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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Bahnformel, Satz von Lagrange
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Bahnformel, Satz von Lagrange: Verständnisproblem Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:07 Mo 08.08.2016
Autor: sandroid

Hallo,

ich arbeite gerade dieses Skript zur Algebra durch:

http://www.user.tu-berlin.de/chenetzer/pdfs/Algebra.pdf

Auf Seite 6 wird die Bahnformel eingeführt: Sei $G$ eine endliche Gruppe und $X$ eine Menge, $.:G [mm] \times [/mm] X [mm] \to [/mm] X$, $(g,x) [mm] \mapsto [/mm] g.x$ eine Gruppenoperation von $G$ auf $X$. Dann gilt für jedes $x [mm] \in [/mm] X$:

[mm] $|G|=|G_x||G.x|$ [/mm]

wobei [mm] $G_x$ [/mm] der Stabilisator von $x$ und $G.x$ die Bahn von $x$.

So weit so gut, die Formel und ihren Beweis habe ich verstanden. Nun wird auf Seite 8 der Satz von Lagrange eingeführt und behauptet, dass dieser unmittelbar aus der Bahnformel folge:

Es sei $G$ eine endliche Gruppe und $H [mm] \le [/mm] G$ eine Untergruppe. Dann gilt:

$|G| = (G:H)|H|$

Für die Definition von $(G:H)$ (falls diese Notation nicht gängig) siehe bitte das verlinkte Skript, Seite 7.

Frage: Ich verstehe nicht, wieso der Satz von Lagrange aus der Bahnformel folgt. Ich habe schon verschieden versucht, diese anzuwenden, doch kam nicht zu dieser Form.

Vielen Dank für jede Hilfe!

Gruß,
Sandro

        
Bezug
Bahnformel, Satz von Lagrange: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:22 Mo 08.08.2016
Autor: indyze

Guten Morgen, sandroid! :-)

Betrachte einmal die Wirkung von $G$ auf $G/H$, welche durch Linksmultiplikation gegeben ist. Versuche, Bahn und Stabilisator von [mm] $1H\in [/mm] G/H$ zu bestimmen.

Mathematische Grüße
indyze

Bezug
                
Bezug
Bahnformel, Satz von Lagrange: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:21 Mo 08.08.2016
Autor: sandroid


Hallo indyze,

vielen Dank für diese sehr hilfreiche Antwort!

Ich habe es nun verstanden. Mein Problem war, dass ich die Wirkung von $G$ auf der falschen Menge betrachtet habe.

Gruß,
Sandro

Bezug
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