Basen und Spiegel-Ebene < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm]
Ebene: \quad
r_E = t_1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t_2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \qquad
Basis: \quad
b_1 = \bruch {1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad
b_2 = \bruch {1}{\wurzel{3}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad
b_3 = \bruch {1}{\wurzel{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
a) Zeigen Sie mit dem Gauß-Algorithmus, dass die Matrix [mm] $C=\bruch{1}{24}\cdot \begin{pmatrix}5&1\\1&5\end{pmatrix} [/mm] die Inverse der Matrix [mm] $B=\begin{pmatrix} -1 & 5 \\ 5 & -1 \end{pmatrix}$ [/mm] ist.
b) Berechnen Sie mit Hilfe der Pseudoinversen eine Matrix, die auf die Ebene projiziert.
c) Stellen Sie die Richtungsvektoren der Ebene in der Basis [mm] $b_1,b_2,b_3$ [/mm] dar.
d) Entwickeln Sie mit geeigneten Basistransformationen eine Matrix, die an der Ebene spiegelt. Verwenden Sie dazu die Basis [mm] $b_1,b_2,b_3$. [/mm] |
a) - c) habe ich hingekriegt, nur Teilaufgabe d) schaffe ich nicht.
Könnt ihr mir da helfen? Das Skript hilft mir in der Hinsicht überhaupt nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Mi 28.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Hallo,
Ich denke, du sollst eine Geschickte wahl treffen, damit die Abbildungsmatrix der neuen Basis möglichst einfach wird.
Du suchst eine Transformationsmatrix die den Vektor [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1} [/mm] z.B. auf [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] abbildet. Deinen zweiten Richtungsvektor der Ebene Bildest du z.B. auf [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] ab und noch einen dritten linear unabhängigen Vektor auf [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}. [/mm] Ich würde für den dritten das Vektorprodukt von [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ -1} [/mm] auf [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] abbilden.
So bestimmst du nun die Transformationsmatrix.
Die Abbildungsmatrix in der neuen Basis sieht man fast von Auge.
Gruss
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Es tut mir leid, aber Deine Antwort hilft mir kaum weiter. Erstens steht in der Aufgabe explizit, dass die Basis [mm] $(b_1 b_2 b_3)$ [/mm] verwendet werden soll. Desweiteren haben wir das Vektorprodukt nicht eingeführt und dürfen es laut unsere Dozenten nicht benutzen. (Sinngemäß zitiert: "Ihr sollt können, was in der Vorlesung vorkam, nicht etwas anderes.")
Also mein Ansatz nach einiger Überlegung wäre zunächst eine Orthonormalbasis aus den Richtungsvektoren der Ebene und einem weiteren linear unabhängigen Vektor zu bilden.
In dieser Basis hätte ich dann die Spiegelmatrix [mm] \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} [/mm] dargestellt und wiederum die daraus resultierende Matrix in der Basis [mm] $(b_1 b_2 b_3)$.
[/mm]
Übersehe ich da etwas? Lässt sich das vereinfachen oder bin ich sogar völlig auf dem Holzweg?
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> Es tut mir leid, aber Deine Antwort hilft mir kaum weiter.
> Erstens steht in der Aufgabe explizit, dass die Basis [mm](b_1 b_2 b_3)[/mm]
> verwendet werden soll. Desweiteren haben wir das
> Vektorprodukt nicht eingeführt und dürfen es laut unsere
> Dozenten nicht benutzen. (Sinngemäß zitiert: "Ihr sollt
> können, was in der Vorlesung vorkam, nicht etwas
> anderes.")
>
> Also mein Ansatz nach einiger Überlegung wäre zunächst
> eine Orthonormalbasis aus den Richtungsvektoren der Ebene
> und einem weiteren linear unabhängigen Vektor zu bilden.
Hallo,
ja, das kann man so machen.
Es reicht aber auch, wenn Du die beiden Vektoren, die die Ebene aufspannen, durch einen dazu senkrechten zu einer Basis ergänzt.
> In dieser Basis hätte ich dann die Spiegelmatrix
> [mm]\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}[/mm]
> dargestellt
Das ist nicht richtig.
Die Vektoren der Ebene werden doch auf sich selbst abgebildet, und die dazu senkrechten klappen um. Also?
> und wiederum die daraus resultierende Matrix in
> der Basis [mm](b_1 b_2 b_3)[/mm].
