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Banachscher Fixpunktsatz: Beweis in Einzelteilen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 Fr 06.01.2006
Autor: kunzm

Aufgabe 1
Sei $V$ Bachachraum (z.B. [mm] $V\,=\,\mathbb{R}^n$) [/mm] und sei [mm] $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] eine Folge in $V$.


(a) Ist [mm] $q\in\mathbb{R}$, [/mm] $q>0$ eine Konstante, so gilt für die Folge [mm] $(S_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] der Partialsummen [mm] $\sum\limits^{n}_{k=0} q^k$ [/mm] die Ungleichung [mm] $\left(1-q\right)\left|S_m-S_n\right|\leq q^{n+1}\cdot\left(1-q^{m-n}\right)$. [/mm] Zeigen Sie.

(b) Gilt sogar $0<q<1$, so ist [mm] $(S_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] eine Cauchy-Folge. Zeigen Sie.

Aufgabe 2
(c) Gibt es eine Konstante [mm] $q\in\mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] $\left\|x_{k+2}-x_{k+1}\right\|\leq q\left\|x_{k+1}-x_k\right\|\,\forall\, k\in \mathbb{N}$, [/mm] so gilt auch [mm] $\left\|x_{m}-x_{n}\right\|\leq \left|S_{m-1}-S_{n-1}\right|\cdot \left\|x_{1}-x_0\right\|\, \forall\,m,n\in\mathbb{N}$. [/mm] Zeigen Sie.

(d) Gilt sogar $0<q<1$ in (c), so konvergiert [mm] $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$. [/mm] Zeigen Sie.

Aufgabe 3
(e) Ist [mm] $V\,=\,\mathbb{R}^n$ [/mm] und [mm] $f:V\rightarrow [/mm] V$ eine Kontraktion, beziehungsweise
[mm] $\exists\,\,0

Hallo mal wieder und frohes neues,

ich soll hier wohl den Banachschen Fixpunktsatz in Einzelteilen Beweisen. Wenn ich die Teilaufgaben a,b,c,d als gültig betrachte habe ich für die Aufgabe e schon mal diesen nachfolgenden Ansatz gemacht, der mir zumindest bis auf die Cauchyeigenschaft von [mm](x_{n})_{n\in\mathbb{N}}[/mm] relativ schlüssig erscheint. Allerdings weis ich nicht wie ich bei a anfangen soll, auch wenn das quasi die geometrische Reihe ist. Diese Ungleichung leuchtet mir nicht ein.

Danke und Grüße, Martin

>>Beweis von e:

i) Es existiert ein Fixpunkt.

Sei [mm] $q\in\mathbb{R}$ [/mm] und $0<q<1$, so konvergiert die Folge [mm] $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] und  [mm] $(S_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] ist Cauchyfolge gemäß Angabe. Weiters gilt:

[mm] $\left\|x_m-x_n\right\|\leq\left|S_{m-1}-S_{n-1}\right|\cdot\left\|x_1-x_0\right\|$ [/mm]

also ist [mm] $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] ebenfalls Cauchy-Folge da [mm] $\left\|x_1-x_0\right\|$ [/mm] konstant.

Sei nun [mm] $x_0\in [/mm] V$ beliebig, [mm] $x_1\,=\,f(x_0)$ [/mm] sowie [mm] $x_{n+1}\,=\,f(x_n)$.\\[6pt] [/mm]
Ich setzte [mm] $x\,=\,\lim\limits_{n\rightarrow\infty} x_n$ [/mm] und behaupte $x$ ist ein Fixpunkt. Dann gilt

[mm] $f(x)\,=\,f(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n)\,=\,\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n)\,=\,\lim\limits_{n\rightarrow\infty} x_{n+1}\,=\,x$ [/mm]

was zu beweisen war.

ii) Es existiert genau ein Fixpunkt.

Existierten mehr als ein Fixpunkt, so gäbe es ein $f(x)=x$ und ein $f(y)=y$, [mm] $x\not=y$ [/mm] mit $d(x,y)>0$ so dass gilt [mm] $\left\|x-y\right\|\,=\,\left\|f(x)-f(y)\right\|\leq\,q\cdot\left\|x-y\right\|$. [/mm] Dies wäre aber ein Wiederspruch, woraus folgt, dass es nur einen Fixpunkt geben kann.

