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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 So 28.02.2016 | | Autor: | sandroid |
| Aufgabe | In folgendem sei $E$ stets eine Banachalgebra mit Einselement $e [mm] \neq [/mm] 0$.
Aufgabe: Die Elemente [mm] $f_{n}$ [/mm] aus $E$ seien fast alle nichtinvertierbar, und es strebe [mm] $f_{n} \to [/mm] f$. Dann ist auch $f$ nichtinvertierbar. |
Hallo,
über die Ferein wollte ich mich ein bischen in Ana2 rein arbeiten, doch leider habe ich bis jetzt wohl noch nicht so den rechten Zugang gefunden.
Kann mir beispielsweise jemand erklären, was ich bei der genannten Aufgabe aus dem Heuser tun muss? Ich finde keinen Ansatz.
Vielen Dank.
Gruß,
Sandro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 So 28.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> In folgendem sei [mm]E[/mm] stets eine Banachalgebra mit Einselement
> [mm]e \neq 0[/mm].
>
> Aufgabe: Die Elemente [mm]f_{n}[/mm] aus [mm]E[/mm] seien fast alle
> nichtinvertierbar, und es strebe [mm]f_{n} \to f[/mm]. Dann ist auch
> [mm]f[/mm] nichtinvertierbar.
> Hallo,
>
> über die Ferein wollte ich mich ein bischen in Ana2 rein
> arbeiten, doch leider habe ich bis jetzt wohl noch nicht so
> den rechten Zugang gefunden.
>
> Kann mir beispielsweise jemand erklären, was ich bei der
> genannten Aufgabe aus dem Heuser tun muss? Ich finde keinen
> Ansatz.
Nimm an, f sei invertierbar. Die Menge der invertierbaren Elemente in E ist offen !
Jetzt Du.
Fred
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß,
> Sandro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 So 28.02.2016 | | Autor: | sandroid |
Danke Fred für deine Antwort.
Du sagst, dass die Menge der invertierbaren Elemente in $E$ offen ist, d.h. es existiert ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$, s.d. alle $x [mm] \in U_{\epsilon}$ [/mm] invertierbar. Wegen [mm] $f_{n} \to [/mm] f$ sind also alle [mm] $f_{n}$ [/mm] ab einem bestimmten [mm] $n_{0} \in \mathbb{N}$ [/mm] invertierbar. Dann aber sind dies unendlich viele solcher [mm] $f_{n}$, [/mm] entgegen dem, dass fast alle [mm] $f_{n}$ [/mm] nichtinvertierbar sind. Habe ich das so richtig verstanden?
Denn meine Frage lautet jetzt, woher du weißt, dass die Menge der invertierbaren Elemente in $E$ offen ist. Ist das immer so?
Gruß,
Sandro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:27 Mo 29.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Danke Fred für deine Antwort.
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> Du sagst, dass die Menge der invertierbaren Elemente in [mm]E[/mm]
> offen ist, d.h. es existiert ein [mm]\epsilon > 0[/mm], s.d. alle [mm]x \in U_{\epsilon}[/mm]
> invertierbar.
Das ist schlampig ! Ist [mm] f_0 [/mm] ein invertierbares Element der Banachalgebra E, so gibt es ein [mm] \epsilon [/mm] >0 mit der Eigenschaft:
alle Elemente von [mm] U_{\epsilon}(f_0):=\{f \in E: ||f-f_0||< \epsilon\} [/mm] sind invertierbar.
> Wegen [mm]f_{n} \to f[/mm] sind also alle [mm]f_{n}[/mm] ab
> einem bestimmten [mm]n_{0} \in \mathbb{N}[/mm] invertierbar. Dann
> aber sind dies unendlich viele solcher [mm]f_{n}[/mm], entgegen dem,
> dass fast alle [mm]f_{n}[/mm] nichtinvertierbar sind. Habe ich das
> so richtig verstanden?
>
> Denn meine Frage lautet jetzt, woher du weißt, dass die
> Menge der invertierbaren Elemente in [mm]E[/mm] offen ist.
Weil ich Funktionalanalytiker bin !
> Ist das
> immer so?
Ja.
Ich bin erstaunt ! Deine Aufgabe ist Aufgabe 4, § 110, Heuser, Analysis 2. In dieser Aufgabe findet man noch:
"Hinweis: Aufgabe 2".
In Aufgabe 2 findet man u.a. die folgende Behauptung:
Sei [mm] f_0 \in [/mm] E invertierbar , f [mm] \in [/mm] E und [mm] ||f-f_0||<\bruch{1}{||f_0^{-1}||},
[/mm]
so ist auch f invertierbar.
Du kannst also obiges [mm] \epsilon [/mm] wie folgt wählen: [mm] \epsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{||f_0^{-1}||}.
[/mm]
Satz: Sei [mm] (f_n) [/mm] eine Folge in E mit [mm] f_n \to f_0 \in [/mm] E und sind fast alle [mm] f_n [/mm] nichtinvertierbar, so ist auch [mm] f_0 [/mm] nichtinvertierbar.
Beweis: angenommen, [mm] f_0 [/mm] wäre invertierbar. Wähle nun [mm] \epsilon [/mm] wie besprochen.
Es gibt ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit:
[mm] f_n [/mm] ist nichtinvertiebar für [mm] n>n_0.
[/mm]
Weiter gibt es ein [mm] m_0 \in \IN [/mm] mit [mm] f_n \in U_{\epsilon}(f_0) [/mm] für n>m.
Setze N: [mm] =\max\{n_0, m_0 \}, [/mm] so haben wir den Quark:
ist n> N, so ist [mm] f_n [/mm] sowohl invertierbar, als auch nichtinvertierbar.
FRED
>
> Gruß,
> Sandro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Mo 29.02.2016 | | Autor: | sandroid |
Danke Fred,
du hast mir wieder einmal sehr weiter geholfen, vielen Dank.
Gruß,
Sandro
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