Basen im Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Es sind ja gerade Semesterferien, aber trotzdem lern ich Mathe vom letzten Semester. Das Thema sind Basen und ich muss zugeben, dass ich nicht wirklich verstanden hab, wie man feststellt, ob die vorgegebenen Basen auch Basen des Vektorraums sind.
Beispielaufgabe:
V=Menge aller ganzrationalen Funktionen vom Grad <=1, also V= {ax+b: a,b [mm] \in [/mm] R}
M={2x, x-1, 3x} [mm] \subseteq [/mm] V
Bisher haben wir nur den Test auf lineare Unabhängigkeit gemacht. Reicht das? Ist das alles, was man machen muss?
In der Beispielaufgabe, findet man heraus, dass 3x sich als Linearkombination der beiden anderen darstellen lässt und deswegen keine Basis ist, die anderen beiden sind Basis.
Gibt es ein Rechenschema, wonach man gehen kann bei solchen Aufgaben?
Ich bin sehr dankbar für jede Hilfe.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Di 23.08.2005 | | Autor: | djmatey |
Hi,
eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, d.h. die lineare Unabhängigkeit von vermeintlichen Basisvektoren ist schonmal ein Anfang, aber kein Beweis, dass diese Vektoren auch eine Basis bilden. Dazu musst Du noch zeigen, dass sie auch ein Erzeugendensystem bilden, d.h. dass sich jeder Vektor des Vektorraumes als Linearkombination der vermeintlichen Basisvektoren darstellen lässt.
Ein einfaches Beispiel:
Du willst eine Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] finden.
Die Vektoren
[mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] sind zwar linear unabhängig, aber spannen nicht den gesamten [mm] \IR^{3}, [/mm] sondern nur den [mm] \IR^{2} [/mm] auf, denn z.B. der Vektor (1,1,1) [mm] \in\IR^{3} [/mm] lässt sich nicht als Linearkombination der beiden Vektoren darstellen - dazu fehlt ein dritter Basisvektor. Das bedeutet, dass [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] zwar lin. unabh. sind, aber kein Erzeugendensystem für den [mm] \IR^{3} [/mm] bilden.
Schöne Grüße,
djmatey
|
|
|
|