        
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Banachscher Fixpunktsatz: Ana2 Skript
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:14 Fr 06.01.2006
Autor: mathmetzsch

Hallo,

ich habe dir im Anhang mal ein Skript angefügt, das den Beweis des Banach'schen Fixpunktsatzes so aufteilt, wie in der Aufgabenstellung verlangt! Erst Existenz, dann Eindeutigkeit!

Der Beweis der Eindeutigkeit: stimmt!!
Der Beweis der Existenz: Du musst noch zeigen, dass die Folge auch tatsächlich konvergiert (s. Skript)!

Viele Grüße
Daniel

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Banachscher Fixpunktsatz: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 Sa 07.01.2006
Autor: kunzm

Danke,

mein konkretes Problem ist aber momentan, dass ich keine Ahnung habe wie ich die gültigkeit der Ungleichung in (a) beweisen soll, und es mir noch nie erfolgreich gelungen ist zu zeigen wann eine Folge eine Cauchy-Folge ist wie in (b) zum Beispiel. Wenn das auch alles in diesem Skript steht, dann versteh ichs nicht oder kann es den Teilaufgaben nicht zuordnen. Kannst Du mir ganz konkret dazu etwas sagen?

Gruß, Martin.

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Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:52 Sa 07.01.2006
Autor: andreas

hallo

erstmal zu (a): hier musst du die bekante (?) formel für die endlche geometrische progression verwenden, nämlich, dass für $q [mm] \not= [/mm] 1$ gilt:

[m] \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1-q} [/m].


wenn du dies nun für [mm] $S_n$ [/mm] und [mm] $S_m$ [/mm] einsetzt (diese haben ja genau diese form mit verschiedenen oberen gernzen) und etwas vereinfachst solltest du genau das gewünschte resultat erhlaten.

probiere das doch mal

grüße
andreas

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Banachscher Fixpunktsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 Sa 07.01.2006
Autor: kunzm

Danke,

ich habe die a) und b) jetzt einmal wie folgt gelöst:

(a) Ist [mm] $q\in\mathbb{R}$, [/mm] $q>0$ eine Konstante, so gilt für die Folge [mm] $(S_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] der Partialsummen [mm] $\sum\limits^{n}_{k=0} q^k$ [/mm] die Ungleichung [mm] $\left(1-q\right)\left|S_m-S_n\right|\leq q^{n+1}\cdot\left(1-q^{m-n}\right)$. [/mm] Zeigen Sie.

Es gilt allgemein für die endliche geometrische Reihe
[mm] $\sum\limits^{n}_{k=0} q^k\,=\,\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm] für [mm] $q\not=1$, oder$(1-q)\sum\limits^{n}_{k=0} q^k\,=\,1-q^{n+1}$ [/mm] .
Einsetzen in die Ungleichung liefert:

[mm] $(1-q)\left|\frac{1-q^{m+1}}{1-q}-\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\right|\,=\,\left|\,(1-q^{m+1})-(1-q^{n+1})\right|=\,$ [/mm]

[mm] $\left|\,q^{n+1}-q^{m+1}\right|\,=\,\left|\,q^{n+1}\cdot(1-q^{m-n})\right|\,\leq\,q^{n+1}\cdot(1-q^{m-n})$ [/mm] .


(b) Gilt sogar $0<q<1$, so ist [mm] $(S_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] eine Cauchy-Folge. Zeigen Sie.

Das Kriterium von Cauchy fordert, dass [mm] $\forall\,\varepsilon>0\,\exists\,(n,m\geq n_0)\in\mathbb{N}:\,\left|S_n-S_m\right|<\varepsilon$. [/mm]

Sei nun $m=n+1$. Dann liefert die Bedingung mit eingesetzter Relation für die [mm] $S_n$: [/mm]

[mm] $\left|\frac{1-q^{m+1}}{1-q}-\frac{1-q^{m}}{1-q}\right|\,=\,\left|\frac{1-q^{m+1}-1+q^{m}}{1-q}\right|\,=\,\left|\frac{q^{m}-q^{m+1}}{1-q}\right|\,=\,\left|\frac{q^{m}(1-q)}{1-q}\right|\,=\,\left|q^m\right|\,<\,\varepsilon$. [/mm]

Stimmt das so, und bezüglich der b), ist das offensichtlich genug oder kann (sollte) man da noch mehr schreiben?

