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Forum "Set Theory" - Ball ohne abgeschlossenen Ball
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Ball ohne abgeschlossenen Ball: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 15:09 Mo 01/08/2016
Author: phifre

Aufgabe
Warum ist [mm] $B_\varepsilon(x)\backslash \overline{B_\delta(x)}$ [/mm] offen?

Hallo!

Ich bin über diese theoretische Frage gestolpert und weiß leider nicht, wie ich an sie rangehen soll.
Gibt es bessere Möglichkeiten als zu zeigen, dass es um jeden Punkt noch eine offene Umgebung gibt?

Vielen Dank!

        
Bezug
Ball ohne abgeschlossenen Ball: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 15:29 Mo 01/08/2016
Author: huddel

ich hoffe mal, dir ist etwas topologie bekannt:

Eine Teilmenge $A$ eines topologischen Raums $X$  ist genau dann abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist (per Definition) und weiter gilt für zwei Mengen $A,B [mm] \subset [/mm] X$:

[mm] $A\setminus [/mm] B  = [mm] A\cap B^c$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow A\setminus\overline{B}$ [/mm] =  [mm] A\cap \overline{B}^c$ [/mm]

nun ist aber [mm] $\overline{B}^c$ [/mm] per Definition offen und wenn $A$ offen ist, haben wir einen endlichen schnitt offener Mengen, was wieder offen ist.

Nun ist [mm] $B_\varepsilon(x)$ [/mm] offen [mm] $\overline{B_\delta(x)}$ [/mm] Abgeschlossen.

Damit folgt die Behauptung.

Wenn dir das alle nichts sagt, fällt mir auch nichts anderes ein, als es mit offenen Umgebungen zu machen...

LG
Huddel :)

Bezug
                
Bezug
Ball ohne abgeschlossenen Ball: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 16:22 Mo 01/08/2016
Author: phifre

Wunderbar! :)
Ja das gefällt mir gut, sagt mir alles was.

Liebe Grüße

Bezug
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