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Forum "Funktionalanalysis" - Banachscher Fixpunktsatz
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Banachscher Fixpunktsatz: Korrektur/Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:51 Sa 28.04.2018
Autor: Noya


Aufgabe
Zeige: Die Behauptung des Banach’schen Fixpunktsatzes gilt auch unter der schwächeren Voraussetzung, dass nicht f, aber für ein m [mm] \in \IN [/mm] die m-te Iteration [mm] f^m [/mm] = f [mm] \circ [/mm] ... [mm] \circ [/mm] f eine strikte Kontraktion ist.



Hallo ihr Lieben,
zuerst unsere Definitonen aus dem Skript:

Banachscher Fixpunktsatz(aus Skript):
Sei [mm] A\subset [/mm] X eine nichtleere, abgeschlossene Menge eines vollständigen metrischen Raumes (M,d) und sei f : A [mm] \subset [/mm] X [mm] \to [/mm] A eine strikt kontraktive Selbstabbildung. Dann gilt:

(i) Die Gleichung f(x)=x, x [mm] \in [/mm] A hat genau eine Lösung x [mm] \in [/mm] A, d.h. f hat genau einen Fixpunkt in A.
(ii) Die durch [mm] x_0 \in [/mm] A, [mm] x_{n+1} [/mm] := [mm] f(x_n) [/mm] ,n=0 ,1,2,... definierte Folge [mm] (x_n) [/mm] konvergiert gegen die Lösung x für alle Startwerte [mm] x_0 \in [/mm] A.

Strikt kontraktiv(aus Skript):
Eine Abbildung f : X [mm] \to [/mm] Y zwischen metrischen Räumen (M1,d1) und (M,d2) heißt kontrahierend oder strikt-kontraktiv, wenn es ein k [mm] \in [/mm] ]0,1[ gibt, so dass für alle [mm] x_1,x_2 \in M_1 [/mm]
[mm] d_2(f(x_1),f(x_2) \le k*d_1(x_1,x_2). [/mm] Die Zahl k heißt auch ein Kontraktionsmodul von f.



Der Beweis des BFS läuft ja eigentlich in drei Schritten. Man zeigt, dass [mm] f(x_n)=x_{n+1} [/mm] einen Grenzwert besitzt, dann dass dieser ein Fixpunkt der Kontraktion ist und dann, dass der Fixpunkt eindeutig ist.

so. Hier in meinem fall brauch f keine Kontraktion sein, aber [mm] f^{m}=f \circ [/mm] ... [mm] \circ [/mm] f soll Kontraktion sein.

Meine Idee :
Nach BFS hat [mm] f^{m} [/mm] genau einen Fixpunkt : Es gibt also genau ein [mm] x\in [/mm] M mit [mm] f^{m}(x)=x. [/mm]
wende nun auf beiden Seiten f an :
f [mm] \circ f^{m}(x)= [/mm] f(x) [mm] \gdw f^{m}(f(x))=f(x) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) auch Fixpunkt von [mm] f^{m}(x). [/mm]
Da fixpunkt aber eindeutig [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=x
[mm] \Rightarrow [/mm] jeder Fixpunkt von f auch Fixpunkt von [mm] f^{m}, [/mm] also hat f genau einen Fixpunkt

Ist das soweit richtig?
jetzt muss ich noch zeigen, dass die durch [mm] x_0 \in [/mm] M und [mm] x_n+1 =f(x_n) [/mm] def. Folge gegen Fixpunkt konvergiert. Da bin ich gerade etwas ratlos. Spontan würde ich BFS auf [mm] f^{m} [/mm] anwenden. also ein [mm] y_0 \in [/mm] M und [mm] y_{n+1}=f^{m}(y_n) [/mm] was auch gegen den Fixpunkt x konvergieren muss. Aber an der Stelle weiß ich leider nicht mehr weiter und hätte gerne einen Tipp.


Liebe grüße und vielen Dank
Noya


        
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:11 So 29.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Meine Idee :
> Nach BFS hat [mm]f^{m}[/mm] genau einen Fixpunkt : Es gibt also
> genau ein [mm]x\in[/mm] M mit [mm]f^{m}(x)=x.[/mm]
>  wende nun auf beiden Seiten f an :
>  f [mm]\circ f^{m}(x)=[/mm] f(x) [mm]\gdw f^{m}(f(x))=f(x)[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm]
> f(x) auch Fixpunkt von [mm]f^{m}(x).[/mm]
>  Da fixpunkt aber eindeutig [mm]\Rightarrow[/mm] f(x)=x
>  [mm]\Rightarrow[/mm] jeder Fixpunkt von f auch Fixpunkt von [mm]f^{m},[/mm]
> also hat f genau einen Fixpunkt

[ok]

> Ist das soweit richtig?
>  jetzt muss ich noch zeigen, dass die durch [mm]x_0 \in[/mm] M und
> [mm]x_{n+1} =f(x_n)[/mm] def. Folge gegen Fixpunkt konvergiert. Da bin
> ich gerade etwas ratlos. Spontan würde ich BFS auf [mm]f^{m}[/mm]
> anwenden.

