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| Aufgabe | Seien U und W Unterräume des [mm] \IR^4 [/mm] mit
[mm] U=\{x\in\IR^4 : x_1 + x_2 + x_4 = -x_1 + x_2 + x_3 = 0\},
[/mm]
[mm] W=\{x\in\IR^4 : 2x_1 + x_3 − x_4 = -x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4 = 0\}
[/mm]
Finden Sie eine Basis von $ U [mm] \cap [/mm] W $.
Finden Sie eine Basis von U und W die jeweils die Basis von $ U [mm] \cap [/mm] W $ enthalten.
Finden Sie eine Basis U+W die ihre Basis von $ U [mm] \cap [/mm] W $ enthält. |
Hallo,
mein Ansatz ist der folgende:
[mm] U=\{x\in\IR^4 : x_1 + x_2 + x_4 = -x_1 + x_2 + x_3 = 0\}
[/mm]
Also [mm] x_1+x_2+x_4=−x_1+x_2+x_3 \Rightarrow 2x_1-x_3+x_4=0
[/mm]
[mm] W=\{x\in\IR^4 : 2x_1 + x_3 − x_4 = -x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4 = 0}
[/mm]
Also [mm] 2x_1+x_3-x_4=−x_1+2x_2+x_3+x_4 \Rightarrow 3x_1-2x_2-2x_4=0
[/mm]
Jetzt kann ich die Koeffizienten dieser beiden Gleichungen bsp als Matrix schreiben und sollte eine Basis erhalten, wenn ich das ganze in zeilenstufenform bringe bzw eine Reihe komplett null wird. Laut Lösung wäre eine mögliche Basis (0,-1,1,1) . Ich finde aber immer zwei vektoren als Basis, was mich zu dem Schluss bringt, dass ich was falsch mache.
Weiter komme ich dann auch erstmal nicht, weil meine Basis für U / W die Basis für $ U [mm] \cap [/mm] W $ enthalten soll.
Lg
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> Seien U und W Unterräume des [mm]\IR^4[/mm] mit
>
> [mm]U=\{x\in\IR^4 : x_1 + x_2 + x_4 = −x_1 + x_2 + x_3 = 0\},[/mm]
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> [mm]W=\{x\in\IR^4 : 2x_1 + x_3 − x_4 = −x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4 = 0\}[/mm]
>
> Finden Sie eine Basis von [mm]U \cap W [/mm].
> Finden Sie eine Basis
> von U und W die jeweils die Basis von [mm]U \cap W[/mm] enthalten.
> Finden Sie eine Basis U+W die ihre Basis von [mm]U \cap W[/mm]
> enthält.
> Hallo,
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> mein Ansatz ist der folgende:
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> [mm]U=\{x\in\IR^4 : x_1 + x_2 + x_4 = −x_1 + x_2 + x_3 = 0\}[/mm]
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> Also [mm]x_1+x_2+x_4=−x_1+x_2+x_3 \Rightarrow 2x_1-x_3+x_4=0[/mm]
>
> [mm]W=\{x\in\IR^4 : 2x_1 + x_3 − x_4 = −x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4 = 0}[/mm]
>
> Also [mm]2x_1+x_3-x_4=−x_1+2x_2+x_3+x_4 \Rightarrow 3x_1-2x_2-2x_4=0[/mm]
>
> Jetzt kann ich die Koeffizienten dieser beiden Gleichungen
> bsp als Matrix schreiben und sollte eine Basis erhalten,
> wenn ich das ganze in zeilenstufenform bringe bzw eine
> Reihe komplett null wird. Laut Lösung wäre eine mögliche
> Basis (0,-1,1,1) . Ich finde aber immer zwei vektoren als
> Basis, was mich zu dem Schluss bringt, dass ich was falsch
> mache.
Hallo,
messerscharf...
Der Fehler ist das ausschließliche Gleichsetzen der beiden Gleichungen, denn dadurch läßt Du Bedingungen unter den Tisch fallen.
Lösen mußt Du das Gleichungssystem
EDIT: hier stand Unfug.
(Es ist ja auch etwas anderes, ob ich fordere
x=0
y=0,
oder ob ich fordere
x=y.)