Ja.
>
> Übersehe ich da etwas? Lässt sich das vereinfachen oder
> bin ich sogar völlig auf dem Holzweg?
Es ist alles i.O., was Du planst.
Was ich anders machen würde, habe ich oben ja geschrieben.
Gruß v. Angela
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> > In dieser Basis hätte ich dann die Spiegelmatrix
> > [mm]\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}[/mm]
> > dargestellt
>
> Das ist nicht richtig.
>
> Die Vektoren der Ebene werden doch auf sich selbst
> abgebildet, und die dazu senkrechten klappen um. Also?
Also: [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}
[/mm]
Richtig? =)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Fr 30.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Jawohl.
Es kann aber natürlich davon abhängen wo die -1 steht, je nach dem wie du die Transformationsmatrix definierst. Also welchen Einheitsvektor du auf Welchen Basisvektor abbildest.
Gruss
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:13 Fr 30.07.2010 | | Autor: | Wastelander |
Ich habe nach obiger Vorgehensweise nun angefangen zu rechnen und komme nach mehrmaliger Überprüfung auf eine völlig absurde Matrix. Sehr wahrscheinlich liegt das an der Wahl meiner Vektoren für die "Ebenenbasis".
Ich habe mehr und mehr das Gefühl, dass ich hier etwas übersehe bzw mir das Verständnis eines wichtigen Zusammenhangs fehlt.
Es wäre wirklich nett, wenn jemand, der in diesem Thema sicherer ist als ich, diese Aufgabe mal durchrechnet und mir einen Hinweis geben könnte, wie die Aufgabe als Ganzes zu lösen ist.
Vielen Dank für die bisherigen Antworten.
LG
~W
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> Ich habe nach obiger Vorgehensweise nun angefangen zu
> rechnen und komme nach mehrmaliger Überprüfung auf eine
> völlig absurde Matrix. Sehr wahrscheinlich liegt das an
> der Wahl meiner Vektoren für die "Ebenenbasis".
>
> Ich habe mehr und mehr das Gefühl, dass ich hier etwas
> übersehe bzw mir das Verständnis eines wichtigen
> Zusammenhangs fehlt.
>
> Es wäre wirklich nett, wenn jemand, der in diesem Thema
> sicherer ist als ich, diese Aufgabe mal durchrechnet und
> mir einen Hinweis geben könnte, wie die Aufgabe als Ganzes
> zu lösen ist.
Hallo,
dann poste mal genau, was Du bisher getan und gerechnet hast.
Erstens können wir Dir dann sagen, was Du falsch gemacht hast, und zweitens bist Du es, der erstmal tippt...
Gruß v. Angela
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Ich poste Euch mal mehr oder weniger ausführlich, was ich bereits zu der gesamten Aufgabe gerechnet habe. In den Klausuren, die ich bereits gelöst habe, bauten die Teilaufgaben stets aufeinander auf. Z.B. braucht man bei dieser Aufgabe die Lösung von a) in Teilaufgabe b).
a)
[mm] \begin{pmatrix}
5 & -1 & | & 1 & 0 \\
-1 & 5 & | & 0 & 1
\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}
-1 & 5 & | & 0 & 1 \\
5 & -1 & | & 1 & 0
\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}
-1 & 5 & | & 0 & 1 \\
0 & 24 & | & 1 & 5
\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}
1 & -5 & | & 0 & -1 \\
0 & 1 & | & \bruch{1}{24}& \bruch{5}{24}
\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}
1 & 0 & | & \bruch{5}{24} & \bruch{1}{24} \\
0 & 1 & | & \bruch{1}{24}& \bruch{5}{24}
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \Rightarrow B^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{24}\begin{pmatrix}
5 & 1 \\
1& 5
\end{pmatrix}
[/mm]
b)
[mm] r_E [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
0 & 2 \\
2 & 0 \\
1 & -1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} t_1 \\ t_2 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] $U=\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
2 & 0 \\
1 & -1
\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] U^{+} [/mm] = [mm] \left ( U^T \cdot U \right )^{-1} \cdot U^T [/mm]
= [mm] \left ( \begin{pmatrix}0&2&1\\2&0&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
2 & 0 \\
1 & -1
\end{pmatrix} \right )^{-1} \cdot\begin{pmatrix}0&2&1\\2&0&-1\end{pmatrix} [/mm]
= [mm] \begin{pmatrix}
5 & -1 \\
-1 & 5 \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix}0&2&1\\2&0&-1\end{pmatrix}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{24}\begin{pmatrix}
5 & 1 \\
1& 5
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0&2&1\\2&0&-1\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{24}\begin{pmatrix}2&10&4\\10&2&-4\end{pmatrix}
[/mm]
[mm]p' = U\cdot U^{+}\cdot p
=\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
2 & 0 \\
1 & -1
\end{pmatrix} \cdot \bruch{1}{24}\begin{pmatrix}2&10&4\\10&2&-4\end{pmatrix} \cdot p
=\bruch{1}{24}\begin{pmatrix}20&4&-8\\4&20&8\\-8&8&8\end{pmatrix}\cdot p[/mm]
c) Ich erspare Euch (und mir) die gesamte Rechnung. Habe alles überprüft und bin mir sicher, dass es richtig ist.