Wie habt ihr das denn gezeigt für den Fall, dass $f$ bereits eine Kontraktion ist?
Schreib den Beweis hier mal auf, den kann man minimal modifizieren um das dann auch unter den gegebenen Umständen zu zeigen.

edit: Das sollte in etwa so ablaufen (was auch hier funktioniert):
Zeige zuerst, dass [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Cauchy-Folge ist. Da wir einen vollständigen Raum haben, konvergiert die Folge. Da wir den Grenzwert einer Teilfolge von [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] bereits kennen, konvergiert die gesamte Folge gegen diesen Grenzwert.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:21 So 29.04.2018
Autor: Noya


> > Ist das soweit richtig?
>  >  jetzt muss ich noch zeigen, dass die durch [mm]x_0 \in[/mm] M
> und
> > [mm]x_{n+1} =f(x_n)[/mm] def. Folge gegen Fixpunkt konvergiert. Da
> bin
> > ich gerade etwas ratlos. Spontan würde ich BFS auf [mm]f^{m}[/mm]
> > anwenden.

> Wie habt ihr das denn gezeigt für den Fall, dass [mm]f[/mm] bereits
> eine Kontraktion ist?
>   Schreib den Beweis hier mal auf, den kann man minimal
> modifizieren um das dann auch unter den gegebenen
> Umständen zu zeigen.

> edit: Das sollte in etwa so ablaufen (was auch hier
> funktioniert):
>  Zeige zuerst, dass [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Cauchy-Folge ist.
> Da wir einen vollständigen Raum haben, konvergiert die
> Folge. Da wir den Grenzwert einer Teilfolge von
> [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] bereits kennen, konvergiert die gesamte
> Folge gegen diesen Grenzwert.

Cauchyfolgen-Kriterium: Sei [mm] (x_k)_k \in \IN [/mm] eine Folge im metrischen Raum (M,d). Setze [mm] a_k [/mm] := [mm] d(x_k,x_{k+1}). [/mm] Ist [mm] \sum_{k=0}^{\infty}a_k [/mm] konvergent so ist [mm] (a_k)_k [/mm] eine Cauchyfolge.

so unser Beweis des BFS läuft wie folgt:
1. Eindeutigkeit : also angenommen 2 Lösungen x,y, ... , dann muss x=y sein.
2.Existenz:
Seien also [mm] x_0 \in [/mm] A und [mm] (x_n)_n [/mm] definiert wie im Satz. Wir werden zeigen, dass [mm] (x_n)_n \in \IN [/mm] eine Cauchyfolge ist. Zunächst ist [mm] d(x_n,x_{n+1})\le kd(x_{n-1},x_n) \le k^2 d(x_{n-2},x_{n-1})\le...\le k^n d(x_0,x_1). [/mm]
Wegen k [mm] \in [/mm] ]0,1[ konvergiert die Reihe [mm] \sum_{n=0}^{\infty} k^n d(x_0,x_1) [/mm] und nach dem Cauchykriterium ist [mm] (x_n)_n [/mm] eine Cauchyfolge.
Da X vollständig und M abgeschlossen ist, ist M auch vollständig. Daher konvergiert die Folge [mm] (x_n)_n [/mm] gegen ein [mm] x^{\*} \in [/mm] M.
Es bleibt zu zeigen, dass [mm] x^{\*} [/mm] ein Fixpunkt von f ist.
Aber nun gilt für alle n [mm] d(f(x^{\*}),x^{\*})\le d(f(x^{\*}),x_{n+1})+d(x_{n+1},x^{\*})=d(f(x^{\*}),f(x_n))+d(x_{n+1},x^{\*}) \le kd(x^{\*},x_n) +d(x_{n+1},x^{\*}). [/mm] Es folgt schließlich [mm] d(f(x^{\*}),x^{\*}) [/mm] = 0, also [mm] f(x^{\*})=x^{\*}. [/mm]



so also nehme ich mir jetzt ein [mm] y_0 \in [/mm] M und [mm] y_{n+1}=f^{m}(y_n) [/mm] und wende darauf den BFS an. also konv. [mm] (y_n)_n [/mm] gegen den Fixpunkt x=f(x).

Ich möchte jetzt, dass irgendwie [mm] y_n [/mm] (oder ähnliches) Teilfolge von [mm] x_n [/mm] ist. aber wie kann ich mir so ein [mm] y_n [/mm] definieren?

Bezug
                        
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:43 So 29.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wir werden zeigen, dass [mm](x_n)_n \in \IN[/mm] eine Cauchyfolge
> ist. Zunächst ist [mm]d(x_n,x_{n+1})\le kd(x_{n-1},x_n) \le k^2 d(x_{n-2},x_{n-1})\le...\le k^n d(x_0,x_1).[/mm]

Die Art abzuschätzen merken wir uns mal.

