Banachsches Kontraktionskriter < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Do 28.12.2006 | | Autor: | svenchen |
Hallo!
Könnt ihr mir erklären, was das Banachsches Kontraktionskriterium und evtl. ein kleines Beispiel dazu zeigen? Wäre lieb danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Do 28.12.2006 | | Autor: | Gonozal_IX |
Also ich würde dir nun das Kontraktionskriterium für den Banachschen Fixpunktsatz erklären.... würde nur gerne vorher wissen, ob es auch das ist, was du hören willst. Denn direkt ein "Banachsches Kontraktionskriterium" ist mir nicht bekannt. 
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Do 28.12.2006 | | Autor: | svenchen |
ich brauche das für Folgen. Glaube man kann damit zeigen,d ass eine Fogle divergent ist. ABer was genau man damit machen kann und wie, weiß ich ja grade nicht. Es geht jedenfalls um Reihen und Folgen.
Danke für die Bereitschaft-
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> Könnt ihr mir erklären, was das Banachsches
> Kontraktionskriterium
Hallo,
ich glaube, Du suchst das hier:
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge.
Wenn es ein q<1 gibt und ein [mm] n_0\in \IN, [/mm] so daß
[mm] |x_{n+1}-x_n| \le [/mm] q [mm] |x_{n}-x_{n-1}| [/mm] für alle n [mm] \ge n_0,
[/mm]
so konvergiert die Folge.
Für den Grenzwert x gelten folgende Abschätzungen:
i. [mm] |x_{n}-x| \le \bruch{1}{1-q}|x_{n+1}-x_n| [/mm] (a posteriori)
ii. [mm] |x_{n}-x| \le \bruch{q^{n-n_0}}{1-q}|x_{n_0+1}-x_{n_0}| [/mm] (a priori)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Do 28.12.2006 | | Autor: | svenchen |
Hi Angela, danke für die Definition.
Aber ich verstehe das nicht. Ich kann diese Ausdrucksweise nicht leiden, geschweige denn verstehen.
Könnt ihr mir ein Beispiel dazu geben und es daran erklären ?
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> ich verstehe das nicht. Ich kann diese Ausdrucksweise
> nicht leiden, geschweige denn verstehen.
Hallo,
wenn Du diese Ausdrucksweise nicht leiden kannst, wollen wir mal hoffen, daß nicht Mathematik das Fach ist, welches Du studierst...
Daß man so etwas nicht auf Anhieb versteht, ist eigentlich nichts besonderes. Man muß sich ein wenig damit beschäftigen, um den Sinn darin zu sehen.
"Sei $ [mm] (x_n) [/mm] $ eine Folge.
Wenn es ein q<1 gibt und ein $ [mm] n_0\in \IN, [/mm] $ so daß
$ [mm] |x_{n+1}-x_n| \le [/mm] $ q $ [mm] |x_{n}-x_{n-1}| [/mm] $ für alle n $ [mm] \ge n_0, [/mm] $
so konvergiert die Folge."
Man hat hier eine Folge [mm] (x_n) [/mm] und man schaut nach, wie dicht die benachbarten Folgenglieder jeweils [mm] beisammenliegen:|x_{n+1}-x_n| [/mm]
Wie dicht liegen sie beisammen? Dichter als [mm] (\le) [/mm] der vorhergehende Abstand [mm] (|x_{n}-x_{n-1}|), [/mm] "Sehr viel" dichter sogar [mm] (\le [/mm] q* ...).
Und wenn man diese Situation hat, weiß man, daß die Folge konvergiert.
Du hattest ja selbst die Überschrift "Kontraktionskriterium" gewählt.
Da liegt es nahe, im Angesichte des Satzes darüber zu meditieren, wer oder was hier kontrahiert, sich also zusammenzieht. Was ist es? Der Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Folgengliedern.
Ein Beispiel. Betrachte die Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_0:=1 [/mm] , [mm] x_{n+1}:=\bruch{3}{1+x_n}.
[/mm]
Man sieht [mm] x_n>0 [/mm] für alle n.