[mm] B = \begin{pmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{2}} &-\bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{1}{\wurzel{6}} \\
\bruch{1}{\wurzel{2}} &\bruch{1}{\wurzel{3}} & -\bruch{1}{\wurzel{6}} \\
0 &\bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{2}{\wurzel{6}}
\end{pmatrix}
\qquad B^{-1} = \begin{pmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{2}} &\bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 \\
-\bruch{1}{\wurzel{3}} &\bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{1}{\wurzel{3}} \\
\bruch{1}{\wurzel{6}} &-\bruch{1}{\wurzel{6}} & \bruch{2}{\wurzel{6}}
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix} [/mm] = [mm] B^{-1} \cdot \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}\wurzel{2}\\\wurzel{3}\\0\end{pmatrix}_{b_1,b_2,b_3}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix} [/mm] = [mm] B^{-1} \cdot \begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}\wurzel{2}\\-\wurzel{3}\\0\end{pmatrix}_{b_1,b_2,b_3}
[/mm]
d) Ab hier wird es wirklich konfus. Ich habe es mehrmals mit unterschiedlichen Ideen probiert. Mein letzter Versuch war wiefolgt:
[mm] u_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad u_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \qquad u_3 =\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] u_2 [/mm] ist der Projektionsvektor vom zweiten Richtungsvektor der Ebene auf [mm] u_1.
[/mm]
[mm] u_3 [/mm] wiederum habe ich per LGS aus [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] ermittelt und ist orthogonal zu beiden Vektoren.
Was ich dann gemacht habe war die Vektoren zu normalisieren und somit eine Orthonormalbasis [mm] B_2 [/mm] zu erzeugen. Daraufhin habe ich zunächst die Spiegelmatrix [mm] \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix} [/mm] in der Basis [mm] B_2 [/mm] dargestellt und die daraus entstandene Matrix in der Basis B = [mm] \begin{pmatrix}\bruch{1}{\wurzel{2}} & - \bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{1}{\wurzel{6}} \\\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{3}} & - \bruch{1}{\wurzel{6}} \\ 0 & \bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{2}{\wurzel{6}} \end{pmatrix}.
[/mm]
Dabei kriege ich eine völlig absurde und krumme Matrix heraus, die verglichen mit allen anderen Aufgaben aus dem Semester viel zu kompliziert zu berechnen war. Ich habe das Ergebnis mit einem Matrizenrechner überprüft und verrechnet habe ich mich nicht. Irgendwo muss ich etwas übersehen bzw mir fehlt ein wichtiger Zusammenhang.
Ich kann nur inständig um Eure Hilfe bitten.
Vielen Dank
~W
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> c) Ich erspare Euch (und mir) die gesamte Rechnung. Habe
> alles überprüft und bin mir sicher, dass es richtig ist.
Hallo.
ich bin mir nicht so sicher...
>
> [mm]B = \begin{pmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{2}} &-\bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{1}{\wurzel{6}} \\
\bruch{1}{\wurzel{2}} &\bruch{1}{\wurzel{3}} & -\bruch{1}{\wurzel{6}} \\
0 &-\bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{2}{\wurzel{6}}\end{pmatrix} \qquad B^{-1} = \begin{pmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{2}} &\bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 \\
-\bruch{1}{\wurzel{3}} &\bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{1}{\wurzel{3}} \\
\bruch{1}{6} &-\bruch{1}{6} & \bruch{1}{3}
\end{pmatrix}
[/mm]
Bei [mm] B^{-1} [/mm] fehlen in der letzen Zeile auf jeden Fall die Wurzeln, das ist aber wohl nur ein Tippfehler.
