matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenReelle Analysis mehrerer VeränderlichenBanachscher Fixpunktsatz
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Banachscher Fixpunktsatz
Banachscher Fixpunktsatz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Banachscher Fixpunktsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:52 Sa 20.07.2013
Autor: Joker08

Aufgabe
Es sei [mm] f:\IR^2 \to \IR^2 [/mm] durch [mm] f(x,y):=(x^2,y^2) [/mm] definiert.

a) Zeigen Sie: f bildet [mm] B_{1/3}(0,0) [/mm] in sich ab

b) Zeigen Sie außerdem, dass f auf [mm] B_{1/3}(0,0) [/mm] eine strikte Kontraktion ist

c) Hat f einen Fixpunkt in [mm] B_{1/3}(0,0) [/mm] \ [mm] \{B_{1/3}(0,0)\} [/mm] ? Begründen Sie ihre Antwort


[mm] B_r(a):=\{x \in M: d(x,a)\le r\} [/mm] also die abgeschlossene Kugel

Dann ist natürlich [mm] B_{1/3}(0,0):=\{x,y\in \IR^2: x^2+y^2 \le \bruch{1}{3}\} [/mm]

Also ich bin grade bei Aufgabenteil a)

Zu zeigen ist also f(B) [mm] \subset [/mm] B

Nun ist mir klar, dass es irgendwie stimmen muss.

Denn wenn ich f(0,1/3)=(0,1/9) so ist |f(0,1/3)| = [mm] \bruch{1}{9} [/mm] also  f(B) [mm] \subset [/mm] B. Und das ist ja insgesamt der größte wert den ich einsetzen darf.
Nur reicht das sicher nicht als begründung aus oder ?



        
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:17 Sa 20.07.2013
Autor: Helbig

Hallo Joker08,

> Es sei [mm]f:\IR^2 \to \IR^2[/mm] durch [mm]f(x,y):=(x^2,y^2)[/mm]
> definiert.
>  
> a) Zeigen Sie: f bildet [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] in sich ab
>  
> b) Zeigen Sie außerdem, dass f auf [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] eine
> strikte Kontraktion ist
>  
> c) Hat f einen Fixpunkt in [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] \ [mm]\{B_{1/3}(0,0)\}[/mm]

Dies muß wohl [mm] $B_{1/3}(0,0) \setminus \bigl\{(0,0)\bigr\}$ [/mm] heißen, oder?

> ? Begründen Sie ihre Antwort
>  
>
> [mm]B_r(a):=\{x \in M: d(x,a)\le r\}[/mm] also die abgeschlossene
> Kugel
>  
> Dann ist natürlich [mm]B_{1/3}(0,0):=\{x,y\in \IR^2: x^2+y^2 \le \bruch{1}{3}\}[/mm]

Die Bedingung lautet [mm] $\sqrt {x^2+y^2 } \le \frac [/mm] 1 [mm] 3\,.$ [/mm]

>  
> Also ich bin grade bei Aufgabenteil a)
>  
> Zu zeigen ist also f(B) [mm]\subset[/mm] B
>  
> Nun ist mir klar, dass es irgendwie stimmen muss.
>  
> Denn wenn ich f(0,1/3)=(0,1/9) so ist |f(0,1/3)| =
> [mm]\bruch{1}{9}[/mm] also  f(B) [mm]\subset[/mm] B. Und das ist ja insgesamt
> der größte wert den ich einsetzen darf.
>  Nur reicht das sicher nicht als begründung aus oder ?

Nein. Zu zeigen ist nämlich:
Aus [mm] $\sqrt{ x^2+y^2} \le \frac [/mm] 1 3$ folgt [mm] $\sqrt{x^4+y^4} \le \frac [/mm] 1 [mm] 3\,.$ [/mm]

Gruß,
Wolfgang

>  
>  


Bezug
                
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 Sa 20.07.2013
Autor: Joker08


> Hallo Joker08,
>  
> > Es sei [mm]f:\IR^2 \to \IR^2[/mm] durch [mm]f(x,y):=(x^2,y^2)[/mm]
> > definiert.
>  >  
> > a) Zeigen Sie: f bildet [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] in sich ab
>  >  
> > b) Zeigen Sie außerdem, dass f auf [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] eine
> > strikte Kontraktion ist
>  >  
> > c) Hat f einen Fixpunkt in [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] \ [mm]\{B_{1/3}(0,0)\}[/mm]
>
> Dies muß wohl [mm]B_{1/3}(0,0) \setminus \bigl\{(0,0)\bigr\}[/mm]
> heißen, oder?