Bezüglich der c), wenn ich in $k:=0$ setze und dann quasi das $q$ durch den Abstand der [mm] $S_n$ [/mm] ersetze bringt mich das weiter? Ich weis auch hier nicht so recht anzufangen.

Besten Dank, Martin.




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Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Sa 07.01.2006
Autor: felixf


> Danke,
>  
> ich habe die a) und b) jetzt einmal wie folgt gelöst:
>  
> (a) Ist [mm]q\in\mathbb{R}[/mm], [mm]q>0[/mm] eine Konstante, so gilt für die
> Folge [mm](S_{n})_{n\in\mathbb{N}}[/mm] der Partialsummen
> [mm]\sum\limits^{n}_{k=0} q^k[/mm] die Ungleichung
> [mm]\left(1-q\right)\left|S_m-S_n\right|\leq q^{n+1}\cdot\left(1-q^{m-n}\right)[/mm].
> Zeigen Sie.
>  
> Es gilt allgemein für die endliche geometrische Reihe
>  [mm]\sum\limits^{n}_{k=0} q^k\,=\,\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] für
> [mm]q\not=1[/mm], oder[mm](1-q)\sum\limits^{n}_{k=0} q^k\,=\,1-q^{n+1}[/mm] .
> Einsetzen in die Ungleichung liefert:
>  
>
> [mm](1-q)\left|\frac{1-q^{m+1}}{1-q}-\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\right|\,=\,\left|\,(1-q^{m+1})-(1-q^{n+1})\right|=\,[/mm]
>  
> [mm]\left|\,q^{n+1}-q^{m+1}\right|\,=\,\left|\,q^{n+1}\cdot(1-q^{m-n})\right|\,\leq\,q^{n+1}\cdot(1-q^{m-n})[/mm]
> .

An zwei Stellen hast du Probleme: beim ersten Gleichheitszeichen und beim [mm] $\le$. [/mm] Bei beiden ignorierst du naemlich, dass die Faktoren die du aus dem Betrag holst bzw. hereinpackst auch negativ sein koennen!

> (b) Gilt sogar [mm]0
> Cauchy-Folge. Zeigen Sie.
>  
> Das Kriterium von Cauchy fordert, dass
> [mm]\forall\,\varepsilon>0\,\exists\,(n,m\geq n_0)\in\mathbb{N}:\,\left|S_n-S_m\right|<\varepsilon[/mm].

Das ist eine sehr gewagte Interpretation des Kriteriums. Um nicht zu sagen: Das ist falsch. Schau dir das Kriterium nochmal an, zwischen [mm] $\exists$ [/mm] und $n, m [mm] \geq n_0$ [/mm] fehlt was.


> Sei nun [mm]m=n+1[/mm]. Dann liefert die Bedingung mit eingesetzter
> Relation für die [mm]S_n[/mm]:

Nun, fuer die Folge [mm] $S_n [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \frac{1}{i}$ [/mm] gilt das auch. Aber das ist offensichtlich keine Cauchy-Folge!

> Bezüglich der c), wenn ich in [mm]k:=0[/mm] setze und dann quasi das
> [mm]q[/mm] durch den Abstand der [mm]S_n[/mm] ersetze bringt mich das weiter?

?!

Mach es doch so: Nimm erstmal $m > n$ an und schreib [mm] $||x_m [/mm] - [mm] x_n|| \le ||x_m [/mm] - [mm] x_{m-1}|| [/mm] + [mm] ||x_{m-1} [/mm] - [mm] x_{m-2}|| [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] ||x_{n+1} [/mm] - [mm] x_n||$. [/mm]
Kannst du das jetzt hierfuer zeigen?

Wenn du das hast, der Fall $n > m$ geht fast genauso, nur dass du dann hier die [mm] $|\cdot|$ [/mm] bei [mm] $|S_{m-1} [/mm] - [mm] S_{n-1}|$ [/mm] brauchst.

LG Felix



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Banachscher Fixpunktsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Sa 07.01.2006
Autor: kunzm

Hallo Felix,

ich komm damit einfach nicht klar, Folgen und Reihen waren schon immer ein Mysterium für mich.

Also bezüglich der a) sehe ich die Fehler, komme jetzt aber nicht mehr durch.

