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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Di 20.02.2007 | | Autor: | Incibus |
| Aufgabe | Gegeben seien im [mm] R^5 [/mm] die Vektoren [mm] v_{1}=(4,1,1,0,-2) [/mm] , [mm] v_{2}=(0,1,4,-1,2) [/mm] , [mm] v_{3}=(4,3,9,-2,2) [/mm] , [mm] v_{4}=(1,1,1,1,1) [/mm] , [mm] v_{5}=(0,-2,-8,2,-4).
[/mm]
a) Bestimmen Sie eine Basis von V = [mm] span(v_{1},.....,v_{5}) [/mm] |
eine Basis ist z.B. [mm] w_{1}=(1,1,1,1,1) [/mm] , [mm] w_{2}=(0,1,4,-1,2) [/mm] , [mm] w_{3}=(0,0,9,-7,0).
[/mm]
Wieso besteht die Basis nur aus 3 Vektoren, ich dachte im [mm] R^5 [/mm] benötige ich 5 Vektoren um eine Basis zu erhalten???
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> Gegeben seien im [mm]R^5[/mm] die Vektoren [mm]v_{1}=(4,1,1,0,-2)[/mm] ,
> [mm]v_{2}=(0,1,4,-1,2)[/mm] , [mm]v_{3}=(4,3,9,-2,2)[/mm] , [mm]v_{4}=(1,1,1,1,1)[/mm]
> , [mm]v_{5}=(0,-2,-8,2,-4).[/mm]
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> a) Bestimmen Sie eine Basis von V =
> [mm]span(v_{1},.....,v_{5})[/mm]
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> eine Basis ist z.B. [mm]w_{1}=(1,1,1,1,1)[/mm] , [mm]w_{2}=(0,1,4,-1,2)[/mm]
> , [mm]w_{3}=(0,0,9,-7,0).[/mm]
> Wieso besteht die Basis nur aus 3 Vektoren, ich dachte im
> [mm]R^5[/mm] benötige ich 5 Vektoren um eine Basis zu erhalten???
Hallo,
die Aufgabe lautet nicht, eine Basis des [mm] \IR^5 [/mm] zu finden. Eine solche müßte tatsächlich aus 5 Vektoren bestehen.
Hier aber wird eine Teilmenge des [mm] \IR^5 [/mm] betrachtet, nämlich der von [mm] v_{1},.....,v_{5} [/mm] aufgespannte Raum (Spann, Lineare Hülle),
also der Raum, welcher von [mm] v_{1},.....,v_{5} [/mm] erzeugt wird.
Hierfür wird eine Basis gesucht.
Wie man dies tut, dafür gibt es verschiedene Möglichkeiten.
Ein sehr naheliegende Möglichkeit ist die, sich aus diesen 5 Vektoren eine maximale linear unabhängige Teilmenge herauszufiltern.
Generell ist es wichtig zu wissen, daß Räume i.a. nicht nur eine Basis haben, sondern daß es normalerweise mehrere Basen gibt, welche alle eines gemeinsam haben: die Anzahl ihrer Elemente. (Wenn also in Lösungen eine andere Basis angegeben ist, als die, die man selbst errechnet hat, besteht noch kein Grund zur Panik.)
Gruß v. Angela
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