Gruß v. Angela
>
> Weiter komme ich dann auch erstmal nicht, weil meine Basis
> für U / W die Basis für [mm]U \cap W[/mm] enthalten soll.
>
> Lg
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Hi,
> > Seien U und W Unterräume des [mm]\IR^4[/mm] mit
> >
> > [mm]U=\{x\in\IR^4 : x_1 + x_2 + x_4 = −x_1 + x_2 + x_3 = 0\},[/mm]
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> >
> > [mm]W=\{x\in\IR^4 : 2x_1 + x_3 − x_4 = −x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4 = 0\}[/mm]
>
> >
> > Finden Sie eine Basis von [mm]U \cap W [/mm].
> > Finden Sie eine
> Basis
> > von U und W die jeweils die Basis von [mm]U \cap W[/mm] enthalten.
> > Finden Sie eine Basis U+W die ihre Basis von [mm]U \cap W[/mm]
> > enthält.
> > Hallo,
> >
> > mein Ansatz ist der folgende:
> >
> > [mm]U=\{x\in\IR^4 : x_1 + x_2 + x_4 = −x_1 + x_2 + x_3 = 0\}[/mm]
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> >
> > Also [mm]x_1+x_2+x_4=−x_1+x_2+x_3 \Rightarrow 2x_1-x_3+x_4=0[/mm]
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> > [mm]W=\{x\in\IR^4 : 2x_1 + x_3 − x_4 = −x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4 = 0}[/mm]
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> >
> > Also [mm]2x_1+x_3-x_4=−x_1+2x_2+x_3+x_4 \Rightarrow 3x_1-2x_2-2x_4=0[/mm]
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> >
> > Jetzt kann ich die Koeffizienten dieser beiden Gleichungen
> > bsp als Matrix schreiben und sollte eine Basis erhalten,
> > wenn ich das ganze in zeilenstufenform bringe bzw eine
> > Reihe komplett null wird. Laut Lösung wäre eine mögliche
> > Basis (0,-1,1,1) . Ich finde aber immer zwei vektoren als
> > Basis, was mich zu dem Schluss bringt, dass ich was falsch
> > mache.
>
> Hallo,
>
> messerscharf...
>
> Der Fehler ist das ausschließliche Gleichsetzen der beiden
> Gleichungen, denn dadurch läßt Du Bedingungen unter den
> Tisch fallen.
>
> Lösen mußt Du das Gleichungssystem
>
> [mm]2x_1-x_3+x_4=0[/mm]
> [mm]3x_1-2x_2-2x_4=0,[/mm]
>
> und das ist ein anderes Gleichungssystem als das von Dir
> gelöste GS
>
> [mm]2x_1+x_3-x_4=−x_1+2x_2+x_3+x_4.[/mm]
>
> Äquivalent zu "meinem" wäre allerdings
>
> [mm]2x_1-x_3+x_4=0[/mm]
> [mm]2x_1+x_3-x_4=−x_1+2x_2+x_3+x_4[/mm]
Danke erstmal für deine schnelle Antwort.
Dies wäre ja mein Gleichungssystem für W, das gleiche könnte ich also mit U machen und bekame eine 4x4 matrix für $ U [mm] \cap [/mm] W $, liege ich da richtig ? Diese 4x4 matrix müsste ich ja dann reduzieren können um meine Basis zu erhalten, oder?
> (Es ist ja auch etwas anderes, ob ich fordere
>
> x=0
> y=0,
>
> oder ob ich fordere
>
> x=y.)
>
> Gruß v. Angela
>
>
> >
> > Weiter komme ich dann auch erstmal nicht, weil meine Basis
> > für U / W die Basis für [mm]U \cap W[/mm] enthalten soll.
> >
> > Lg
>
Lg
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> Hi,
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> > > Seien U und W Unterräume des [mm]\IR^4[/mm] mit
> > >
> > > [mm]U=\{x\in\IR^4 : x_1 + x_2 + x_4 = −x_1 + x_2 + x_3 = 0\},[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]W=\{x\in\IR^4 : 2x_1 + x_3 − x_4 = −x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4 = 0\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Finden Sie eine Basis von [mm]U \cap W [/mm].