Es ist [mm] |x_{n+1}-x_n|=|\bruch{3}{1+x_n}-\bruch{3}{1+x_{n-1}}|=3|\bruch{x_{n-1}-x_n}{(1+x_n)(1+x_{n-1})}| [/mm]
[mm] =3|\bruch{x_{n-1}-x_n}{1+x_{n-1}+x_n(1+x_{n-1})}|=3|\bruch{x_{n-1}-x_n}{1+x_{n-1}+3}| [/mm] (s. Rekursion)
[mm] =3|\bruch{x_{n-1}-x_n}{4+x_{n-1}}| <3|\bruch{x_{n-1}-x_n}{4}| =\bruch{3}{4}|x_{n-1}-x_n| [/mm]
Also kontrahiert die Folge [mm] (q=\bruch{3}{4}).
[/mm]
Daher weiß man, daß die Folge konvergiert gegen einen Grenzwert x.
Diesen kann man aus [mm] x=\bruch{3}{1+x} [/mm] leicht errechnen, (so daß wir die Abschätzungen gar nicht benötigen.)
Da [mm] n_0 [/mm] in der Definition ist für den Fall, daß die Folge erst ab einem bestimmten Folgenglied kontrahiert.
Das wäre der Fall bei der Folge [mm] (y_n) [/mm] mit
[mm] y_0:=1, y_1:=3, y_2:=7, y_3:=0, y_4:=10, y_5:=1, y_{n+1}:=\bruch{3}{1+y_n} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 5.
Ab [mm] n_0=6 [/mm] kontahiert es hier brav.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Fr 29.12.2006 | | Autor: | svenchen |
Angela, ich finde es sehr nett von dir, dass du dir diese Mühe gemacht hast. Man kann es also auch mit normalen Worten erklären ;)
Nein ich studiere kein Mathe, technische Informatik.
Hast du einen kleinen Tippfehler, bei:
"Es ist ........"
Das, was du da im Betrag schreibst, deckt sich so wie ich das im Moment sehe nicht mit deiner Definition am Anfang.
Wann ist es sinnvoll, das Kriterium anzuwenden? Nur bei rekursiven Folgen?
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> Wann ist es sinnvoll, das Kriterium anzuwenden?
Hallo,
wenn man das "Gefühl" hat, daß sich die Abstände zwischen den Folgengliedern "zusammenziehen", kann man prüfen, ob das wirklich so ist, und dann ggf. das Kriterium anwenden.
> Nur bei rekursiven Folgen?
Das ist nicht zwingend. Leider ist mein Kopf gerade so leer, daß mir kein Beispiel einfällt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 Fr 29.12.2006 | | Autor: | svenchen |
Kann man viele Aufgaben so rechnen, wie dein Beispiel ?
Da schreibst du : (s. Rekursion)
Den Ausdruck, der davor steht, verstehe ich leider nicht. Wie kommt man auf ihn?
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> Da schreibst du : (s. Rekursion)
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> Den Ausdruck, der davor steht, verstehe ich leider nicht.
> Wie kommt man auf ihn?
Hallo,
Die Rekursion war [mm] x_{n+1}:=\bruch{3}{1+x_n}.
[/mm]
Also ist [mm] x_{n}:=\bruch{3}{1+x_{n-1}}
[/mm]
Hieraus folgt 3= [mm] x_{n}(1+x_{n-1}), [/mm] und das habe ich an der fraglichen Stelle verwendet.
> Kann man viele Aufgaben so rechnen, wie dein Beispiel
> ?
Naja, schon aus meinem Beispiel kann man beliebig viele basteln, indem man die 3 durch 5,5,6,7,... ersetzt...
Wie oft Dir solch eine Aufgabe vorgestzt wird, hängt sicher damit zusammen, wie gut Euren Chefs das Kontraktionskriterium gefällt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Di 02.01.2007 | | Autor: | svenchen |
Frohes neues Jahr !!
Alles klar, dann hab ich das soweit erstmal verstanden.
Werde jetzt Aufgaben dazu rechnen.
Vielen lieben Dank.
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