] \in [/mm] G
U2): a [mm] \in [/mm] G [mm] \Rightarrow a^{-1} \in [/mm] G:
Da weiss ich noch nicht richtig weiter. Da kommt bis jetzt nur Buchstabenwirrwarr heraus^^
[mm] \Rightarrow [/mm] (G,*) eine Gruppe
ii) Operation auf [mm] \IR^{2}:
[/mm]
Sei f: G [mm] \times \IR^{2} \rightarrow \IR^{2}; [/mm] (a,x) [mm] \longmapsto [/mm] a*x:
01) (ab)x=a(bx), [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] G, x [mm] \in \IR^{2}:
[/mm]
Seien a,b wie oben bei U1) und [mm] x=\vektor{x_{1} \\ x_{2}}:
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (ab)x= [mm] \pmat{ ac-bd & -(cb+ad) \\ cb+ad & ac-bd } \vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{ (ac-bd)x_{1}-(cb+ad)x_{2} \\ (cb+ad)x_{1}+(ac-bd)x_{2} }=\vektor{a(cx_{1}-dx_{2})-b(dx_{1}+cx_{2}) \\ b(cx_{1}-dx_{2})+a(dx_{1}+cx_{2})} [/mm] = [mm] \pmat{ a & -b \\ b & a }\vektor{ cx_{1}-dx_{2} \\ dx_{1}+cx_{2}} [/mm] = a(bx)
02) [mm] \exists [/mm] e [mm] \in [/mm] G: ex=x:
[mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\vektor{x_{1} \\x_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} \\x_{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (G,*) operiert auf [mm] \IR^{2}, [/mm] denn es existiert eine Abbildung f: G [mm] \times \IR^{2} \rightarrow \IR^{2} [/mm] mit den Eigenschaften O1,O2
iii) Beschreibung der Bahnen von G:
[mm] \pmat{a & -b \\ b & a}\vektor{x_{1} \\x_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{ax_{1}-bx_{2} \\ bx_{1}+ax_{2}}=\vektor{ax_{1} \\ ax_{2}}+\vektor{-bx_{2}\\bx_{1}}
[/mm]
Die Bahnen sind Geraden durch den Ursprung, die [mm] \IR^{2} [/mm] vollständig abdecken.
Weiss nicht wirklich, was ich da großartig schreiben könnte.
Würde mich sehr freuen, wenn jemand eine Idee hat
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 So 24.11.2013 | | Autor: | DrRiese |
Keiner 'ne Idee? :-(
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> Sei G = [mm]\{\pmat{ a & -b \\ b & a } | a,b \in \IR, a^{2}+b^{2} \not= 0 \}.[/mm]
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> Zeigen Sie, dass G eine Gruppe ist, die auf natürliche Art
> und Weise auf [mm]\IR^{2}[/mm] operiert. Beschreiben Sie die Bahnen
> von G.
>
>
>
>
> U2): a [mm]\in[/mm] G [mm]\Rightarrow a^{-1} \in[/mm] G:
>
> Da weiss ich noch nicht richtig weiter. Da kommt bis jetzt
> nur Buchstabenwirrwarr heraus^^
Hallo,
da ich das Wirrwarr nicht sehe, ist es scher, etwas dazu zu sagen...
Wir können aber mal feststellen, daß die Elemente von G invertierbar sind (Determinante [mm] \not=0),
[/mm]
und die Inversen von [mm] 2\times [/mm] 2-Matrizen sind doch wohlbekannt.
Hier:
[mm] \pmat{ a & -b \\ b & a } ^{-1}=\bruch{1}{a^2+b^2}\pmat{ a & b \\ -b & a }.
[/mm]
Paßt.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (G,*) eine Gruppe
>
> ii) Operation auf [mm]\IR^{2}:[/mm]
> Sei f: G [mm]\times \IR^{2} \rightarrow \IR^{2};[/mm] (a,x)
> [mm]\longmapsto[/mm] a*x:
> iii) Beschreibung der Bahnen von G:
>
> [mm]\pmat{a & -b \\ b & a}\vektor{x_{1} \\x_{2}}[/mm] =
> [mm]\vektor{ax_{1}-bx_{2} \\ bx_{1}+ax_{2}}=\vektor{ax_{1} \\ ax_{2}}+\vektor{-bx_{2}\\bx_{1}}[/mm]
>
> Die Bahnen sind Geraden durch den Ursprung, die [mm]\IR^{2}[/mm]
> vollständig abdecken.
Das sehe ich nicht.
Ich muß mich aber gerade auch etwas anstrengen, diese Bahnen-Geschichte sortiert zu bekommen in meinem Hirn, sie ist mir nicht sehr gegenwärtig. Aber da bisher niemand etwas gesagt hat, traue ich mich halt trotzdem mal...
[mm] Gx:=\{gx|g\in G} [/mm] ist doch die Bahn von x, also die Bahn für ein festes x.
Mit [mm] x:=\vektor{x_1\\x_2} [/mm] haben wir
[mm] Gx=\{a\vektor{x_1\\x_2}+b\vektor{-x_2\\x_1}| \vektor{a\\b}\in \IR^2\setminus\{\vektor{0\\0}\}\}.
[/mm]
Bis hierher sind wir uns soweit einig.
Ich denke nun so:
Wenn [mm] \vektor{x_1\\x_2}\not=\vektor{0\\0}, [/mm] dann sind [mm] \vektor{x_1\\x_2} [/mm] und [mm] \vektor{-x_2\\x_1} [/mm] linear unabhängig, und es ist
[mm] Gx=\IR^2\setminus \vektor{0\\0}.
[/mm]
Ist [mm] x_1=0=x_2, [/mm] so haben wir
[mm] Gx=\{\vektor{0\\0}\}.
[/mm]
Es gibt also meinem Verständnis nach nur zwei Bahnen, [mm] \IR^2\setminus \vektor{0\\0} [/mm] und [mm] \{\vektor{0\\0}\}.
[/mm]
Falls ich mich täusche, bitte ich ausdrücklich um Belehrung!
LG Angela
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> Weiss nicht wirklich, was ich da großartig schreiben
> könnte.
>
> Würde mich sehr freuen, wenn jemand eine Idee hat
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:26 Di 26.11.2013 | | Autor: | DrRiese |
Hi, vielen Dank für die Antwort
Viele Grüße,
DrRiese
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