> > > Finden Sie
> eine
> > Basis
> > > von U und W die jeweils die Basis von [mm]U \cap W[/mm] enthalten.
> > > Finden Sie eine Basis U+W die ihre Basis von [mm]U \cap W[/mm]
> > > enthält.
> > > Hallo,
> > >
> > > mein Ansatz ist der folgende:
> > >
> > > [mm]U=\{x\in\IR^4 : x_1 + x_2 + x_4 = −x_1 + x_2 + x_3 = 0\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Also [mm]x_1+x_2+x_4=−x_1+x_2+x_3 \Rightarrow 2x_1-x_3+x_4=0[/mm]
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> > >
> > > [mm]W=\{x\in\IR^4 : 2x_1 + x_3 − x_4 = −x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4 = 0}[/mm]
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> >
> > >
> > > Also [mm]2x_1+x_3-x_4=−x_1+2x_2+x_3+x_4 \Rightarrow 3x_1-2x_2-2x_4=0[/mm]
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> > >
> > > Jetzt kann ich die Koeffizienten dieser beiden Gleichungen
> > > bsp als Matrix schreiben und sollte eine Basis erhalten,
> > > wenn ich das ganze in zeilenstufenform bringe bzw eine
> > > Reihe komplett null wird. Laut Lösung wäre eine mögliche
> > > Basis (0,-1,1,1) . Ich finde aber immer zwei vektoren als
> > > Basis, was mich zu dem Schluss bringt, dass ich was falsch
> > > mache.
> >
> > Hallo,
> >
> > messerscharf...
> >
> > Der Fehler ist das ausschließliche Gleichsetzen der beiden
> > Gleichungen, denn dadurch läßt Du Bedingungen unter den
> > Tisch fallen.
> >
> > Lösen mußt Du das Gleichungssystem
> >
> > [mm]2x_1-x_3+x_4=0[/mm]
> > [mm]3x_1-2x_2-2x_4=0,[/mm]
> >
> > und das ist ein anderes Gleichungssystem als das von Dir
> > gelöste GS
> >
> > [mm]2x_1+x_3-x_4=−x_1+2x_2+x_3+x_4.[/mm]
> >
> > Äquivalent zu "meinem" wäre allerdings
> >
> > [mm]2x_1-x_3+x_4=0[/mm]
> > [mm]2x_1+x_3-x_4=−x_1+2x_2+x_3+x_4[/mm]
>
> Danke erstmal für deine schnelle Antwort.
>
>
Hallo,
ich hatte vorhin nicht gut genug gelesen - entschuldige bitte.
Das Gleichungssystem, welches Du lösen mußt,
enthält die "U-Gleichungen " und die "W-Gleichungen".
Du mußt also
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0
[mm] −x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0
[mm] 2x_1 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] − [mm] x_4 [/mm] = 0
[mm] −x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0
lösen.
Es reicht aus dem Grund, den ich in Klammern anführte, nicht,
mit
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = [mm] −x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3
[/mm]
[mm] 2x_1 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] − [mm] x_4 [/mm] = [mm] −x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_4
[/mm]
zu arbeiten, denn dieses System enthält wichtige Informationen nicht.
> Dies wäre ja mein Gleichungssystem für W, das gleiche
> könnte ich also mit U machen und bekame eine 4x4 matrix
> für [mm]U \cap W [/mm], liege ich da richtig ? Diese 4x4 matrix
> müsste ich ja dann reduzieren können um meine Basis zu
> erhalten, oder?
Du hast wohl trotz meiner nicht so tollen Erklärung verstanden, worum es geht.
Gruß v. Angela
>
> > (Es ist ja auch etwas anderes, ob ich fordere
> >
> > x=0
> > y=0,
> >
> > oder ob ich fordere
> >
> > x=y.)
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
> > >
> > > Weiter komme ich dann auch erstmal nicht, weil meine Basis
> > > für U / W die Basis für [mm]U \cap W[/mm] enthalten soll.
> > >
> > > Lg
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> Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 Do 18.03.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo angela,
deine Erklärung war vollkommen okay.
Ich denke ich habe es jetzt hinbekommen.
Vielen Dank nochmal.
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