[mm] $(1-q)\left|\frac{1-q^{m+1}}{1-q}-\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\right|\,\leq\,\left|\,(1-q^{m+1})-(1-q^{n+1})\right|$ $=\,\left|\,q^{n+1}-q^{m+1}\right|\,=\,\left|\,q^{n+1}\cdot(1-q^{m-n})\right|$. [/mm]

Hier gehts nicht weiter, wie bekomme ich den Betrag weg??

Bezüglich der b), auch der Fehler in der Definition ist klar. Richtig wäre:

[mm] $\forall\,\varepsilon>0\,\exists\,n_0\in\mathbb{N}$ [/mm] so dass [mm] $\forall\,m,n>n_0:\,\left|S_n-S_m\right|<\varepsilon$ [/mm]

Gut, aber wie ich das anwenden soll wenn ich mein klasse Definition von wegen "sei nun $m=n+1$" nicht verwenden darf ist mir schleierhaft. Reicht es zu sagen "da die geom. Reihe für $0<q<1$ absolut konvergiert ist sie Cauchyfolge"?

Und zu c); die Ungleichung die Du mir gegeben hast denke ich sagt aus, dass der Abstand zwischen m und n kleiner bzw gleich der Summe der Teilabstände ist. Wie aber hilft mir das? Kann ich die Teilabstände irgendwie durch meine [mm] $S_n$ [/mm] abschätzen?

Grüße auch und Danke, Martin


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Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:54 Sa 07.01.2006
Autor: felixf


> Hallo Felix,
>  
> ich komm damit einfach nicht klar, Folgen und Reihen waren
> schon immer ein Mysterium für mich.
>  
> Also bezüglich der a) sehe ich die Fehler, komme jetzt aber
> nicht mehr durch.
>  
> [mm](1-q)\left|\frac{1-q^{m+1}}{1-q}-\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\right|\,\leq\,\left|\,(1-q^{m+1})-(1-q^{n+1})\right|[/mm] [mm]=\,\left|\,q^{n+1}-q^{m+1}\right|\,=\,\left|\,q^{n+1}\cdot(1-q^{m-n})\right|[/mm].
>  
> Hier gehts nicht weiter, wie bekomme ich den Betrag weg??

Also eine Moeglichkeit ist, ne Fallunterscheidung zu machen. Wobei, eigentlich kann die Gleichung gar nicht stimmen: Ist naemlich $q < 1$, so ist die linke Seite immer positiv, die rechte aber nur wenn $-(m - n)$ nicht zu gross wird: Ist z.B. $q = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] und $m - n = -2$, so ist [mm] $1-q^{m-n} [/mm] = 1 - 4 = -3$ und somit ist die rechte Seite negativ. Die Aufgabenstellung ist also fehlerhaft; retten kann man sie indem man $(1 - q) [mm] |S_m [/mm] - [mm] S_n| \le q^{n+1} [/mm] |1 - [mm] q^{m-n}|$ [/mm] behauptet, was sicher vollstaendig fuer den Rest ausreicht.

> Bezüglich der b), auch der Fehler in der Definition ist
> klar. Richtig wäre:
>  
> [mm]\forall\,\varepsilon>0\,\exists\,n_0\in\mathbb{N}[/mm] so dass
> [mm]\forall\,m,n>n_0:\,\left|S_n-S_m\right|<\varepsilon[/mm]
>  
> Gut, aber wie ich das anwenden soll wenn ich mein klasse
> Definition von wegen "sei nun [mm]m=n+1[/mm]" nicht verwenden darf
> ist mir schleierhaft. Reicht es zu sagen "da die geom.
> Reihe für [mm]0

Nun, benutze a). Und zwar fuer $m [mm] \ge [/mm] n$ (das kannst du ohne Einschraenkung fordern). Dann ist naemlich immer $0 [mm] \le [/mm] 1 - [mm] q^{m-n} [/mm] < 1$.

> Und zu c); die Ungleichung die Du mir gegeben hast denke
> ich sagt aus, dass der Abstand zwischen m und n kleiner bzw
> gleich der Summe der Teilabstände ist. Wie aber hilft mir
> das? Kann ich die Teilabstände irgendwie durch meine [mm]S_n[/mm]
> abschätzen?

Nun, du kannst mit den einzelnden Summanden weitermachen: [mm] $||x_m [/mm] - [mm] x_{m-1}|| \le [/mm] q [mm] ||x_{m-1} [/mm] - [mm] x_{m-2}|| \le q^2 ||x_{m-2} [/mm] - [mm] x_{m-3}|| \le \dots \le q^{\dots} ||x_1 [/mm] - [mm] x_0||$ [/mm] (die [mm] $\dots$ [/mm] musst du noch selber rausfinden :-) ).