Aber auch wenn ich mit diesen Wurzeln rechne: 3.Zeile von B * 2.Spalte von [mm] B^{-1} [/mm] ergibt ja nicht 0.
[mm] B^{-1} [/mm] ist also falsch.
>
> [mm]\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}[/mm] = [mm]B^{-1} \cdot \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}[/mm]
> =
> [mm]\begin{pmatrix}\wurzel{2}\\\wurzel{3}\\0\end{pmatrix}_{b_1,b_2,b_3}[/mm]
Auch hier kannst Du leicht prüfen, daß [mm]\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}[/mm][mm] \not=\wurzel{2}*b_1+\wurzel{3}*b_2+0*b_3
[/mm]
Da eine der Basistransformationsmatrizen nicht stimmt, muß es also beim Weiterrechnen ungemütlich werden.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}[/mm] = [mm]B^{-1} \cdot \begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}[/mm]
> =
> [mm]\begin{pmatrix}\wurzel{2}\\-\wurzel{3}\\0\end{pmatrix}_{b_1,b_2,b_3}[/mm]
>
> d) Ab hier wird es wirklich konfus. Ich habe es mehrmals
> mit unterschiedlichen Ideen probiert. Mein letzter Versuch
> war wiefolgt:
>
> [mm]u_1[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad u_2[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \qquad u_3 =\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]u_2[/mm] ist der Projektionsvektor vom zweiten Richtungsvektor
> der Ebene auf [mm]u_1.[/mm]
> [mm]u_3[/mm] wiederum habe ich per LGS aus [mm]u_1[/mm] und [mm]u_2[/mm] ermittelt
> und ist orthogonal zu beiden Vektoren.
>
> Was ich dann gemacht habe war die Vektoren zu normalisieren
> und somit eine Orthonormalbasis [mm]B_2[/mm] zu erzeugen. Daraufhin
> habe ich zunächst die Spiegelmatrix
> [mm]\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}[/mm] in der
> Basis [mm]B_2[/mm] dargestellt und die daraus entstandene Matrix in
> der Basis B = [mm]\begin{pmatrix}\bruch{1}{\wurzel{2}} & - \bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{1}{\wurzel{6}} \\\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{3}} & - \bruch{1}{\wurzel{6}} \\ 0 & \bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{2}{\wurzel{6}} \end{pmatrix}.[/mm]
>
> Dabei kriege ich eine völlig absurde und krumme Matrix
> heraus, die verglichen mit allen anderen Aufgaben aus dem
> Semester viel zu kompliziert zu berechnen war. Ich habe das
> Ergebnis mit einem Matrizenrechner überprüft und
> verrechnet habe ich mich nicht. Irgendwo muss ich etwas
> übersehen bzw mir fehlt ein wichtiger Zusammenhang.
>
> Ich kann nur inständig um Eure Hilfe bitten.
>
> Vielen Dank
> ~W
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Du hast recht, die Basiswechselmatrix ist falsch. Ich habe blöderweise die Matrix aus dem Matrizenrechner abgeschrieben statt der von meinem Schmierblatt. Die richtige Matrix lautet natürlich:
[mm] B^{-1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{2}} &\bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 \\
-\bruch{1}{\wurzel{3}} &\bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{1}{\wurzel{3}} \\
\bruch{1}{\wurzel{6}} &-\bruch{1}{\wurzel{6}} & \bruch{2}{\wurzel{6}}
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{2}} &\bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 \\
-\bruch{1}{\wurzel{3}} &\bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{1}{\wurzel{3}} \\
\bruch{1}{\wurzel{6}} &-\bruch{1}{\wurzel{6}} & \bruch{2}{\wurzel{6}}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 + \bruch{2}{\wurzel{2}} + 0 \\ 0 + \bruch{2}{\wurzel{3}} + \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ 0 - \bruch{2}{\wurzel{6}} + \bruch{2}{\wurzel{6}}\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{\wurzel{4}}{\wurzel{2}} \\ \bruch{\wurzel{9}}{\wurzel{3}} \\ 0\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}\wurzel{2}\\\wurzel{3}\\0\end{pmatrix}_{b_1,b_2,b_3}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{2}} &\bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 \\
-\bruch{1}{\wurzel{3}} &\bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{1}{\wurzel{3}} \\
\bruch{1}{\wurzel{6}} &-\bruch{1}{\wurzel{6}} & \bruch{2}{\wurzel{6}}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{2}{\wurzel{2}} + 0 + 0\\ - \bruch{2}{\wurzel{3}} + 0 - \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{2}{\wurzel{6}} + 0 - \bruch{2}{\wurzel{6}}\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{\wurzel{4}}{\wurzel{2}} \\ - \bruch{\wurzel{9}}{\wurzel{3}} \\ 0\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}\wurzel{2}\\ - \wurzel{3}\\0\end{pmatrix}_{b_1,b_2,b_3}
[/mm]
Die Ergebnisse sind auch mit der falschen Basiswechselmatrix die Gleichen. Bei der Probe (sowhol von Hand als auch per Matrizenrechner) erhalte ich auch wieder die ursprünglichen Vektoren.