Jup, da hab ich wohl einmal zuviel kopiert.

> > ? Begründen Sie ihre Antwort
>  >  
> >
> > [mm]B_r(a):=\{x \in M: d(x,a)\le r\}[/mm] also die abgeschlossene
> > Kugel
>  >  
> > Dann ist natürlich [mm]B_{1/3}(0,0):=\{x,y\in \IR^2: x^2+y^2 \le \bruch{1}{3}\}[/mm]
>  
> Die Bedingung lautet [mm]\sqrt {x^2+y^2 } \le \frac 1 3\,.[/mm]
> >  

> > Also ich bin grade bei Aufgabenteil a)
>  >  
> > Zu zeigen ist also f(B) [mm]\subset[/mm] B
>  >  
> > Nun ist mir klar, dass es irgendwie stimmen muss.
>  >  
> > Denn wenn ich f(0,1/3)=(0,1/9) so ist |f(0,1/3)| =
> > [mm]\bruch{1}{9}[/mm] also  f(B) [mm]\subset[/mm] B. Und das ist ja insgesamt
> > der größte wert den ich einsetzen darf.
>  >  Nur reicht das sicher nicht als begründung aus oder ?
>  
> Nein. Zu zeigen ist nämlich:
>  Aus [mm]\sqrt{ x^2+y^2} \le \frac 1 3[/mm] folgt [mm]\sqrt{x^4+y^4} \le \frac 1 3\,.[/mm]
>  
> Gruß,
>  Wolfgang

Okay, das ist verständlich. Denn  [mm]\sqrt{x^4+y^4} \le \frac 1 3\,.[/mm] ist der Abstand der funktion zur 0, und  [mm]\sqrt{ x^2+y^2} \le \frac 1 3[/mm] sind die werte die ich einsetzen darf.

Mir ist auch bewusst dass es gilt denn, aus [mm]\sqrt{ x^2+y^2} \le \frac 1 3[/mm] folgt ja, dass x und y kleiner sind als 1.
Also werden die werte kleiner wenn ich die Potenz erhöhe.

Also muss die Bedingung gelten, nur weiss ich noch nicht so ganz wie ich dass sauber begründen soll.



Bezug
                        
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:42 So 21.07.2013
Autor: rainerS

Hallo,

> > Hallo Joker08,
>  >  
> > > Es sei [mm]f:\IR^2 \to \IR^2[/mm] durch [mm]f(x,y):=(x^2,y^2)[/mm]
> > > definiert.
>  >  >  
> > > a) Zeigen Sie: f bildet [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] in sich ab
>  >  >  
> > > b) Zeigen Sie außerdem, dass f auf [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] eine
> > > strikte Kontraktion ist
>  >  >  
> > > c) Hat f einen Fixpunkt in [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] \ [mm]\{B_{1/3}(0,0)\}[/mm]
> >
> > Dies muß wohl [mm]B_{1/3}(0,0) \setminus \bigl\{(0,0)\bigr\}[/mm]
> > heißen, oder?
>  
> Jup, da hab ich wohl einmal zuviel kopiert.
>  
> > > ? Begründen Sie ihre Antwort
>  >  >  
> > >
> > > [mm]B_r(a):=\{x \in M: d(x,a)\le r\}[/mm] also die abgeschlossene
> > > Kugel
>  >  >  
> > > Dann ist natürlich [mm]B_{1/3}(0,0):=\{x,y\in \IR^2: x^2+y^2 \le \bruch{1}{3}\}[/mm]
>  
> >  

> > Die Bedingung lautet [mm]\sqrt {x^2+y^2 } \le \frac 1 3\,.[/mm]
> > >  

> > > Also ich bin grade bei Aufgabenteil a)
>  >  >  
> > > Zu zeigen ist also f(B) [mm]\subset[/mm] B
>  >  >  
> > > Nun ist mir klar, dass es irgendwie stimmen muss.
>  >  >  
> > > Denn wenn ich f(0,1/3)=(0,1/9) so ist |f(0,1/3)| =
> > > [mm]\bruch{1}{9}[/mm] also  f(B) [mm]\subset[/mm] B. Und das ist ja insgesamt
> > > der größte wert den ich einsetzen darf.
>  >  >  Nur reicht das sicher nicht als begründung aus oder
> ?
>  >  
> > Nein. Zu zeigen ist nämlich:
>  >  Aus [mm]\sqrt{ x^2+y^2} \le \frac 1 3[/mm] folgt [mm]\sqrt{x^4+y^4} \le \frac 1 3\,.[/mm]
>  
> >  