So, und wenn du dann alles wieder zusammenfasst kommen auch wieder [mm] $S_n$ [/mm] und [mm] $S_m$ [/mm] (bzw. deren Differenz) ins Spiel.

LG Felix


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Banachscher Fixpunktsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:54 So 08.01.2006
Autor: kunzm

Guten Morgen,

meine letzten Versuche (!) brachten folgendes:

(a)Ist [mm] $q\in\mathbb{R}$, [/mm] $q>0$ eine Konstante, so gilt für die Folge [mm] $(S_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] der Partialsummen [mm] $\sum\limits^{n}_{k=0} q^k$ [/mm] die Ungleichung
[mm] $(1-q)\left|S_m-S_n\right|\leq q^{n+1}\cdot\left|\,1-q^{m-n}\,\right|$. [/mm] Zeigen Sie.

Es gilt allgemein für die endliche geometrische Reihe

[mm] $\sum\limits^{n}_{k=0} q^k\,=\,\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm] für [mm] $q\not=1$,\\ \>oder$(1-q)\sum\limits^{n}_{k=0} q^k\,=\,1-q^{n+1}$ [/mm] .

Einsetzen in die Ungleichung liefert:

[mm] $(1-q)\left|\frac{1-q^{m+1}}{1-q}-\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\right|\,\leq\,\left|\,(1-q^{m+1})-(1-q^{n+1})\right|$ [/mm]


[mm] $=\,\left|\,q^{n+1}-q^{m+1}\right|\,=\,\left|q^{n+1}\cdot(1-q^{m-n})\right|$ [/mm]


[mm] $=\,q^{n+1}\cdot\left|1-q^{m-n}\right|$ [/mm] .


(b) Gilt sogar $0<q<1$, so ist [mm] $(S_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] eine Cauchy-Folge. Zeigen Sie.

Die geometrische Reihe konvergiert mit [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] absolut für $0<q<1$ und ist somit Cauchyfolge (Satz 10.9 Analysis II, Kramer).

Alternativ:

Sei nun o.B.d.A. [mm] $m\geq [/mm] n$. Dann gilt mit $0<q<1$, dass [mm] $0\leq 1-q^{m-n}\leq [/mm] 1$.

Das Cauchykriterium fordert:

[mm] $\forall\,\varepsilon>0\,\exists\,n_0\in\mathbb{N}$, [/mm] so dass [mm] $\forall\,m,n>n_0:\,\left|S_m-S_n\right|<\varepsilon$ [/mm]

Mit a) kann man schreiben:

[mm] $(1-q)\left|S_m-S_n\right|\,\leq\,q^{n+1}\cdot\left|1-q^{m-n}\right|\,\leq\,q^{n+1}\,\leq\,q^n\,<\,\varepsilon$ [/mm]  ,

da man für $0<q<1$ und ein beliebiges [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] immer ein [mm] $n_0\in\mathbb{N}$ [/mm] findet für das die letzte Ungleichung der Kette erfüllt ist.

Soweit hoffe ich passt das jetzt, bin aber für Korrekturen immer dankbar.
Ab hier gehen jetzt wieder die Schwierigkeiten los.

(c) Gibt es eine Konstante [mm] $q\in\mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] $\left\|x_{k+2}-x_{k+1}\right\|\leq q\left\|x_{k+1}-x_k\right\|\,\forall\, k\in \mathbb{N}$, [/mm] so gilt auch [mm] $\left\|x_{m}-x_{n}\right\|\leq \left|S_{m-1}-S_{n-1}\right|\cdot \left\|x_{1}-x_0\right\|\, \forall\,m,n\in\mathbb{N}$. [/mm] Zeigen Sie.

