Bakterienkultur < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Mi 18.01.2012 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Ein Chemiker behauptet, die Wachstumsrate einer Bakterienkultur werde unter bestimmten Bedingungen durch die folgende Funktion f : [mm] \IR \to \IR [/mm] mit
f(t) = [mm] \bruch{|t|}{1 + |t|}
[/mm]
beschrieben. Unter den gegebenen physikalischen Voraussetzungen kann das nur stimmen, wenn die Funktion für t < 0 streng monoton fällt und für t > 0 streng monoton wächst und f(t) < 1 für alle t [mm] \in \IR [/mm] gilt. Hinweis: Machen Sie geeignete Fallunterscheidungen. |
Guten Abend,
Also erstmal sieht man ja direkt das der Grenzwert 1 für t [mm] \to \pm \infty [/mm] ist.
Dann weiß ich ja, wie ich die Monotonie nachweise, aber ich weiß nicht genau wie das jetzt hier gemeint ist und wie ich das machen soll. Ich kann erstmal die Monotonie für t > 0 beweisen, da die Funktion für t > 0 so aussieht
f(t) = [mm] \bruch{t}{t + 1}, \forall [/mm] t > 0
Dann würde ich es so machen:
f(t) < f(t+1)
f(1) < f(2) [mm] \to [/mm] stimmt
f(t+1) < f(t+2)
[mm] \bruch{t + 1}{t + 2} [/mm] < [mm] \bruch{t + 2}{t + 3}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 3 < 4 [mm] \to [/mm] stimmt
Also ist ist die Funktion streng monoton steigend für t > 0.
Wie mache ich das jetzt für t < 0??
Ich habe irgendwie sowas im Kopf:
Erstmal sieht die Funktion so aus für t < 0
f(t) = [mm] \bruch{-t}{-t + 1}, \forall [/mm] t < 0
aber wenn ich es nun genauso machen wie vorher, dann geht es nicht.
Und das mit dem f(t) < 1 beweise ich ja mit dem Limes, wenn mich nicht
alles täuscht. Ach und was ist hier mit einer geeigneten Fallunterscheidung
gemeint?
Kann mir wer weiterhelfen?
Gruß
al3pou
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Hallo al3pou,
> Ein Chemiker behauptet, die Wachstumsrate einer
> Bakterienkultur werde unter bestimmten Bedingungen durch
> die folgende Funktion f : [mm]\IR \to \IR[/mm] mit
>
> f(t) = [mm]\bruch{|t|}{1 + |t|}[/mm]
>
> beschrieben. Unter den gegebenen physikalischen
> Voraussetzungen kann das nur stimmen, wenn die Funktion
> für t < 0 streng monoton fällt und für t > 0 streng
> monoton wächst und f(t) < 1 für alle t [mm]\in \IR[/mm] gilt.
> Hinweis: Machen Sie geeignete Fallunterscheidungen.
> Guten Abend,
>
> Also erstmal sieht man ja direkt das der Grenzwert 1 für t
> [mm]\to \pm \infty[/mm] ist.
> Dann weiß ich ja, wie ich die Monotonie nachweise, aber
> ich weiß nicht genau wie das jetzt hier gemeint ist und
> wie ich das machen soll. Ich kann erstmal die Monotonie
> für t > 0 beweisen, da die Funktion für t > 0 so
> aussieht
>
> f(t) = [mm]\bruch{t}{t + 1}, \forall[/mm] t > 0
>
> Dann würde ich es so machen:
>
> f(t) < f(t+1)
> f(1) < f(2) [mm]\to[/mm] stimmt
> f(t+1) < f(t+2)
>
> [mm]\bruch{t + 1}{t + 2}[/mm] < [mm]\bruch{t + 2}{t + 3}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 3 < 4
> [mm]\to[/mm] stimmt
>
> Also ist ist die Funktion streng monoton steigend für t >
> 0.
> Wie mache ich das jetzt für t < 0??
> Ich habe irgendwie sowas im Kopf:
> Erstmal sieht die Funktion so aus für t < 0
>
> f(t) = [mm]\bruch{-t}{-t + 1}, \forall[/mm] t < 0
>
> aber wenn ich es nun genauso machen wie vorher, dann geht
> es nicht.
> Und das mit dem f(t) < 1 beweise ich ja mit dem Limes,
> wenn mich nicht
> alles täuscht. Ach und was ist hier mit einer geeigneten
> Fallunterscheidung
> gemeint?
> Kann mir wer weiterhelfen?
>
Hier musst Du doch zeigen, daß aus
[mm]f\left(t_{1}\right) > f\left(t_{2}\right)[/mm]
folgt, daß [mm]t_{1} < t_{2}[/mm] ist.
> Gruß
> al3pou
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mi 18.01.2012 | | Autor: | al3pou |
Okay, deinen Tipp verstehe ich nicht wirklich. Kannst du vielleicht nochmal anders erklären was du meinst?
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Hallo al3pou,
> Okay, deinen Tipp verstehe ich nicht wirklich. Kannst du
> vielleicht nochmal anders erklären was du meinst?
Wenn eine Funktion streng monoton fallen soll,
dann muss für zwei aufeindanderfolgende Werte [mm]t_{1}, \ t_{2}, \ t_{1}
daß der Funktionswert an der Stelle [mm]t_{1}[/mm] größer ist
als der Funktionswert an der Stelle [mm]t_{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mi 18.01.2012 | | Autor: | al3pou |
Okay, so ist besser erklärt :). Also das weiß ich ja, aber wie genau mache ich
dass dann mit der Fallunterscheidung? Ich meine solange t>0 ist sollte es kein
Problem sein (habe ich ja auch schon gemacht), aber wenn t<0 ist komme ich damit
nicht klar. Kann mir das eventuell jemand einmal vorrechnen oder etwas
detaillierter erklären oder wie ich das richtig mit der Fallunterscheidung mache,
weil für t>0 ist es ja kein Problem aber ich weiß nicht wie ich die Funktion für
t<0 darstellen kann.
Gruß
al3pou
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 Do 19.01.2012 | | Autor: | meili |
Hallo al3pou,
Nachdem Du t >0 erledigt hast:
Für t < 0:
$f(t) = [mm] \bruch{-t}{1-t}$
[/mm]
Nun solltest Du für streng momoton fallend überlegen,
wie die Funktionswerte [mm] $f(t_1)$ [/mm] und [mm] $f(t_2)$ [/mm] für [mm] $t_1 [/mm] < [mm] t_2 [/mm] < 0$ sind.
Gruß
meili
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