>
> so also nehme ich mir jetzt ein [mm]y_0 \in[/mm] M und
> [mm]y_{n+1}=f^{m}(y_n)[/mm] und wende darauf den BFS an. also konv.
> [mm](y_n)_n[/mm] gegen den Fixpunkt x=f(x).

[ok]

> Ich möchte jetzt, dass irgendwie [mm]y_n[/mm] (oder ähnliches)
> Teilfolge von [mm]x_n[/mm] ist. aber wie kann ich mir so ein [mm]y_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

definieren?

Also wir definieren $x_{n+1} :=  f(x_n)$ mit einem Startwert $x_0$.
Dann hast du bereits gezeigt, dass die Folge $(y_n)_{n \in \IN}$ definiert über $y_{n+1} = f^m(y_n)$ mit $y_0 = x_0$ konvergiert und $(y_n)_{n \in \IN}$ ist eine Teilfolge von $(x_n)_{n \in \IN}$ und konvergiert gegen den Fixpunkt. (ist dir das klar?)

Bleibt also zu zeigen: $(x_n)_{n \in \IN}$ ist eine Cauchy-Folge.

Zeige dafür:
$d(x_{n+1}, x_n) \le k^{\lfloor\frac{n}{m}\rfloor} d\left(x_{n+1 \text{ mod } m}},x_{n \text{ mod } m}}\right)$

Das sieht nun zwar uuuunglaublich kompliziert aus, ist es aber eigentlich gar nicht, wenn man verstanden hat, wieso das rauskommt.

Nimm dafür mal testweise an: m=5 und n=33 und zeige

$d(x_{34},x_{33}) = k^6 d(x_4,x_3)$

Gruß,
Gono


Bezug
                                
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 So 29.04.2018
Autor: Noya


> Bleibt also zu zeigen: [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] ist eine
> Cauchy-Folge.
>  
> Zeige dafür:
>  [mm]d(x_{n+1}, x_n) \le k^{\lfloor\frac{n}{m}\rfloor} d\left(x_{n+1 \text{ mod } m}},x_{n \text{ mod } m}}\right)[/mm]

Wie zum teufel kommst du denn da drauf? Das musst du mir bitte erklären.

> Das sieht nun zwar uuuunglaublich kompliziert aus, ist es
> aber eigentlich gar nicht, wenn man verstanden hat, wieso
> das rauskommt.

ich habe mir jetzt unabhängig von deiner Idee was anderes überlegt. Und zwar:

setze ich :
[mm] y^{l}_0 [/mm] = [mm] x_l [/mm] für l [mm] \in \{0,...,m-1\} [/mm]
Nun:
[mm] y^{l}_0 [/mm] = [mm] x_l [/mm]
[mm] y^{l}_1 [/mm] = [mm] f^{m}(y^{l}_0)=f^{m}(x_l)=f(x_l) \circ f^{m-1} =f^{m-1}(f(x_l))=f^{m-1}(x_{l+1})=f(x_{l+1}) \circ f^{m-2} =f^{m-2}(f(x_{l+2}))=f^{m-2}(x_{l+2})=...=x_{l+m} [/mm]
...
usw...
[mm] y^{l}_{n}=x_{nm+l} [/mm]

Daher ist  [mm] y_n^{l} [/mm] eine Teilfolge von [mm] x_n [/mm] und jedes [mm] x_n [/mm] ist in einer der Teilfolgen [mm] y_n^{l} [/mm] enthalten und weil diese ja nach Voraussetzung gegen den Fixpunkt x konv. Rightarrow [mm] x_n [/mm] konv. gegen x.



Bezug
                                        
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 So 29.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,
>  
> ich habe mir jetzt unabhängig von deiner Idee was anderes
> überlegt. Und zwar:

So unabhängig ist das gar nicht.

>  usw...
>  [mm]y^{l}_{n}=x_{nm+l}[/mm]
>  
> Daher ist  [mm]y_n^{l}[/mm] eine Teilfolge von [mm]x_n[/mm] und jedes [mm]x_n[/mm] ist
> in einer der Teilfolgen [mm]y_n^{l}[/mm] enthalten und weil diese ja
> nach Voraussetzung gegen den Fixpunkt x konv. Rightarrow
> [mm]x_n[/mm] konv. gegen x.

[ok]

Und wenn du das jetzt mit der "mod"-Notation aufschreibst, kommt das obige raus, was ich hingeschrieben hab. :-)

Um deins mal in anderen Worten auszudrücken:

[mm] $y_l$ [/mm] ist dein Startwert für jedes Folgenglied [mm] $x_k$, [/mm] wobei $k= l [mm] \text{ mod } [/mm] m$ gilt :-)

aber $k = l [mm] \text{ mod } [/mm] m$ bedeutet nix anderes als $l = nm + l$ für geeignetes m… das meinte ich mit "Die Notation sieht kompliziert aus, ist es aber gar nicht"

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:54 Mo 30.04.2018
Autor: Noya

Vielen lieben Dank! :)

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