Sei nun $m>n$. Dann lässt sich schreiben:


[mm] $\left\|x_{m}-x_{n}\right\|\,\leq\,\left\|x_{m}-x_{m-1}\right\|+\left\|x_{m-1}-x_{m-2}\right\|+...+\left\|x_{n+1}-x_{n}\right\|\,$ [/mm]


[mm] $\left\|x_{m}-x_{m-1}\right\|\,\leq\,q\,\left\|x_{m-1}-x_{m-2}\right\|\,\leq\,q^2\,\left\|x_{m-2}-x_{m-3}\right\|\,\leq\,...\,\leq\,q^{m-1}\left\|x_{1}-x_{0}\right\|$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow$ [/mm]

[mm] $\left\|x_{m}-x_{n}\right\|\,\leq\,(q^{m-1}+...+q^n)\,\left\|x_{1}-x_{0}\right\|\,\leq\,q^n(1+q+...+q^{m-n-1})\,\left\|x_{1}-x_{0}\right\|$ [/mm]

[mm] $\leq$ \large$\frac{q^n}{1-q}$ \normalsize$\left\|x_{1}-x_{0}\right\|$, [/mm]

oder

[mm] $(1-q)\left\|x_{m}-x_{n}\right\|\,\leq\,q^n\,\left\|x_{1}-x_{0}\right\|$ [/mm]

Nach a) gilt aber auch:

[mm] $(1-q)\left|S_{m-1}-S_{n-1}\right|\,\leq\,q^n\,\left|1-q^{m-n}\right|$ [/mm]

Wie kann ich jetzt damit die Behauptung beweisen?

LG Martin.

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Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:09 So 08.01.2006
Autor: felixf


> Guten Morgen,
>  
> meine letzten Versuche (!) brachten folgendes:
>  
> (a)Ist [mm]q\in\mathbb{R}[/mm], [mm]q>0[/mm] eine Konstante, so gilt für die
> Folge [mm](S_{n})_{n\in\mathbb{N}}[/mm] der Partialsummen
> [mm]\sum\limits^{n}_{k=0} q^k[/mm] die Ungleichung
> [mm](1-q)\left|S_m-S_n\right|\leq q^{n+1}\cdot\left|\,1-q^{m-n}\,\right|[/mm].
> Zeigen Sie.
>  
> Es gilt allgemein für die endliche geometrische Reihe
>
> [mm]\sum\limits^{n}_{k=0} q^k\,=\,\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] für
> [mm]q\not=1[/mm][mm] ,\\ \>oder[/mm] [mm](1-q)\sum\limits^{n}_{k=0} q^k\,=\,1-q^{n+1}[/mm]
> .
>
> Einsetzen in die Ungleichung liefert:
>  
> [mm](1-q)\left|\frac{1-q^{m+1}}{1-q}-\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\right|\,\leq\,\left|\,(1-q^{m+1})-(1-q^{n+1})\right|[/mm]
>  
>
> [mm]=\,\left|\,q^{n+1}-q^{m+1}\right|\,=\,\left|q^{n+1}\cdot(1-q^{m-n})\right|[/mm]
>  
>
> [mm]=\,q^{n+1}\cdot\left|1-q^{m-n}\right|[/mm] .

Ok.

> (b) Gilt sogar [mm]0
> Cauchy-Folge. Zeigen Sie.
>  
> Die geometrische Reihe konvergiert mit [mm]n\rightarrow\infty[/mm]
> absolut für [mm]0
> Analysis II, Kramer).
>  
> Alternativ:
>  
> Sei nun o.B.d.A. [mm]m\geq n[/mm]. Dann gilt mit [mm]0
>  
> Das Cauchykriterium fordert:
>  
> [mm]\forall\,\varepsilon>0\,\exists\,n_0\in\mathbb{N}[/mm], so dass
> [mm]\forall\,m,n>n_0:\,\left|S_m-S_n\right|<\varepsilon[/mm]
>  
> Mit a) kann man schreiben:
>  
> [mm](1-q)\left|S_m-S_n\right|\,\leq\,q^{n+1}\cdot\left|1-q^{m-n}\right|\,\leq\,q^{n+1}\,\leq\,q^n\,<\,\varepsilon[/mm]
>  ,
>  
> da man für [mm]00[/mm] immer ein
> [mm]n_0\in\mathbb{N}[/mm] findet für das die letzte Ungleichung der
> Kette erfüllt ist.

Ok.

> Soweit hoffe ich passt das jetzt, bin aber für Korrekturen
> immer dankbar.

Nun, wenn du schon die geometrische Reihe/Summenformel benutzt sind a) und b) eigentlich ueberfluessig; die Teile benoetigt man nur, wenn man das noch nicht hatte. Aber das nur nebenbei.

