Basen bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Mo 23.11.2009 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | Versuchen Sie doch einmal, jeweils eine Basis der folgenden Teilmengen der
angegebenen [mm] $\IR$-Vektorräume [/mm] zu bestimmen (mit anschließendem Nachprüfen der beiden Bedingungen)! Wie geht man so etwas wohl an?
a) [mm] $V_1 [/mm] = [mm] \{ \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \in \IR^3 | 2x_1 = x_3 \} \subset \IR^3$
[/mm]
b) [mm] $V_2 [/mm] = [mm] \{ \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \in \IR^3 | -2x_1 + 4x_2 - 8x_3 = 0 \} \subset \IR^3$
[/mm]
c) [mm] $V_3 [/mm] = [mm] \{ \pmat{ a & a \\ a & a } \in \IR^{(2,2)} | a \in \IR \} \subset \IR^{(2,2)}$
[/mm]
d) [mm] $V_4 [/mm] = [mm] \{ \pmat{ a & a \\ a & 0 } \in \IR^{(2,2)} | a \in \IR \} \subset \IR^{(2,2)}$
[/mm]
e) [mm] $V_5 [/mm] = [mm] \{ \pmat{ a & a \\ a + b & 0 } \in \IR^{(2,2)} | a,b \in \IR \} \subset \IR^{(2,2)}$
[/mm]
f) [mm] $V_3 [/mm] = [mm] \{ \pmat{ a & b \\ c & 1 } \in \IR^{(2,2)} | a,b,c \in \IR \} \subset \IR^{(2,2)}$ [/mm] |
Guten Abend,
also ich bin ziemlich ratlos wie man diese Aufgabe angeht. Die Frage in der Aufgabenstellung suggeriert bereits, dass wir das Procedere zur Bestimmung von Basen in der Vorlesung noch nicht durchgenommen haben.
Ich bin das Problem folgendermaßen exemplarisch für Aufgabenteil c) angegangen. In der Aufgabenstellung heißt es ja:
[mm] $V_3 [/mm] = [mm] \{ \pmat{ a & a \\ a & a } \in \IR^{(2,2)} | a \in \IR \} \subset \IR^{(2,2)}$
[/mm]
Offensichtlich handelt es sich bei [mm] $V_3 \subset \IR^2$ [/mm] um die Menge aller Matrizen $A [mm] \sim [/mm] (2,2)$ bei denen alle Komponenten den gleichen Wert haben. Daher vermute ich stark, dass die Länge der Basis 1 ist und die eizige Matrix der Basis jene Matrix ist, bei der alle Einträge 1 sind. Nun müsste ich noch die beiden Bedingungen nachprüfen, nämlich:
1. die Basis ist ein Erzeugendensystem
2. die Basis ist linear unabhängig
Hier stehe ich nun aufm Schlauch. Zu zeigen, dass die Basis linear unabhängig ist stellt kein Problem dar. Allerdings habe ich Schwierigkeiten mit dem Begriff Erzeugendensystem. Wie kann ich mir sicher sein, dass die von mir bestimmte Menge von Matrizen tatsächlich ein minimales (unverkürzbares) Erzeugendensystem für [mm] $V_3$ [/mm] ist?
Bei den anderen Teilaufgaben habe ich ähnlich Ideen. Ich denke, wenn es einmal Klick macht wird es kein Problem sein die anderen Aufgaben zu bearbeiten.
Ich danke euch schonmal für eure Antworten!
Viele Grüße
Jakob
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> Versuchen Sie doch einmal, jeweils eine Basis der folgenden
> Teilmengen der
> angegebenen [mm]\IR[/mm]-Vektorräume zu bestimmen (mit
> anschließendem Nachprüfen der beiden Bedingungen)! Wie
> geht man so etwas wohl an?