Bedenke bitte auch, dass ich die Basiswechselmatrix in Teilaufgabe d) gar nicht verwendet habe. Ich überlege mittlerweile, ob es nicht auch möglich wäre, die Richtungsvektoren der Ebene und einen dritten senkrechten Vektor in die neue Basis zu transformieren. Dann bilde ich aus den drei Vektoren in der neuen Basis eine weitere Basis, in welche ich die Spiegelmatrix transformiere. Wäre das im Sinne der Aufgabenstellung?
Ich danke Euch allen jedenfalls für Eure Mühen und hoffe, dass wir die Aufgabe gemeinsam noch geknackt bekommen. =)
LG
~W
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> Du hast recht, die Basiswechselmatrix ist falsch. Ich habe
> blöderweise die Matrix aus dem Matrizenrechner
> abgeschrieben statt der von meinem Schmierblatt. Die
> richtige Matrix lautet natürlich:
>
> [mm]B^{-1}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{2}} &\bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 \\
-\bruch{1}{\wurzel{3}} &\bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{1}{\wurzel{3}} \\
\bruch{1}{\wurzel{6}} &-\bruch{1}{\wurzel{6}} & \bruch{2}{\wurzel{6}}
\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{2}} &\bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 \\
-\bruch{1}{\wurzel{3}} &\bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{1}{\wurzel{3}} \\
\bruch{1}{\wurzel{6}} &-\bruch{1}{\wurzel{6}} & \bruch{2}{\wurzel{6}}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 0 + \bruch{2}{\wurzel{2}} + 0 \\ 0 + \bruch{2}{\wurzel{3}} + \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ 0 - \bruch{2}{\wurzel{6}} + \bruch{2}{\wurzel{6}}\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} \bruch{\wurzel{4}}{\wurzel{2}} \\ \bruch{\wurzel{9}}{\wurzel{3}} \\ 0\end{pmatrix}[/mm]
> =
> [mm]\begin{pmatrix}\wurzel{2}\\\wurzel{3}\\0\end{pmatrix}_{b_1,b_2,b_3}[/mm]
>
>
> [mm]\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{2}} &\bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 \\
-\bruch{1}{\wurzel{3}} &\bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{1}{\wurzel{3}} \\
\bruch{1}{\wurzel{6}} &-\bruch{1}{\wurzel{6}} & \bruch{2}{\wurzel{6}}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} \bruch{2}{\wurzel{2}} + 0 + 0\\ - \bruch{2}{\wurzel{3}} + 0 - \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{2}{\wurzel{6}} + 0 - \bruch{2}{\wurzel{6}}\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} \bruch{\wurzel{4}}{\wurzel{2}} \\ - \bruch{\wurzel{9}}{\wurzel{3}} \\ 0\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix}\wurzel{2}\\ - \wurzel{3}\\0\end{pmatrix}_{b_1,b_2,b_3}[/mm]
>
> Die Ergebnisse sind auch mit der falschen
> Basiswechselmatrix die Gleichen. Bei der Probe (sowhol von
> Hand als auch per Matrizenrechner) erhalte ich auch wieder
> die ursprünglichen Vektoren.
Hallo,
ja, das paßt jetzt doch.
Du hattest in der einen Matrix B auch einen Tippfehler, deshalb dachte ich, es würde nicht passen.
Ich habe nun den nächsten Fehler entdeckt.