>  Ab hier gehen jetzt wieder die Schwierigkeiten los.
>  
> (c) Gibt es eine Konstante [mm]q\in\mathbb{R}[/mm] mit
> [mm]\left\|x_{k+2}-x_{k+1}\right\|\leq q\left\|x_{k+1}-x_k\right\|\,\forall\, k\in \mathbb{N}[/mm],
> so gilt auch [mm]\left\|x_{m}-x_{n}\right\|\leq \left|S_{m-1}-S_{n-1}\right|\cdot \left\|x_{1}-x_0\right\|\, \forall\,m,n\in\mathbb{N}[/mm].
> Zeigen Sie.
>  
> Sei nun [mm]m>n[/mm]. Dann lässt sich schreiben:
>  
>
> [mm]\left\|x_{m}-x_{n}\right\|\,\leq\,\left\|x_{m}-x_{m-1}\right\|+\left\|x_{m-1}-x_{m-2}\right\|+...+\left\|x_{n+1}-x_{n}\right\|\,[/mm]
>  
>
> [mm]\left\|x_{m}-x_{m-1}\right\|\,\leq\,q\,\left\|x_{m-1}-x_{m-2}\right\|\,\leq\,q^2\,\left\|x_{m-2}-x_{m-3}\right\|\,\leq\,...\,\leq\,q^{m-1}\left\|x_{1}-x_{0}\right\|[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>  
> [mm]\left\|x_{m}-x_{n}\right\|\,\leq\,(q^{m-1}+...+q^n)\,\left\|x_{1}-x_{0}\right\|\,\leq\,q^n(1+q+...+q^{m-n-1})\,\left\|x_{1}-x_{0}\right\|[/mm]

Nun, [mm] $q^{m-1}+...+q^n [/mm] = [mm] S_{m-1} [/mm] - [mm] S_{n-1}$ [/mm] :-)

LG Felix



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Banachscher Fixpunktsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 So 08.01.2006
Autor: kunzm

Ok, danke,

ich kann den Zusammenhang [mm] $S_{m-1}-S_{n-1}=q^{m-1}+..+q^n$ [/mm] nur nicht sehen, ich habe versucht die Ausdrücke ineinander umzuformen und das klappt nicht so recht:

[mm] $S_{m-1}-S_{n-1}=\frac{1-q^m}{1-q}-\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{q^n-q^m}{1-q}=?=q^{m-1}+..+q^n$ [/mm]

Und die letzten beiden Aufgaben habe ich wie folgt gelöst:


(d) Gilt sogar $0<q<1$ in (c), so konvergiert [mm] $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$. [/mm] Zeigen Sie.

Es ist jetzt $0<q<1$. Die Folge [mm] $(S_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] konvergiert somit und ist Cauchyfolge nach b). Weiters gilt:

[mm] $\left\|x_m-x_n\right\|\leq\left|S_{m-1}-S_{n-1}\right|\cdot\left\|x_1-x_0\right\|$ [/mm]

also ist [mm] $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] ebenfalls konvergent und Cauchy-Folge da [mm] $\left\|x_1-x_0\right\|$ [/mm] konstant.
[mm] ($(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] ist Majorante)


(e) Ist [mm] $V\,=\,\mathbb{R}^n$ [/mm] und [mm] $f:V\rightarrow [/mm] V$ eine Kontraktion, beziehungsweise gilt:

[mm] $\exists\,\,0
Beweis:

i) Es existiert ein Fixpunkt.

Sei nun [mm] $x_0\in [/mm] V$ beliebig, [mm] $x_1\,=\,f(x_0)$ [/mm] sowie [mm] $x_{n+1}\,=\,f(x_n)$. [/mm]

Ich setzte [mm] $x\,=\,\lim\limits_{n\rightarrow\infty} x_n$ [/mm] und behaupte $x$ ist ein Fixpunkt. Dann gilt

[mm] $f(x)\,=\,f(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n)\,=\,\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n)\,=\,\lim\limits_{n\rightarrow\infty} x_{n+1}\,=\,x$ [/mm]

was zu beweisen war.


ii) Es existiert genau ein Fixpunkt.

Existierten mehr als ein Fixpunkt, so gäbe es ein $f(x)=x$ und ein $f(y)=y$, [mm] $x\not=y$ [/mm] mit $d(x,y)>0$ so dass gilt

[mm] $\left\|x-y\right\|\,=\,\left\|f(x)-f(y)\right\|\leq\,q\cdot\left\|x-y\right\|$. [/mm]

Dies wäre aber ein Widerspruch zur Behauptung woraus folgt,
dass es nur einen Fixpunkt geben kann.

