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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Mo 01.03.2010 | | Autor: | D-C |
| Aufgabe | Hallo, versuche mich grade an folgender Aufgabe.
U := { [mm] (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \in \IR [/mm] : [mm] x_{1}+x_{3}=0,x_{2}+x_{4}=0 [/mm] }
W := { [mm] (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \in \IR [/mm] : [mm] x_{1}+x_{2}=0,x_{1}+x_{4}=0 [/mm] }
Gesucht sind Basen von U,W, U [mm] \cap [/mm] W und U+W |
Also hab ich mir erstmal die Bedingungen von U vorgenommen:
[mm] x_{1}+x_{3}=0
[/mm]
[mm] x_{2}+x_{4}=0
[/mm]
Das wäre mit [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] erfüllt und damit als eine Basis für U gegeben.
Das gleiche für W:
[mm] x_{1}+x_{2}=0
[/mm]
[mm] x_{1}+x_{4}=0
[/mm]
Das wäre mit [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] erfüllt und damit als eine Basis für w gegeben.
Nun hab ich die Bedingungen von U ein wenig umgeschrieben:
[mm] x_{1}+x_{3}=0 \gdw x_{1}=-x_{3}
[/mm]
[mm] x_{2}+x_{4}=0 \gdw x_{2}=-x_{4}
[/mm]
Und auch die von W:
[mm] x_{1}+x_{2}=0 \gdw x_{1}=-x_{2}
[/mm]
[mm] x_{1}+x_{4}=0 \gdw x_{1}=-x_{4}
[/mm]
Bei einer ähnlichen Aufgabe, konnte ich das nun soweit umformen, das ich auf einen Basisvektor für U [mm] \cap [/mm] W
kam, der auch beim einsetzen in die Bedingungen diese noch erfüllte, nur hier hab ich das nicht hinbekommen.
Ist der Ansatz vielleicht schon falsch?
Danach muss ich ja eigentlich nur noch in die Dimensionsformel einsetzen und schauen was rauskommt.
Gruß
D-C
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Hallo!
> Also hab ich mir erstmal die Bedingungen von U
> vorgenommen:
>
> [mm]x_{1}+x_{3}=0[/mm]
> [mm]x_{2}+x_{4}=0[/mm]
> Das wäre mit [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
> erfüllt und damit als eine Basis für U gegeben.
>
> Das gleiche für W:
>
> [mm]x_{1}+x_{2}=0[/mm]
> [mm]x_{1}+x_{4}=0[/mm]
> Das wäre mit [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 }[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }[/mm]
> erfüllt und damit als eine Basis für w gegeben.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun hab ich die Bedingungen von U ein wenig umgeschrieben:
>
> [mm]x_{1}+x_{3}=0 \gdw x_{1}=-x_{3}[/mm]
> [mm]x_{2}+x_{4}=0 \gdw x_{2}=-x_{4}[/mm]
>
> Und auch die von W:
>
>
> [mm]x_{1}+x_{2}=0 \gdw x_{1}=-x_{2}[/mm]
> [mm]x_{1}+x_{4}=0 \gdw x_{1}=-x_{4}[/mm]
>
> Bei einer ähnlichen Aufgabe, konnte ich das nun soweit
> umformen, das ich auf einen Basisvektor für U [mm]\cap[/mm] W
> kam, der auch beim einsetzen in die Bedingungen diese noch
> erfüllte, nur hier hab ich das nicht hinbekommen.
> Ist der Ansatz vielleicht schon falsch?
Nein, das ist alles richtig. Es steht doch im Grunde schon da!
Um deine Überlegungen / Lösungen zu überprüfen, musst du sie aber beim nächsten Mal mitposten... Okay?
[mm] $x_{1} [/mm] = [mm] -x_{3}$
[/mm]
[mm] $x_{1} [/mm] = [mm] -x_{2}$
[/mm]
[mm] $x_{1} [/mm] = [mm] -x_{4}$
[/mm]
Das bedeutet als auch: [mm] x_{2} [/mm] = [mm] x_{4}. [/mm] Nun soll aber auch
[mm] $x_{2} [/mm] = [mm] -x_{4}$
[/mm]
gelten. Das geht nur, wenn [mm] $x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] = [mm] x_{3} [/mm] = [mm] x_{4} [/mm] = 0$. Der Schnitt der Vektorräume ist also schlicht und ergreifend nur der Nullvektor. Über dieses Problem bist du wahrscheinlich gestolpert.
> Danach muss ich ja eigentlich nur noch in die
> Dimensionsformel einsetzen und schauen was rauskommt.
Ich weiß jetzt nicht genau, was du damit meinst. Gesucht sind Basen, keine Dimensionen.