> > Gruß,
>  >  Wolfgang
>  
> Okay, das ist verständlich. Denn  [mm]\sqrt{x^4+y^4} \le \frac 1 3\,.[/mm]
> ist der Abstand der funktion zur 0, und  [mm]\sqrt{ x^2+y^2} \le \frac 1 3[/mm]
> sind die werte die ich einsetzen darf.
>  
> Mir ist auch bewusst dass es gilt denn, aus [mm]\sqrt{ x^2+y^2} \le \frac 1 3[/mm]
> folgt ja, dass x und y kleiner sind als 1.
>  Also werden die werte kleiner wenn ich die Potenz
> erhöhe.
>  
> Also muss die Bedingung gelten, nur weiss ich noch nicht so
> ganz wie ich dass sauber begründen soll.

Tipp: [mm] \sqrt{ x^2+y^2} \le\bruch{1}{3} \gdw x^2+x^2 \le \bruch{1}{9} [/mm], und daraus folgt [mm] $x^2\le \bruch{1}{9}$ [/mm] und [mm] $y^2\le \bruch{1}{9}$. [/mm]

  Viele Grüße
    Rainer

Bezug
                        
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:23 So 21.07.2013
Autor: Helbig


> > Hallo Joker08,
>  >  
> > > Es sei [mm]f:\IR^2 \to \IR^2[/mm] durch [mm]f(x,y):=(x^2,y^2)[/mm]
> > > definiert.
>  >  >  
> > > a) Zeigen Sie: f bildet [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] in sich ab
>  >  >  

>  >  >  
> > > Zu zeigen ist also f(B) [mm]\subset[/mm] B
>  >  >  
> > > Nun ist mir klar, dass es irgendwie stimmen muss.
>  >  >  
> > > Denn wenn ich f(0,1/3)=(0,1/9) so ist |f(0,1/3)| =
> > > [mm]\bruch{1}{9}[/mm] also  f(B) [mm]\subset[/mm] B. Und das ist ja insgesamt
> > > der größte wert den ich einsetzen darf.
>  >  >  Nur reicht das sicher nicht als begründung aus oder
> ?
>  >  
> > Nein. Zu zeigen ist nämlich:
>  >  Aus [mm]\sqrt{ x^2+y^2} \le \frac 1 3[/mm] folgt [mm]\sqrt{x^4+y^4} \le \frac 1 3\,.[/mm]
>  
> >  

> > Gruß,
>  >  Wolfgang
>  
> Okay, das ist verständlich. Denn  [mm]\sqrt{x^4+y^4} \le \frac 1 3\,.[/mm]
> ist der Abstand der funktion zur 0, und  [mm]\sqrt{ x^2+y^2} \le \frac 1 3[/mm]
> sind die werte die ich einsetzen darf.
>  
> Mir ist auch bewusst dass es gilt denn, aus [mm]\sqrt{ x^2+y^2} \le \frac 1 3[/mm]
> folgt ja, dass x und y kleiner sind als 1.
>  Also werden die werte kleiner wenn ich die Potenz
> erhöhe.
>  
> Also muss die Bedingung gelten, nur weiss ich noch nicht so
> ganz wie ich dass sauber begründen soll.

Deine Begründung ist durchaus korrekt und je nach Stil der Vorlesung völlig ausreichend.

Werden im Kontext der Aufgabe die reellen Zahlen gerade axiomatisch eingeführt, sollte ausführlicher argumentiert werden, etwa so:

[mm] $\sqrt {x^2+y^2} \le [/mm] {1 [mm] \over [/mm] 3} [mm] \Rightarrow {x^2+y^2} \le [/mm] {1 [mm] \over [/mm] 9}$

     (Die Quadratfunktion steigt monoton)

[mm] $\Rightarrow x^2 \le [/mm] {1 [mm] \over 9},\; y^2 \le {1\over 9}$ [/mm]

     (Quadrate sind nichtnegativ,  die Addition einer Zahl steigt monoton)

[mm] $\Rightarrow x^4 \le x^2,\; y^4 \le y^2$ [/mm]

     (Für Basen < 1 fallen Exponentialfunktionen monoton)

[mm] $\Rightarrow x^4+y^4 \le x^2+y^2$ [/mm]

     (Die Addition einer Zahl steigt monoton)

[mm] $\Rightarrow \sqrt {x^4 + y^4} \le \sqrt {x^2+y^2}$ [/mm]

     (Die Wurzelfunktion steigt monoton)

[mm] $\Rightarrow \sqrt {x^4+y^4} \le [/mm] {1 [mm] \over [/mm] 3}$

     (Die [mm] $\le$ [/mm] Relation ist als Ordnungsrelation transitiv)

Hier fehlen noch viele Begründungen. In meinem Buch "Analysis 0" habe ich versucht, ähnliche Beweise vollständig zu begründen und dennoch lesbar zu bleiben.