Kann ich das so stehen lassen oder kann man noch das eine oder andere verbessern?

LGM

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Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 So 08.01.2006
Autor: felixf


> Ok, danke,
>  
> ich kann den Zusammenhang [mm]S_{m-1}-S_{n-1}=q^{m-1}+..+q^n[/mm]
> nur nicht sehen, ich habe versucht die Ausdrücke ineinander
> umzuformen und das klappt nicht so recht:
>  
> [mm]S_{m-1}-S_{n-1}=\frac{1-q^m}{1-q}-\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{q^n-q^m}{1-q}=?=q^{m-1}+..+q^n[/mm]


Nun, am einfachsten geht das auch mit der Summendarstellung: [mm] $S_k [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^k q^i$. [/mm] Dann ist [mm] $S_{m-1} [/mm] - [mm] S_{n-1} [/mm] = [mm] q^0 [/mm] + [mm] q^1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] q^{m-1} [/mm] - [mm] (q^0 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] q^{n-1}) [/mm] = [mm] q^n [/mm] + [mm] q^{n+1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] q^{m-1}$. [/mm]

> Und die letzten beiden Aufgaben habe ich wie folgt gelöst:
>  
> (d) Gilt sogar [mm]0
> [mm](x_{n})_{n\in\mathbb{N}}[/mm]. Zeigen Sie.
>  
> Es ist jetzt [mm]0
> konvergiert somit und ist Cauchyfolge nach b). Weiters
> gilt:
>  
> [mm]\left\|x_m-x_n\right\|\leq\left|S_{m-1}-S_{n-1}\right|\cdot\left\|x_1-x_0\right\|[/mm]
>  
> also ist [mm](x_{n})_{n\in\mathbb{N}}[/mm] ebenfalls konvergent und
> Cauchy-Folge da [mm]\left\|x_1-x_0\right\|[/mm] konstant.
>  ([mm](S_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] ist Majorante)

Mmmh, Majorante kann man vielleicht nicht direkt sagen. Vielleicht solltest du den Zusatz einfach weglassen :)

> (e) Ist [mm]V\,=\,\mathbb{R}^n[/mm] und [mm]f:V\rightarrow V[/mm] eine
> Kontraktion, beziehungsweise gilt:
>  
> [mm]\exists\,\,0
> so hat [mm]f[/mm] genau einen Fixpunkt. Beweisen Sie.
>  
> Beweis:
>  
> i) Es existiert ein Fixpunkt.
>  
> Sei nun [mm]x_0\in V[/mm] beliebig, [mm]x_1\,=\,f(x_0)[/mm] sowie
> [mm]x_{n+1}\,=\,f(x_n)[/mm].
>  
> Ich setzte [mm]x\,=\,\lim\limits_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] und

Erstmal musst du zeigen, dass [mm] $(x_n)_n$ [/mm] einen Grenzwert hat. Das folgt aus den vorherigen Aufgaben, aber erwaehnen musst du das schon :-)

> behaupte [mm]x[/mm] ist ein Fixpunkt. Dann gilt
>  
> [mm]f(x)\,=\,f(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n)\,=\,\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n)\,=\,\lim\limits_{n\rightarrow\infty} x_{n+1}\,=\,x[/mm]
>  
> was zu beweisen war.
>  
>
> ii) Es existiert genau ein Fixpunkt.
>  
> Existierten mehr als ein Fixpunkt, so gäbe es ein [mm]f(x)=x[/mm]
> und ein [mm]f(y)=y[/mm], [mm]x\not=y[/mm] mit [mm]d(x,y)>0[/mm] so dass gilt
>  
> [mm]\left\|x-y\right\|\,=\,\left\|f(x)-f(y)\right\|\leq\,q\cdot\left\|x-y\right\|[/mm].
>  
> Dies wäre aber ein Widerspruch zur Behauptung

... da $q < 1$ ...

> woraus  folgt, dass es nur einen Fixpunkt geben kann.

Genau.

LG Felix


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Banachscher Fixpunktsatz: das wars
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:32 So 08.01.2006
Autor: kunzm

Danke und schönen Abend noch.

Gruß, Martin

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