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Forum "Stetigkeit" - Banachscher Fixpunktsatz
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Banachscher Fixpunktsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:07 So 12.06.2016
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Gegenbeispiel zu Banachschem Fixpunktsatz:

Sei [mm] M:= (0, \infty) \subset \IR, f: M \to M [/mm] definiert mit [mm] f(x):= \bruch{1}{2}x. [/mm]
Dann gilt [mm] |f(x)-f(y)| = |\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{2}y| = \bruch{1}{2} |x-y| \forall x, y \in M [/mm]
Daraus folgt f ist Kontraktion, also müsste nach dem Banachschen Fixpunktsatz f genau einen Fixpunkt haben.
Aber f ist eine Gerade durch den Ursprung, hat also keinen Fixpunkt in (0, [mm] \infty). [/mm]

Hallo!

Ich glaube die Argumentation verstanden zu haben: Hier wird gezeigt, dass man vorsichtig mit den Voraussetzungen sein muss, bevor man den Satz anwenden kann, denn eine der Voraussetzungen für den Banachschen Fixpunktsatz können nicht erfüllt sein.
Ist das soweit richtig?

Dann stellt sich mir die Frage, welche Voraussetzung nicht erfüllt ist. Ich kam darauf, dass es das sein müsste, dass M kein vollständig metrischer Raum sei. Das heißt es müsste eine Cauchy-Folge [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] aus M geben, die keinen Grenzwert in M hat.
Stimmt das?

Wenn ja, wie finde ich so eine Cauchy-Folge?
Wenn nein, was verstehe ich falsch?

Es wäre super, wenn mir hier jemand beim Verständnis helfen könnte!
Liebe Grüße,
Lily

        
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:16 So 12.06.2016
Autor: fred97


> Gegenbeispiel zu Banachschem Fixpunktsatz:
>  
> Sei [mm]M:= (0, \infty) \subset \IR, f: M \to M[/mm] definiert mit
> [mm]f(x):= \bruch{1}{2}x.[/mm]
>  Dann gilt [mm]|f(x)-f(y)| = |\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{2}y| = \bruch{1}{2} |x-y| \forall x, y \in M[/mm]
>  
> Daraus folgt f ist Kontraktion, also müsste nach dem
> Banachschen Fixpunktsatz f genau einen Fixpunkt haben.
>  Aber f ist eine Gerade durch den Ursprung, hat also keinen
> Fixpunkt in (0, [mm]\infty).[/mm]
>  Hallo!
>  
> Ich glaube die Argumentation verstanden zu haben: Hier wird
> gezeigt, dass man vorsichtig mit den Voraussetzungen sein
> muss, bevor man den Satz anwenden kann, denn eine der
> Voraussetzungen für den Banachschen Fixpunktsatz können
> nicht erfüllt sein.
>  Ist das soweit richtig?

ja


>  
> Dann stellt sich mir die Frage, welche Voraussetzung nicht
> erfüllt ist. Ich kam darauf, dass es das sein müsste,
> dass M kein vollständig metrischer Raum sei. Das heißt es
> müsste eine Cauchy-Folge [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] aus M geben,
> die keinen Grenzwert in M hat.
> Stimmt das?
>  

ja


> Wenn ja, wie finde ich so eine Cauchy-Folge?

wie wäre es mit einer Nullfolge ?

fred



>  Wenn nein, was verstehe ich falsch?
>  
> Es wäre super, wenn mir hier jemand beim Verständnis
> helfen könnte!
>  Liebe Grüße,
>  Lily


Bezug
                
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:38 So 12.06.2016
Autor: Mathe-Lily

düdüm... das offensichtlichste übersehen ^^ Vielen Dank!

Bezug
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