>
> a) [mm]V_1 = \{ \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \in \IR^3 | 2x_1 = x_3 \} \subset \IR^3[/mm]
>
> b) [mm]V_2 = \{ \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \in \IR^3 | -2x_1 + 4x_2 - 8x_3 = 0 \} \subset \IR^3[/mm]
>
> c) [mm]V_3 = \{ \pmat{ a & a \\ a & a } \in \IR^{(2,2)} | a \in \IR \} \subset \IR^{(2,2)}[/mm]
>
> d) [mm]V_4 = \{ \pmat{ a & a \\ a & 0 } \in \IR^{(2,2)} | a \in \IR \} \subset \IR^{(2,2)}[/mm]
>
> e) [mm]V_5 = \{ \pmat{ a & a \\ a + b & 0 } \in \IR^{(2,2)} | a,b \in \IR \} \subset \IR^{(2,2)}[/mm]
>
> f) [mm]V_3 = \{ \pmat{ a & b \\ c & 1 } \in \IR^{(2,2)} | a,b,c \in \IR \} \subset \IR^{(2,2)}[/mm]
>
> Ich bin das Problem folgendermaßen exemplarisch für
> Aufgabenteil c) angegangen. In der Aufgabenstellung heißt
> es ja:
> [mm]V_3 = \{ \pmat{ a & a \\ a & a } \in \IR^{(2,2)} | a \in \IR \} \subset \IR^{(2,2)}[/mm]
>
> Offensichtlich handelt es sich bei [mm]V_3 \subset \IR^{(2,2)}[/mm] um die
> Menge aller Matrizen [mm]A \sim (2,2)[/mm] bei denen alle
> Komponenten den gleichen Wert haben.
Hallo,
ja, genau.
> Daher vermute ich
> stark, dass die Länge der Basis 1 ist und die eizige
> Matrix der Basis jene Matrix ist, bei der alle Einträge 1
> sind.
Es ist in der Tat [mm] \{\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 } \} [/mm] eine (!) Basis von [mm] V_3.
[/mm]
> Nun müsste ich noch die beiden Bedingungen
> nachprüfen, nämlich:
> 1. die Basis Menge ist ein Erzeugendensystem
> 2. die Basis Menge ist linear unabhängig
Wenn beides gilt, dann handelt es sich um eine basis.
> Hier stehe ich nun aufm Schlauch. Zu zeigen, dass die Basis
> linear unabhängig ist stellt kein Problem dar.
Wie hast Du's gemacht?
> Allerdings
> habe ich Schwierigkeiten mit dem Begriff Erzeugendensystem.
> Wie kann ich mir sicher sein, dass die von mir bestimmte
> Menge von Matrizen tatsächlich ein minimales
> (unverkürzbares) Erzeugendensystem für [mm]V_3[/mm] ist?
Erzeugendensystem: es ist [mm] \pmat{ a & a \\ a & a }=a*\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }, [/mm] also kann man jedes Element aus [mm] V_3 [/mm] als Linearkombination von [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm] schreiben.
Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist eine Basis. Da ist nichts mehr zu zeigen.
Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist ein minimales Erzeugendensystem.
Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist eine Max. menge linear unabhängiger Vektoren.
Und nochmal zu "minimal": Wenn Du aus der kleinen Basis noch ein Element rausnimmst, ist ja keins mehr drin.
> Bei den anderen Teilaufgaben habe ich ähnlich Ideen. Ich
> denke, wenn es einmal Klick macht wird es kein Problem sein
> die anderen Aufgaben zu bearbeiten.
Mal exemplarisch zu a)
$ [mm] V_1 [/mm] = [mm] \{ \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \in \IR^3 | 2x_1 = x_3 \} \subset \IR^3 [/mm] $
Die Vektoren [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \in V_1 [/mm] haben die Gestalt [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] = [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ 2x_1} =x_1*\vektor{\vdots}+x_2*\vektor{\vdots}.
