Bandmatrix? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
Ich wollte euch fragen, was eine reguläre Bandmatrix ist. Es wäre Klasse,
wenn mir jemand nicht nur eine Definition, sondern auch 3 oder 4 Beispiele
(sehr einfach bis "normal") geben könnte.
Vielen Dank!
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Di 12.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi karl
bei uns waren bandmatrizen wie folgt definiert (wenn du eine andere definiton hast, so gib diese bitte an):
eine [m] n \times n [/m] matrix $A$ heißt bandmatrix mit der bandbreite [m] \omega [/m], wenn [m] a_{i,j} = 0[/m] für alle [m] i, j [/m] mit [m] |i-j| > \omega [/m].
somit ist z.b. die einheitsmatrix [m] E_n [/m] mit $1$-en auf der hauptdiagonalen und $0$-en sonst eine bandmatrix mit der bandbreite [m] \omega = 0 [/m] und die matrix
[m] A = \left( \begin{array}{ccccc} 4 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ & 1 & 4 & 1 \\ & & 1 & 4 & 1 \\ & & & 1 & 4 \end {array} \right) [/m]
(fehlende eintträge seien nullen) ist eine bandmatrix mit bandbreite [m] \omega = 1 [/m]. die bandbreite gibt also stets an, auf wie weit von der hauptdiagonalen entfernten nebendiagonalen noch einträge stehen dürfen.
hoffe das ist klar geworden und hoffentlich reden wir überhaupt über das selbe objekt. melde dich am besten nochmal.
grüße
andreas
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Hallo Andreas,
Danke für die Definition aber worin besteht dann der Unterschied
zwischen einer regulären und einer nicht-regulären Bandmatrix?
Außerdem scheint es dann so zu sein, daß eine "normale" Matrix,
wie z.B. [mm] $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ [/mm] im Grunde
nichts weiter als eine Bandmatrix mit der Schrittweite 1 ist. Demnach
ist also jede $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix auch eine Bandmatrix mit Schrittweite
n-1. Aber was ist dann eine reguläre Bandmatrix?
Ich denke das Wort "regulär" hat hier eine besondere Bedeutung,
weil sonst folgende Aufgabe ziemlich einfach zu sein scheint:
"Ist die Inverse einer regulären Bandmatrix im Allgemeinen wieder
eine Bandmatrix? Begründe deine Behauptung."
Stünde da das Wort "regulär" nicht, so wär's einfach, weil ich jede
beliebige Matrix wie z.B. [m]\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}[/m] nehmen könnte, von der keine Inverse existiert.
Damit wäre doch die Behauptung im Allgemeinen wiederlegt, oder?
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Di 12.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi Karl
mit google habe ich folgende seite gefunden: ![[]](/images/popup.gif) hier findest du erwähnt, was man in der numerik unter einer bandmatrix und einer regulären matrix versteht.
> Außerdem scheint es dann so zu sein, daß eine "normale"
> Matrix,
> wie z.B. [mm]\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}[/mm] im
> Grunde
> nichts weiter als eine Bandmatrix mit der Schrittweite 1
> ist. Demnach
> ist also jede [mm]n \times n[/mm]-Matrix auch eine Bandmatrix mit
> Schrittweite
> n-1.
genau. jede matrix ist bandmatrix mit einer geeigneten bandbreite.
> Aber was ist dann eine reguläre Bandmatrix?
siehe link oben. im quadratische fall handelt es sich also um eine invertierbare bandmatrix. sonst wäre die aufgabe natürlich quatsch.
grüße
andreas
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Hallo Andreas,
Danke für deine Hilfe! Ich denke die Aussage -
"Die Inverse einer regulären Bandmatrix ist im Allgemeinen wieder
eine Bandmatrix" - ist falsch! Mein Computeralgebrasystem
hat mir nämlich folgendes Ergebnis für eine
reguläre $3 [mm] \times [/mm] 3$-Bandmatrix mit Schrittweite 1 geliefert:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Offenbar ist die Schrittweite bei der inversen Matrix größer 1.
Also ist die Aussage im Allgemeinen wohl falsch?
Viele Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: unbekannt) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Di 12.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi Karl
ich kann zwar mit der notation deines algebra-systems nicht viel anfangen, aber es scheint eben mit diesem beispiel zu gehen. es reicht ja eine $3 [mm] \times [/mm] 3$-matrix mit bandbreite$1$anzugeben, deren inverse eine voll besetzte $3 [mm] \times [/mm] 3$-matrix ist. das kannst du ja ganz einfach durch bestimmte wahl deiner parameter erreichen.
gruß
andreas
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:55 Mi 13.10.2004 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Andreas,
Ich bin mir ehrlich gesagt nicht mehr so sicher, was meine
"Lösung" der Aufgabe angeht. Offenbar habe ich mit meinem
Beispiel ja nur widerlegt, daß beim Invertieren einer regulären
Bandmatrix nicht unbedingt eine Matrix mit der gleichen Schrittweite
rauskommen muß. Die Aufgabe lautete aber zu begründen oder
zu widerlegen, daß beim Invertieren einer solchen Matrix wieder
eine Bandmatrix rauskommt.
Aber in meinem Beispiel kommt doch eine Bandmatrix raus? Klar,
diese Bandmatrix hat eine andere Schrittweite, aber es ist trotzdem
eine Bandmatrix. Also habe ich die Aufgabe nicht gelöst? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Danke nochmal!
Viele Grüße
Karl
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