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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Di 31.10.2006 | | Autor: | Bebe |
| Aufgabe | Es gibt einen bestimmten Club, der Club der Barbiere genannt wird.
Folgendes ist über ihn bekannt:
Fakt1: Jedes Clubmitglied hat mindestens ein Mitglied rasiert.
Fakt2: Kein Mitglied hat jemals sich selbst rasiert.
Fakt3: Kein Mitglied ist jemals von mehr als einem Mitglied rasiert worden.
Fakt4: Es gibt ein Mitglied, das überhaupt noch nicht rasiert worden ist.
Die Mitgliederzahl dieses Clubs ist ein streng gehütetes Geheimnis. Einem Gerücht zufolge liegt die Zahl unter tausend. Einem anderen Gerücht zufolge liegt sie über tausend. Welches der beiden Gerüchte entspricht der Wahrheit? |
Hallo!
Wir haben den Text an sich verstanden aber, was hat denn der Text mit der Anzahl der Personen zu tun??
Kann uns da irgend jm bei dieser Aufgabe helfen?
Wäre echt supi...
Danke!
LG, Bebe
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Hallo und guten Tag,
sei V die Menge der Mitglieder dieses Clubs.
Frage: Gilt |V| < 1000 ?
Definiere eine Menge gerichteter Kanten [mm] E\subseteq V\times [/mm] V wie folgt:
[mm] E=\{ (u,v)\: |\: u,v\in V,\:\: u\:\: hat\:\: v\:\: rasiert\}
[/mm]
Es sei zu [mm] v\in [/mm] V
[mm] d_{in}(v)= |\{u\in V\:\: |\: (u,v)\in E\}|
[/mm]
[mm] d_{out}(v)= |\{u\in V\:\: |\: (v,u)\in E\}|
[/mm]
Annahme: |V| [mm] <\infty,
[/mm]
d.h. die Mitgliederzahl Eures Clubs sei endlich.
Dann gilt
[mm] \sum_{v\in V} d_{in}(v)=\sum_{v\in V}d_{out}(v)=|E|, \:\:\: (\star)
[/mm]
nicht wahr ?
Nun sagen Eure Bedingungen ja
[mm] \forall v\in V\:\: d_{out}(v)=1
[/mm]
[mm] \forall v\in V\:\: d_{in}(v)\leq [/mm] 1
[mm] \exists v\in V\:\: d_{in}(v)=0
[/mm]
Also: Auf der linken Seite in [mm] (\star) [/mm] steht eine Summe, die höchstens |V|-1 ist,
auf der rechten Seite steht eine Summe, die mindestens ...... Alles klar ?
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Di 31.10.2006 | | Autor: | Bebe |
Hallo, leider haben uns deine Aufzeichnungen nicht wirklich weitergebracht! Könntest du uns vielleicht einmal ganz einfach erklären, wir haben damit gerade erst in der Vorlesung begonnen. Ich danke dir schon mal im Voraus!
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Hallo Bebe,
also ich würde sagen, und das dürfte sich auch aus Mathias' Antwort ergeben, dass der Club unendlich viele Mitglieder hat. Überlegt doch mal: Jedes Mitglied hat schon mal ein anderes rasiert und keins wurde mehrmals rasiert. Also wurde jedes Mitglied auch genau einmal rasiert. Da es aber ein Mitglied gibt, das noch nie rasiert wurde, ergibt sich eigentlich ein Widerspruch, bzw. wenn es unendlich viele Mitglieder gibt, dann wurde das "erste" Mitglied gar nicht rasiert, hat aber das zweite rasiert, das zweite hat das dritte rasiert usw. bis in die Unendlichkeit. 
Hilft euch das? Soll ich euch Mathias' Antwort auch noch näher erläutern oder habt ihr die jetzt verstanden?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Bebe |
Hallo, danke! Jetzt haben wir es verstanden, so ergibt auch die vorherige Antwort von matiash Sinn.
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Also ich verstehe nicht warum der Club unendlich viele Mitglieder haben soll,
für mich ist die Aufgabe eher ein Paradoxon.
Nehmen wir mal an X ist die Anzahl der Mitglieder, und R die Anzahl der rasierten Mitglieder.
So jetzt gibt es ein M (Mitglied):
M [mm] \in [/mm] X | M [mm] \not\in [/mm] R
X = R + M
So da wir wissen, dass es nur ein Mitglied ist kann man sagen
X = R + 1
Laut Fakt 1 wissen wir aber das
X [mm] \le [/mm] R
oder auch eingesetzt
(R + 1) [mm] \le [/mm] R
da R [mm] \in [/mm] natürlichen Zahlen ergibt sich ein Paradoxon
Bitte korigiert ggf meinen Denkfehler.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Do 01.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Nehmen wir mal an X ist die Anzahl der Mitglieder, und R
> die Anzahl der rasierten Mitglieder.
>
> So jetzt gibt es ein M (Mitglied):
>
> M [mm]\in[/mm] X | M [mm]\not\in[/mm] R
Sind X, M, R jetzt Mengen oder Zahlen?
Aber OK, die Ungenauigkeit in der Schreibweise läßt sich heilen:
Nimm einfach Großbuchstaben für die Mengen und Kleinbuchstaben für ihre Mächtigkeit.
> X = R + 1
also x = r + 1
> Laut Fakt 1
und zusammen mit Fakt 3....
> wissen wir aber das
>
> X [mm]\le[/mm] R
$x [mm] \leq [/mm] r$
> oder auch eingesetzt
>
> (R + 1) [mm]\le[/mm] R
> da R [mm]\in[/mm] natürlichen Zahlen ergibt sich ein Paradoxon
Ansonsten ist da kein Denkfehler. Wenn du davon ausgehst, daß $r [mm] \in \IN$, [/mm] dann ergibt sich tatsächlich ein Widerspruch.
Die angegeben Fakten sind nur mit einem unendlichen Graphen modellierbar, wie von Matthias angegeben.
Gruß
Will
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