Dein Vektor [mm] u_3 [/mm] ist nicht orthogonal zu den beiden anderen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 10:20 Sa 31.07.2010 | | Autor: | Wastelander |
[mm] \left\langle \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \right\rangle [/mm] = 0 + 2 - 2 = 0
[mm] \left\langle \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\rangle [/mm] = 0 - 2 + 2 = 0
[mm] \left\langle \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\rangle [/mm] = 5 - 1 - 4 = 0
Damit sollten die drei Vektoren allesamt orthogonal zueinander sein.
P.S. Ich habe mal die Fehler in meiner ursprünglichen Frage korrigiert. Dort hat man dann eine Übersicht über alles, was ich bisher gerechnet habe.
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> [mm]\left\langle \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \right\rangle[/mm]
> = 0 + 2 - 2 = 0
>
> [mm]\left\langle \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\rangle[/mm]
> = 0 - 2 + 2 = 0
>
> [mm]\left\langle \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\rangle[/mm]
> = 5 - 1 - 4 = 0
>
> Damit sollten die drei Vektoren allesamt orthogonal
> zueinander sein.
In der Tat.
Ich hatte die 5 irgendwie mißachtet.
Ich gucke mir jetzt nochmal Deine korrigierte Zusammenstellung an.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 Mo 30.08.2010 | | Autor: | sqrt25 |
> Du hast recht, die Basiswechselmatrix ist falsch. Ich habe
> blöderweise die Matrix aus dem Matrizenrechner
> abgeschrieben statt der von meinem Schmierblatt. Die
> richtige Matrix lautet natürlich:
>
> [mm]B^{-1}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{2}} &\bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 \\
-\bruch{1}{\wurzel{3}} &\bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{1}{\wurzel{3}} \\
\bruch{1}{\wurzel{6}} &-\bruch{1}{\wurzel{6}} & \bruch{2}{\wurzel{6}}
\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{2}} &\bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 \\
-\bruch{1}{\wurzel{3}} &\bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{1}{\wurzel{3}} \\
\bruch{1}{\wurzel{6}} &-\bruch{1}{\wurzel{6}} & \bruch{2}{\wurzel{6}}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 0 + \bruch{2}{\wurzel{2}} + 0 \\ 0 + \bruch{2}{\wurzel{3}} + \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ 0 - \bruch{2}{\wurzel{6}} + \bruch{2}{\wurzel{6}}\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} \bruch{\wurzel{4}}{\wurzel{2}} \\ \bruch{\wurzel{9}}{\wurzel{3}} \\ 0\end{pmatrix}[/mm]
> =
> [mm]\begin{pmatrix}\wurzel{2}\\\wurzel{3}\\0\end{pmatrix}_{b_1,b_2,b_3}[/mm]
>
>
> [mm]\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{2}} &\bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 \\
-\bruch{1}{\wurzel{3}} &\bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{1}{\wurzel{3}} \\
\bruch{1}{\wurzel{6}} &-\bruch{1}{\wurzel{6}} & \bruch{2}{\wurzel{6}}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} \bruch{2}{\wurzel{2}} + 0 + 0\\ - \bruch{2}{\wurzel{3}} + 0 - \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{2}{\wurzel{6}} + 0 - \bruch{2}{\wurzel{6}}\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} \bruch{\wurzel{4}}{\wurzel{2}} \\ - \bruch{\wurzel{9}}{\wurzel{3}} \\ 0\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix}\wurzel{2}\\ - \wurzel{3}\\0\end{pmatrix}_{b_1,b_2,b_3}[/mm]
Kannst Du mir verraten, wie Du auf Matrix [mm] B^{-1} [/mm] bzw. B kommst?
Ich grübel schon die ganze Zeit darüber. Ich dachte, man müsste eine Basistransformationsmatrix von der Basis der Ebene ( [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}) [/mm] nach B [mm] (1/\wurzel{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},1/\wurzel{3} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, 1/\wurzel{6}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}) [/mm] finden. Das hab ich dann mit folgendem Gauß-Algorithmus versucht:
[mm] \begin{pmatrix}
1/\wurzel{2} & -1/\wurzel{3} & 1/\wurzel{6} \\
1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{3} & -1/\wurzel{6} \\
0 & 1/\wurzel{3} & 2/\wurzel{6}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
1/\wurzel{2} & -1/\wurzel{3} & 1/\wurzel{6} \\
1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{3} & -1/\wurzel{6} \\
0 & 1/\wurzel{3} & 2/\wurzel{6}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
1/\wurzel{2} & -1/\wurzel{3} & 1/\wurzel{6} \\
1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{3} & -1/\wurzel{6} \\
0 & 1/\wurzel{3} & 2/\wurzel{6}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} g \\ h \\ i \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}
[/mm]
...woraus sich dann die Basistransformationsmatrix [mm] \begin{pmatrix}
a & d & g \\
b & e &h \\
c & f & i
\end{pmatrix} [/mm] ergeben würde. Die Rechnung führt jedoch nicht zur Matrix B (auch nicht, wenn ich dieselben Basen u wie du für die Ebene verwende).
