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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Banachscher Fixpunktsatz
Banachscher Fixpunktsatz < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Banachscher Fixpunktsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:24 Do 23.05.2019
Autor: Tobikall

Aufgabe
Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssystem [mm] \pmat{ 10 & 10 \\ 4 & 20 }\pmat{ x_1\\ x_2 }+\pmat{ ln(1+e^{x_1 }) \\ ln(1+e^{x_1+x_2}) }= \pmat{ 0 \\ 0 } [/mm]
a) Zeigen Sie mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes, dass das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung x∗ [mm] \in R^2 [/mm] besitzt. Hinweis: Verwenden Sie die [mm] \parallel \parallel\infty-Norm [/mm] und zeigen Sie, dass L = [mm] \bruch{3}{8} [/mm] eine geeignete Wahl für die Lipschitzkonstante ist.
b) Geben Sie eine Schranke für die Anzahl der Iterationen an, die man höchstens benötigt, um die Lösung x∗ mit der Iterationsvorschrift [mm] x^{k+1} [/mm] = [mm] \phi(x^{k}) [/mm] ausgehend von [mm] x^{0} [/mm] = [mm] (0,0)^T [/mm] bis auf einen Fehler von e= 10^−6 zu berechnen.


Hallo Forum,

bräuchte dringend Hilfe bei den beiden Aufgabenteilen

        
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:39 Do 23.05.2019
Autor: fred97

Sei [mm] X=\IR^2. [/mm] Dann ist X , versehen mit mit der $|| [mm] \cdot||_{\infty}$ [/mm] - Norm ein Banachraum.

Definiere [mm] $\phi: \IR^2 \to \IR^2$ [/mm] durch

[mm] $\phi(x):= \pmat{ 10 & 10 \\ 4 & 20 }\pmat{ x_1\\ x_2 }+\pmat{ ln(1+e^{x_1 }) \\ ln(1+e^{x_1+x_2}) }+ \pmat{ x_1 \\ x_2 } [/mm] $,

wobei [mm] $x=(x_1,x_2).$ [/mm]

Dann gilt

$ [mm] \pmat{ 10 & 10 \\ 4 & 20 }\pmat{ x_1\\ x_2 }+\pmat{ ln(1+e^{x_1 }) \\ ln(1+e^{x_1+x_2}) }= \pmat{ 0 \\ 0 } \gdw \phi(x)=x.$ [/mm]


Zu zeigen ist also: [mm] \phi [/mm] hat genau einen Fixpunkt.

Der Hinweis gibt einen Hinweis auf das was zu tun ist:

zeige:

$ || [mm] \phi(x)- \phi(y)||_{\infty} \le \frac{3}{8} [/mm] || [mm] x-y||_{\infty} [/mm] $ für alle $x,y [mm] \in [/mm] X.$

Wenn Du das hast, ist a) erledigt.

Zu b): in Deiner Vorlesung hast Du sicher Fehlerabschätzungen beim obigen Iterationsverfahren kennengelernt. Verwende diese !



Bezug
                
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:46 Do 23.05.2019
Autor: Tobikall

Hallo fred :)

das habe ich bisher soweit verstanden, bisher war es ja eher nur geschicktes einsetzen.
Mein Problem fängt aber genau jetzt an, da ich einfach nicht weiß, wie ich das ganze jetzt gut abschätzen und umrechnen kann.
Man kann die Norm ja schon immerhin mal mit [mm] \le [/mm] abschätzen, wenn man das x-y herauszieht und in eine eigene Norm schreibt, aber trotz Herumprobierens komme ich vor allem mit dem Logarithmus und den darin enthaltenen Potenzen von x,y nicht klar...

Bezug
                        
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Sa 25.05.2019
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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