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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 So 08.06.2014 | | Autor: | Arthaire |
| Aufgabe | Betrachten Sie f : [mm] [\bruch{7}{4},2] \to \IR [/mm] definiert durch
F(x) = 1 + [mm] \bruch{1}{x} +\bruch{1}{x^2}.
[/mm]
Zeigen SIe, dass F die Voraussetzungen des Banach'schen Fixpunktsatzes erfüllt. Bestimmen Sie die Kontraktionskonstante. |
Hallo zusammen,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Um die Voraussetzungen muss ich doch zeigen, dass F
(1) stetig ist
(2) sich auf sich selbst abbildet und
(3) kontraktiv ist
(1) f ist nur an der Stelle x=0 nicht definiert, also ist sie in dem Intervall [mm] [\bruch{7}{4},2] [/mm] stetig. Reicht das als Begründung?
(2) Hier betrachte ich F(x) [mm] \ge \bruch{7}{4} [/mm] und F(x) [mm] \le [/mm] 2.
Hier bekomme ich x [mm] \ge [/mm] 2 und [mm] -\bruch{2}{3} [/mm] und x [mm] \le \bruch{-1+\wurzel{5}}{-2} [/mm] und [mm] \bruch{-1-\wurzel{5}}{-2}.
[/mm]
Sind die Ergebnisse [mm] \ge -\bruch{2}{3} [/mm] und [mm] \le \bruch{-1+\wurzel{5}}{-2} [/mm] dann nicht ein Widerspruch?
(3) Hier bekomme ich nichts Vernünftiges raus. Wenn ich [mm] \bruch{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \le [/mm] L betrachte bleibe ich bei [mm] |-\bruch{1}{xy} [/mm] - [mm] \bruch{x+y}{x^2y}| \le [/mm] L hängen. Wenn ich es über L = max|f'(x)| für x [mm] \in [/mm] [a,b] versuche bekomme ich bei [mm] |f'(\bruch{7}{4})|= [/mm] 0,047 und für |f'(2)|= [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Reicht das dann als Beweis für die Kontraktivität und habe ich damit die Kontraktionskonstante gefunden?
Vielen Dank im Voraus
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> Betrachten Sie f : [mm][\bruch{7}{4},2] \to \IR[/mm] definiert
> durch
>
> F(x) = 1 + [mm]\bruch{1}{x} +\bruch{1}{x^2}.[/mm]
>
> Zeigen SIe, dass F die Voraussetzungen des Banach'schen
> Fixpunktsatzes erfüllt. Bestimmen Sie die
> Kontraktionskonstante.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Um die Voraussetzungen muss ich doch zeigen, dass F
>
> (1) stetig ist
> (2) sich auf sich selbst abbildet und
> (3) kontraktiv ist
>
> (1) f ist nur an der Stelle x=0 nicht definiert, also ist
> sie in dem Intervall [mm][\bruch{7}{4},2][/mm] stetig. Reicht das
> als Begründung?
Hallo,
nein, das ist keine Begründung.
Eine Begründung wäre dies: f ist als Komposition stetiger Funktionen auf ihrem Definitionsbereich, also auf [mm] D=\IR\setminus \{0\} [/mm] stetig,
also ist sie insbesondere auf [mm] [\bruch{7}{4},2] \subseteq [/mm] D stetig.
> (2) Hier betrachte ich F(x) [mm]\ge \bruch{7}{4}[/mm] und F(x) [mm]\le[/mm]
> 2.
> Hier bekomme ich x [mm]\ge[/mm] 2 und [mm]-\bruch{2}{3}[/mm] und x [mm]\le \bruch{-1+\wurzel{5}}{-2}[/mm]
> und [mm]\bruch{-1-\wurzel{5}}{-2}.[/mm] sind.
Ich vermute, daß Dir beim Lösen der Ungleichung Mißgeschicke passiert sind.
Die Idee ist gut: Du schaust nach, für welche [mm] x\in [/mm] D gilt [mm] \bruch{7}{4}\le x\le [/mm] 2, und entscheidest dann, ob dies für alle x aus dem fraglichen Intervall zutrifft.
Ich bekomme:
[mm] F(x)\ge \bruch{7}{4} [/mm] ==> [mm] \bruch{-2}{3}\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2,
[mm] F(x)\le [/mm] 2 ==> [mm] x\le \bruch{1-\wurzel{5}}{2} [/mm] oder [mm] x\ge \bruch{1+\wurzel{5}}{2}.
[/mm]
Da beides gelten muß [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2}\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2, und weil dies für alle x aus dem fraglichen Intervall zutrifft,
können wir sicher sein, daß [mm] f([\bruch{7}{4},2] )\subseteq [\bruch{7}{4},2] [/mm]
> (3) Hier bekomme ich nichts Vernünftiges raus.
Seien x,y [mm] \in [\bruch{7}{4},2] [/mm]
Nach dem MWS gibt es ein [mm] a\in [/mm] ]x,y[ mit [mm] \bruch{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}=|f'(a)|\le [/mm] max [mm] |f'(x)|=|f'(\bruch{7}{4}|.
[/mm]
Es ist [mm] f'(\bruch{7}{4}\approx [/mm] -0.7, also hat man mit [mm] |f'(\bruch{7}{4}| [/mm] ein passendes L gefunden.
LG Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 So 08.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Arthaire,
> Betrachten Sie f : [mm][\bruch{7}{4},2] \to \IR[/mm]
Das sollte bestimmt ein großes [mm] $F\$ [/mm] werden.
> definiert
> durch
>
> F(x) = 1 + [mm]\bruch{1}{x} +\bruch{1}{x^2}.[/mm]
[mm] $F\$ [/mm] besitzt aber keine reelle Nullstelle!
> Zeigen SIe, dass F die Voraussetzungen des Banach'schen
> Fixpunktsatzes erfüllt. Bestimmen Sie die
> Kontraktionskonstante.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Um die Voraussetzungen muss ich doch zeigen, dass F
>
> (1) stetig ist
Das ist keine direkte Voraussetzung des BFPS. Die Stetigkeit
folgt nämlich indirekt durch die Kontraktion. Die Abbildung
[mm] F\colon[\frac{7}{4},2]=:M\to\IR
[/mm]
ist genau dann eine Kontraktion, wenn gilt:
[mm] \bullet $F(M)\subseteq [/mm] M$
[mm] \bullet $F\$ [/mm] lipschitz-stetig mit [mm] L\in[0,1).
[/mm]
Aus der Lipschitz-Stetigkeit folgt die Stetigkeit.
Die erste Voraussetzung des BFPS lautet:
[mm] \bullet $\emptyset\not=M$ [/mm] abgeschlossen.
Das ist hier natürlich der Fall, aber die Begründung über-
lasse ich an dieser Stelle dir.
Gruß
DieAcht
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