Grüße,
  


Bezug
        
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:31 Sa 20.07.2013
Autor: Joker08


> Es sei [mm]f:\IR^2 \to \IR^2[/mm] durch [mm]f(x,y):=(x^2,y^2)[/mm]
> definiert.

> b) Zeigen Sie außerdem, dass f auf [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] eine
> strikte Kontraktion ist

So ich hab mich nun mal an der b) versucht.

Zu zeigen ist:

[mm] |f(x_1,x_2) [/mm] - [mm] f(y_1,y_2)| \le [/mm] k [mm] \cdot |(x_1,x_2) [/mm] - [mm] (y_1,y_2)| [/mm]

Also erhalte ich:

[mm] \left| \vektor{x_{1}^2 \\ x_{2}^2} - \vektor{y_{1}^2 \\ y_{2}^2} \right| =\left| \vektor{x_{1}^2 - y_{1}^2 \\ x_{2}^2 - y_{2}^2} \right| [/mm] = [mm] \left| \vektor{(x_1-y_1)(x_2+y_2) \\ (x_{2}- y_{2})(x_{2}+ y_{2})} \right| [/mm]

Jetzt gilt mit der Cauchy Schwarz ungleichung:

[mm] \le \left| \vektor{x_1+y_1 \\ x_2+y_2} \right| \cdot \left| \vektor{x_1-y_1 \\ x_2-y_2} \right| [/mm]


[mm] \le \left| \vektor{x_1 \\ x_2} \right| [/mm] + [mm] \left| \vektor{y_1 \\ y_2} \right| \cdot \left| \vektor{x_1-y_1 \\ x_2-y_2} \right| [/mm]

[mm] \le \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} \cdot \left| \vektor{x_1\\ x_2 } - \vektor{y_1\\ y_2 } \right| [/mm]

= [mm] \bruch{2}{3} \cdot \left| \vektor{x_1\\ x_2 } - \vektor{y_1\\ y_2 } \right| [/mm]

Also ist meine kontraktionskonstante [mm] k:=\bruch{2}{3} [/mm]

Stimmt das so ?

Bezug
                
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:26 Mo 22.07.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]\le \left| \vektor{x_1 \\ x_2} \right|[/mm] + [mm]\left| \vektor{y_1 \\ y_2} \right| \cdot \left| \vektor{x_1-y_1 \\ x_2-y_2} \right|[/mm]

Hier fehlt eine Klammer.

> Stimmt das so ?

Sonst stimmt es.

Gruß,
Gono.

Bezug
        
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 Sa 20.07.2013
Autor: Richie1401

Hallo Joker,

durch den Übergang zu Polarkoordinaten könnte durchaus einiges sehr viel einfacher werden. Allein aus dem Fakt, dass
[mm] r^2\sin^2\varphi+r^2\cos^2\varphi=r^2 [/mm]
gilt.

Gewiss eine Überlegung wert.

Bezug
        
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:14 So 21.07.2013
Autor: Joker08


> c) Hat f einen Fixpunkt in [mm]B_{1/3}(0,0)[/mm] \ [mm]\{B_{1/3}(0,0)\}[/mm]
> ? Begründen Sie ihre Antwort


Ich würde sagen, dass B dann nicht mehr abgeschlossen ist und somit die Voraussetzungen für den Fixpunktsatz nicht mehr gewährleistet sind.

Aber so ganz sicher bin ich mir nicht.

Bezug
                
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:37 Mo 22.07.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich würde sagen, dass B dann nicht mehr abgeschlossen ist

warum nicht?

MFG,
Gono.

Bezug
                        
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:10 Mo 22.07.2013
Autor: Joker08

Weil (0,0) ein Randpunkt ist, der nicht mehr Zur Menge B, dazugehört

Bezug
                                
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:22 Mo 22.07.2013
Autor: Helbig


> Weil (0,0) ein Randpunkt ist, der nicht mehr Zur Menge B,
> dazugehört  

Das stimmt!

Aber auch wenn der Definitionsbereich nicht abgeschlossen ist, kann f immer noch einen Fixpunkt haben. Aber Du weißt, daß (0,0) ein Fixpunkt ist. Kann es einen weiteren geben?


Gruß,
Wolfgang


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]