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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 Mo 28.11.2005 | | Autor: | oeli1985 |
Hallo zusammen,
ich sitze gerade an folgender Aufgabe:
a)
Zeigen sie, dass die Menge B:={ (1,2,3,4), (2,0,1,-1), (-1,0,0,1), (0,2,3,0) }
eine Basis des [mm] \IR [/mm] - Vektorraums [mm] \IR^{4} [/mm] ist.
b)
Ergänzen sie die Menge B':={ (0,4,5,9), (3,3,3,3) }
durch Elemente von B zu einer Basis von [mm] \IR^{4}
[/mm]
zu a):
z.zg.: B ist Erzeugendensystem von [mm] \IR^{4} [/mm] und linear unabhängig
zur l.u.
LGS:
I -> 1a+2b-1c+0d=0
II-> 2a+0b+0c+2d=0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=(-d)
III-> 3a+b+0c+3d=0
IV -> 4a-1b+1c+0d=0
I+IV -> 5a+1b=0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=(-0,2b)
4I-IV -> 9b-3c=0 [mm] \Rightarrow [/mm] c=3b
2III-3II -> b=0
also: a=b=c=d=0
somit: B ist linear unabhängig
Bis hier hin wars nicht so schwer (oder hab ich was falsch gemacht?).
Jetzt muss ich doch noch zeigen, dass ich durch Linearkombinationen der Elemente von B jeden Vektor aus [mm] \IR^{4} [/mm] erzeugen kann!?Also:
[mm] span_{k} [/mm] (B) = [mm] \IR^{4}
[/mm]
Kann mir hier jemand weiterhelfen? Habe bisher noch keine wirkliche Idee, die ich nicht schon selber wieder widerlegt habe :-(
zu b)
Meiner Meinung nach muss ich B' mit (1,2,3,4) und (0,2,3,0) aus B ergänzen. Denn:
LGS:
I -> 0a+3b+1c+0d=0 [mm] \Rightarrow [/mm] c=(-3b)
II -> 4a+3b+2c+2d=0
III -> 5a+3b+3c+3d=0
IV -> 9a+3b+4c+0d=0
I -> 0a+3b+1c+0d=0 [mm] \Rightarrow [/mm] c=(-3b)
3II-2III -> 2a+3b=0 [mm] \Rightarrow [/mm] -3b=2a [mm] \Rightarrow [/mm] c=2a (*)
IV-I -> 9a+3c=0 [mm] \Rightarrow [/mm] c=(-3a) (!)
aus (*) und (!) folgt, dass a=0
III-II -> 1a+1c+1d=0 (%)
IV-III -> 4a+1c+0d=0 (§)
(§)-(%) -> 3a+d=0 [mm] \Rightarrow [/mm] d=(-3a) [mm] \Rightarrow [/mm] d=c
also: a=b=c=d=0
somit: B' ist in diesem Fall ebenfalls Basis von [mm] \IR^{4}
[/mm]
Stimmt das? Oder kann ich aus (*) und (!) nicht folgern, dass a=0?
DANKE schon mal für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:05 Di 29.11.2005 | | Autor: | sole |
Hi!
In a) hast du eine maximale linear unabhängige Teilmenge von [mm] \IR^{4} [/mm] gegeben, diese ist somit automatisch eine Basis von [mm] \IR^{4} [/mm]
In b) kannst du die Vektoren
[mm] v_{1}=(1,2,3,4)
[/mm]
[mm] v_{2}=(0,2,3,0)
[/mm]
[mm] v_{3}=(0,0,1,0)
[/mm]
[mm] v_{4}=(0,0,0,1)
[/mm]
wählen, da dann
[mm] v_{1}-v_{2}-4v_{4}=(1,0,0,0)
[/mm]
[mm] .5(v_{2}-3v_{3})=(0,1,0,0)
[/mm]
[mm] v_{3}=(0,0,1,0)
[/mm]
[mm] v_{4}=(0,0,0,1)
[/mm]
da dies eine Basis von [mm] \IR^{4} [/mm] ist muss nach dem Ausstauschsatz [mm] (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}) [/mm] auch eine Basis von [mm] \IR^{4} [/mm] sein.
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