Vielen Dank im Voraus
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Der Thread ist inzwischen etwas unübersichtlich. Ich wiederhole den relevanten Teil der Aufgabe:
gegeben ist die $ Ebene E durch E: [mm] \quad r_E [/mm] = [mm] t_1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] t_2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm]
und eine Basis [mm] B:=(b_1, b_2, b_3) [/mm] des [mm] \IR^3 mit\qquad \quad b_1 [/mm] := [mm] \bruch {1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad b_2 [/mm] := [mm] \bruch {1}{\wurzel{3}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad b_3 [/mm] := [mm] \bruch {1}{\wurzel{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $
Gesucht ist nun die Darstellungsmatrix (bzgl. der Standardbasis) der Spiegelung an der Ebene E.
Lt. Aufgabenstellung soll man sich dazu der Basis B bedienen.
> Ich grübel schon die ganze Zeit darüber. Ich dachte, man
> müsste eine Basistransformationsmatrix von der Basis der
> Ebene ( [mm]\begin{pmatrix} 0 \\
2 \\
1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\
0 \\
-1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\
2 \\
-4 \end{pmatrix})[/mm]
Überaus kraus formuliert...
Aber ich weiß schon, was Du meinst:
Die Basis C:=( [mm]\begin{pmatrix} 0 \\
2 \\
1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\
0 \\
-1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\
2 \\
-4 \end{pmatrix})[/mm] ist eine Basis, welche sich in der Tat prima eignet, um schließlich die Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasis aufzustellen:
die Darstellungsmatrix der besagten Spiegelung [mm] \rho [/mm] bzgl der Basis C ist ja [mm] _CM(\rho)_C=\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1}, [/mm] und mit einer Basistransformation bekommt man dann die Darstellungsmatrix bzgl. der Standardbasis E, nämlich mit
[mm] _EM(\rho)_E=_EM(id)_C*_CM(\rho)_C*_CM(id)_E.
[/mm]
Dabei ist [mm] _EM(id)_C [/mm] die Matrix, welche die Vektoren von C in ihren Spalten enthält, und die rechte Matrix ihr Inverses.
Wenn man nun alles ausrechnet, ist die Aufgabe im Prinzip gelöst.
Nun war allerdings gewünscht, daß man sich der Basis B bedient.
Schaut man diese mal genauer an, so entdeckt man, daß [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] die Ebene E aufspannen und [mm] b_3 [/mm] senkrecht zu [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] ist.
Diese Basis ist also ebenfalls hervorragend für die Bearbeitung des anstehenden Problems geeignet, es ist
[mm] _BCM(\rho)_B=\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1}, [/mm] und mit einer Basistransformation bekommt man dann die Darstellungsmatrix bzgl. der Standardbasis E, nämlich mit
[mm] _EM(\rho)_E=_EM(id)_B*_BM(\rho)_B*_BM(id)_E.
[/mm]
[mm] _EM(id)_B [/mm] ist die Matrix, welche in den Spalten die Basisvektoren von B enthält, und nun kommt der Clou: diese Matrix ist orthogonal, so daß das Invertieren ohne Rechnung gelingt!
Das, was Du zu tun gedenkst, eine Transformation von der Basis B in die Basis C oder so ist völlig nutzlos hier.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Di 31.08.2010 | | Autor: | sqrt25 |
Erst mal möchte ich mich für die ausführliche Antwort bedanken: Danke!
Man könnte die Aufgabe doch aber auch folgendermaßen lösen:
Man spiegelt jeden Einheitsvektor [mm] \vec e_i [/mm] an der Ebene gemäß der Formel
[mm]\vec e_i[/mm]' = 2[mm]\vec x_0[/mm] - [mm]\vec e_i[/mm]
wobei [mm] x_0 [/mm] der Fußpunkt der Lotgeraden g, die den Vektor [mm]\vec e_i[/mm] als Stützvektor und den Normalenvektor [mm]\vec n[/mm] der Ebene E als Richtungsvektor besitzt, auf der Ebene E ist.
