Barometrische Höhenformel < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Leiten Sie eine Differentialgleichung für die Änderung des Luftdrucks P mit der Höhe y über der Erdoberfläche her, indem Sie die Kraft auf ein schmales Volumen der Atmosphäre mit Dicke dy in der Höhe y Betrachten. Die DGL sollte die Form: [mm] \bruch{dP}{dy}=f(g,p) [/mm] haben.(Dabei ist g die Erdbeschleunigung und p die Dichte der Luft)
b) Lösen Sie die Differentialgleichung unter der Annahme einer konstanten Erdbeschleunigung und einer Dichte, die proportional zum Luftdruck ist. Das Ergebnis soll als Konstanten die Dichte [mm] \rho_0 [/mm] und den Druck [mm] P_0 [/mm] auf der Erdoberfläche enthalten. |
Hallo zusammen,
Erstmal eine allgemeine Frage zu a)
Ich soll eine DGL aufstelen, d.h. ja einfach gesagt, alle auftretenden Kräfte in einer Gleichung zusammen fassen, oder?
Jetzt soll das ganze die Form [mm] \bruch{dp}{dy}=...haben, [/mm] also die Änderung des Druckes in y Richtung. Der Zusammenhang zwischen Druck und Kraft ist:
[mm] p=\bruch{F}{A}...wenn [/mm] ich doch nun alle Kräfte aufführe bekomme ich doch die Form F=p*A, oder?? Wie ist denn der Zusammenhang zu [mm] \bruch{dP}{dy}? [/mm]
Wäre nett, wenn mir da jemand einen Zusammenhang herstellen könnte!
Zu der Aufgabe selbst:
Auf die Ober und Unterseite einer solchen Luftsäule greift doch der Schweredruck [mm] p=\bruch{F}{A}=\bruch{\rho*dV*g}{A}=\bruch{\rho*A*dy*g}{A} [/mm] an, also die Kraft [mm] F=\rho*A*dy*g, [/mm] wobei [mm] \rho [/mm] die Dichte der Luftsäule (an dieser Stelle) ist.
Die Änderung dieser Kraft in vertikaler y Richtung ist doch für einen Höhenunterschied dy dann: [mm] F=\rho*A*(dy+dy)*g...??
[/mm]
Ich bin glaub ich irgendwie auf dem Holzweg...Da ich eine DGL aufstellen soll, indem ich die KRÄFTE auf ein Volumen betrachte, komme ich irgendwie nicht so voran..=(
Wäre sehr nett, wenn mit jemand bei meinen 2 Punkten helfen könnte!
Danke schonmal im Voraus für die Mühe!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 Mo 25.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Erstmal eine allgemeine Frage zu a)
> Ich soll eine DGL aufstelen, d.h. ja einfach gesagt, alle
> auftretenden Kräfte in einer Gleichung zusammen fassen,
> oder?
eigentlich gibts doch nur eine Kraft, die auf die feste Fläche A wirkt, die Gewichtskraft der darüberliegenden Luft, deren Dichte ja aber nicht wie in deiner Gleichung konstant ist. gehst du um dy nach oben, so drückt die Luft in dem Volumen dy*A weniger.
machs mal erst für ein [mm] \Delta [/mm] y=1m lass auf dem stück erstmal die Dichte konstant. Wieviel ändert sich dann die Gewichtskraft?
fann kannst dus sicher auch für dy, aber denk daran, dass auch die dichte sich mit dem Druck ändert.
Wenn man nicht weiterkommt, hilft es oft mal in 3 endlichen Schritten, ruhig von 10 oder 100 m zu gehen, dann sieht man, wie es läuft und kommt schnell zu der richtigen Dgl.
Gruss leduart
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Hi,
danke für deine Tipps! Ich habe es jetzt so versucht:
Erstmal unter der Annahme einer Konstanten Dichte erhält man für die Kraftänderung in y Richtung: (Als Differential geschrieben):
[mm] \bruch{\partial p}{\partial y}dy=g*\rho*A*dy, [/mm] also:
[mm] \bruch{\partial p}{\partial y}=g*\rho*A, [/mm] das erhält man ja erstmal für die Kraftänderung, wenn man sich in y Richtung um dy bewegt, unter der Annahme einer konstanten Dichte.
(Ist das von der Schreibweise so auch korrekt?)
Jetzt sollte ich noch mit einfließen lassen, dass die Dichte der Luft wegen des geringer werdenden Drucks mit der Höhe abnimmt...ich habe zum Bsp. die universelle Gasgleichung gefunden, aber weiß nicht so recht, wie ich das sinnvoll da einfließen lassen kann?
Danke,
liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Mo 25.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
T=const. dann gilt p*V=const. betrachte eine fesste menge m von Luft
dann gilt p*V/m=Konst [mm] p/\rho=const =p_0/\rho_0
[/mm]
anschaulich. wenn du den druck verringest, nimmt dieselbe masse gas ein größeres Volumen ein, die Dichte wird kleiner. Da p hier nur von y abhängt, solltest du keine partielle ableitung schreiben.
sondern dp=....
Gruss leduart
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Danke dir!
steht (das recht unpräzise verwendete=) „dF“ bzw. „dp“ dann einfach für eine infinitesimal kleine Kraft bzw. Druckänderung? (Und da diese nur von y abhängt, eben in y Richtung?)
Dann habe ich als Ansatz für die Kraftänderung:
[mm] dF=g*\rho(h)*A*dy [/mm] und deshalb wegen [mm] p=\bruch{F}{A}\Rightarrow dP=g*\rho(h)*dy
[/mm]
und mit deinem Tipp für die Änderung der Dichte mit der Höhe:
[mm] \bruch{p}{\rho}=\bruch{p_0}{\rho_0}=const. \Rightarrow \rho=p*\frac{\rho_0}{p_0}. [/mm] Das dann eingsetzt:
[mm] dP=g*\underbrace{p*\frac{\rho_0}{p_0}}_{=\rho(h)}*dy
[/mm]
und jetzt kann ich doch recht unmathematisch durch „dy“ teilen und erhalte als gesuchte DGL:
[mm] \frac{dp}{dy}=g*p*\frac{\rho_0}{p_0}
[/mm]
Ist das korrekt? Jetzt habe ich doch mit diesem Ausdruck eine Differentialgleichung der gesuchten Form [mm] \frac{dp}{dy}=f(g,p), [/mm] oder?
Dazu noch eine Frage:
Wenn p jetzt nicht nur von y sondern mehreren Variablen abhängen würde (z.B. wenn man ganz präzise mit nicht konstanter Erdbeschleunigung rechnen würde, hätte man dann meinen partial Ausdruck [mm] \frac{\partial p}{\partial y}dy [/mm] schreiben können, um deutlich zu machen, dass ich jetzt die Änderung des Druckes in Y Richtung betrachte?
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 27.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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