Grüße,
Stefan
PS.: Auch wenn es mit den Gleichungen immer ganz gut klappt, solltest du auch ein Verfahren parat haben, wie du den Schnitt von zwei Vektorräumen berechnen kannst, die nur durch Basen gegeben sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Di 02.03.2010 | | Autor: | D-C |
> [mm]x_{1} = -x_{3}[/mm]
> [mm]x_{1} = -x_{2}[/mm]
> [mm]x_{1} = -x_{4}[/mm]
>
> Das bedeutet als auch: [mm]x_{2}[/mm] = [mm]x_{4}.[/mm] Nun soll aber auch
>
> [mm]x_{2} = -x_{4}[/mm]
>
> gelten. Das geht nur, wenn [mm]x_{1} = x_{2} = x_{3} = x_{4} = 0[/mm].
> Der Schnitt der Vektorräume ist also schlicht und
> ergreifend nur der Nullvektor. Über dieses Problem bist du
> wahrscheinlich gestolpert.
Ja genau stimmt, ich hatte das irgendwie mit -1,1 und 0 probiert, aber mit dem
Nullvektor als Lösung macht das natürlich wieder Sinn ; )
>
> > Danach muss ich ja eigentlich nur noch in die
> > Dimensionsformel einsetzen und schauen was rauskommt.
>
> Ich weiß jetzt nicht genau, was du damit meinst. Gesucht
> sind Basen, keine Dimensionen.
>
Na ja, es fehlt ja jetzt noch die Basis von U+W.
Bei der anderen Aufgabe konnte man einfach in dim(U+W)=dimU+dimW-(dimU [mm] \cap [/mm] dimW)
einsetzen und da dabei beide Seiten gleich waren, konnte man einfach die
Standardbasis des [mm] \IR^4 [/mm] wählen.
Hier würde aber ja dim(U+W)=dimU+dimW-(dimU [mm] \cap [/mm] dimW) = 2+2-1 = 3 sein, was wäre denn
dann als Basis zu wählen?
Gruß
D-C
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Hallo,
> > > Danach muss ich ja eigentlich nur noch in die
> > > Dimensionsformel einsetzen und schauen was rauskommt.
> >
> > Ich weiß jetzt nicht genau, was du damit meinst. Gesucht
> > sind Basen, keine Dimensionen.
> >
>
> Na ja, es fehlt ja jetzt noch die Basis von U+W.
> Bei der anderen Aufgabe konnte man einfach in
> dim(U+W)=dimU+dimW-(dimU [mm]\cap[/mm] dimW)
> einsetzen und da dabei beide Seiten gleich waren, konnte
> man einfach die
> Standardbasis des [mm]\IR^4[/mm] wählen.
Okay.
> Hier würde aber ja dim(U+W)=dimU+dimW-(dimU [mm]\cap[/mm] dimW) =
> 2+2-1 = 3 sein, was wäre denn
> dann als Basis zu wählen?
Bitte zunächst ein bisschen Achtung vor der Dimensionsformel: Es heißt:
$dim(U+W) = dim(U)+dim(W) [mm] -\red{dim(U\cap W)}$
[/mm]
(Es wird die Dimension vom Schnitt zweier Vektorräume, nicht der Schnitt zweier Dimensionen (was soll das überhaupt sein  )?
Und wir haben doch oben errechnet, dass [mm] $dim(U\cap [/mm] W) = 0$, da nur der Nullvektor Lösung der Gleichungen war!
Also kommst du wieder auf dim(U+W) = 4.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Di 02.03.2010 | | Autor: | D-C |
> > Na ja, es fehlt ja jetzt noch die Basis von U+W.
> > Bei der anderen Aufgabe konnte man einfach in
> > dim(U+W)=dimU+dimW-(dimU [mm]\cap[/mm] dimW)
> > einsetzen und da dabei beide Seiten gleich waren,
> konnte
> > man einfach die
> > Standardbasis des [mm]\IR^4[/mm] wählen.
>
> Okay.
>
> > Hier würde aber ja dim(U+W)=dimU+dimW-(dimU [mm]\cap[/mm] dimW) =
> > 2+2-1 = 3 sein, was wäre denn
> > dann als Basis zu wählen?
>
> Bitte zunächst ein bisschen Achtung vor der
> Dimensionsformel: Es heißt:
>
> [mm]dim(U+W) = dim(U)+dim(W) -\red{dim(U\cap W)}[/mm]
Stimmt, da ist mir wohl ein grober Schreibfehler passiert : (
> (Es wird die Dimension vom Schnitt zweier Vektorräume,
> nicht der Schnitt zweier Dimensionen (was soll das
> überhaupt sein )?
>
> Und wir haben doch oben errechnet, dass [mm]dim(U\cap W) = 0[/mm],
> da nur der Nullvektor Lösung der Gleichungen war!
> Also kommst du wieder auf dim(U+W) = 4.
Ach ja, so kommt das dann wieder hin mit 4=4 und dann kann man wieder die
Standardbasis des [mm] \IR^4 [/mm] wählen.
Gruß und Danke
D-C
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