[/mm]
damit kommst Du weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mo 23.11.2009 | | Autor: | jboss |
> > Ich bin das Problem folgendermaßen exemplarisch für
> > Aufgabenteil c) angegangen. In der Aufgabenstellung heißt
> > es ja:
> > [mm]V_3 = \{ \pmat{ a & a \\ a & a } \in \IR^{(2,2)} | a \in \IR \} \subset \IR^{(2,2)}[/mm]
>
> >
> > Offensichtlich handelt es sich bei [mm]V_3 \subset \IR^{(2,2)}[/mm]
> um die
> > Menge aller Matrizen [mm]A \sim (2,2)[/mm] bei denen alle
> > Komponenten den gleichen Wert haben.
>
> Hallo,
>
> ja, genau.
>
> > Daher vermute ich
> > stark, dass die Länge der Basis 1 ist und die eizige
> > Matrix der Basis jene Matrix ist, bei der alle Einträge 1
> > sind.
>
> Es ist in der Tat [mm]\{\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 } \}[/mm] eine (!)
> Basis von [mm]V_3.[/mm]
>
> > Nun müsste ich noch die beiden Bedingungen
> > nachprüfen, nämlich:
> > 1. die Basis Menge ist ein Erzeugendensystem
> > 2. die Basis Menge ist linear unabhängig
>
> Wenn beides gilt, dann handelt es sich um eine basis.
>
>
> > Hier stehe ich nun aufm Schlauch. Zu zeigen, dass die Basis
> > linear unabhängig ist stellt kein Problem dar.
>
> Wie hast Du's gemacht?
Hierzu zeige ich, dass das LGS [mm] $x*\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }$ [/mm] nur die triviale Lösung $x = 0$ besitzt.
>
> > Allerdings
> > habe ich Schwierigkeiten mit dem Begriff Erzeugendensystem.
> > Wie kann ich mir sicher sein, dass die von mir bestimmte
> > Menge von Matrizen tatsächlich ein minimales
> > (unverkürzbares) Erzeugendensystem für [mm]V_3[/mm] ist?
>
> Erzeugendensystem: es ist [mm]\pmat{ a & a \\ a & a }=a*\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 },[/mm]
> also kann man jedes Element aus [mm]V_3[/mm] als Linearkombination
> von [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm] schreiben.
>
> Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist eine Basis.
> Da ist nichts mehr zu zeigen.
> Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist ein
> minimales Erzeugendensystem.
> Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist eine Max.
> menge linear unabhängiger Vektoren.
>
> Und nochmal zu "minimal": Wenn Du aus der kleinen Basis
> noch ein Element rausnimmst, ist ja keins mehr drin.
>
>
>
> > Bei den anderen Teilaufgaben habe ich ähnlich Ideen. Ich
> > denke, wenn es einmal Klick macht wird es kein Problem sein
> > die anderen Aufgaben zu bearbeiten.
>
> Mal exemplarisch zu a)
>
> [mm]V_1 = \{ \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \in \IR^3 | 2x_1 = x_3 \} \subset \IR^3[/mm]
>
> Die Vektoren [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \in V_1[/mm] haben die
> Gestalt [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm] = [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ 2x_1} =x_1*\vektor{\vdots}+x_2*\vektor{\vdots}.[/mm]
Würde bedeuten, dass die Länge der Basis hier gleich 2 ist und die linear unabhängige Menge [mm] $\{\vektor{1 \\ 0 \\ 2}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}\}$ [/mm] eine Basis von [mm] $V_1$ [/mm] bildet, da sich alle Vektoren $v [mm] \in V_1$ [/mm] darstellen lassen als $v = [mm] x_1 [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] + [mm] x_2 [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}$ [/mm] mit Skalaren [mm] $x_1,x_2 \in \IR$ [/mm] stimmts? 
Gruß
Jakob
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Hallo,
ja, so ist es.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 Mo 23.11.2009 | | Autor: | jboss |
Vielen Dank Angela!
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