Und nochmal deutlicher:
E: [mm]\vec x[/mm]= [mm] t_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] t_2 \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm]\vec n[/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] = 2 [mm] \begin{pmatrix} -1\\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm]
g: [mm]\vec x[/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] k\begin{pmatrix} -1\\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm]
Der Schnittpunkt [mm]\vec x_0[/mm] von E und g wird berechnet. Es ergibt sich:
[mm]\vec x_0[/mm][mm] =\begin{pmatrix} 5/6\\ 1/6 \\ -1/3 \end{pmatrix} [/mm]
Der Spiegelpunkt [mm]\vec e_1[/mm]' beträgt demnach:
[mm]\vec e_1[/mm]' = 2[mm]\vec x_0[/mm] - [mm] \vec e_1 [/mm] = [mm] 2\begin{pmatrix} 5/6\\ 1/6 \\ -1/3 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2/3\\ 1/3\\ -2/3\end{pmatrix}
[/mm]
[mm]\vec e_1[/mm]' wäre dann der erste Spaltenvektor der Spiegelmatrix. Genauso müsste man dann mit den Einheitsvektoren [mm]\vec e_2[/mm] und [mm]\vec e_3[/mm] verfahren.
Für mich klingt dieser Lösungsweg etwas einfacher als der eben hergeleitete (obwohl die Aufgabe ja so nicht zu lösen war, weil man ja die Basis B verwenden sollte). Die Vorgehensweise ist doch richtig, oder?
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> Man spiegelt jeden Einheitsvektor [mm]\vec e_i[/mm] an der Ebene
> gemäß der Formel
> [mm]\vec e_i[/mm]' = 2[mm]\vec x_0[/mm] - [mm]\vec e_i[/mm]
>
> wobei [mm]x_0[/mm] der Fußpunkt der Lotgeraden g, die den Vektor
> [mm]\vec e_i[/mm] als Stützvektor und den Normalenvektor [mm]\vec n[/mm] der
> Ebene E als Richtungsvektor besitzt, auf der Ebene E ist.
Hallo,
ja, so kann man das auch machen, denn so bekommt man die Bilder der Basisvektoren [mm] e_i, [/mm] welche man für die Matrix benötigt. D
ie zahlen nachgerechnet habe ich nicht, das prinzip stimmt.
Ob's einfacher ist oder nicht, kommt halt darauf an, was man am besten kann.
Gruß v. Angela
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> c) Ich erspare Euch (und mir) die gesamte Rechnung. Habe
> alles überprüft und bin mir sicher, dass es richtig ist.
>
> [mm]B = \begin{pmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{2}} &-\bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{1}{\wurzel{6}} \\
\bruch{1}{\wurzel{2}} &\bruch{1}{\wurzel{3}} & -\bruch{1}{\wurzel{6}} \\
0 &\bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{2}{\wurzel{6}}
\end{pmatrix}
\qquad B^{-1} = \begin{pmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{2}} &\bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 \\
-\bruch{1}{\wurzel{3}} &\bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{1}{\wurzel{3}} \\
\bruch{1}{\wurzel{6}} &-\bruch{1}{\wurzel{6}} & \bruch{2}{\wurzel{6}}
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}[/mm] = [mm]B^{-1} \cdot \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}[/mm]
> =
> [mm]\begin{pmatrix}\wurzel{2}\\\wurzel{3}\\0\end{pmatrix}_{b_1,b_2,b_3}[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}[/mm] = [mm]B^{-1} \cdot \begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}[/mm]
> =
> [mm]\begin{pmatrix}\wurzel{2}\\-\wurzel{3}\\0\end{pmatrix}_{b_1,b_2,b_3}[/mm]
>
> d) Ab hier wird es wirklich konfus. Ich habe es mehrmals
> mit unterschiedlichen Ideen probiert. Mein letzter Versuch
> war wiefolgt:
>
> [mm]u_1[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad u_2[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \qquad u_3 =\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]u_2[/mm] ist der Projektionsvektor vom zweiten Richtungsvektor
> der Ebene auf [mm]u_1.[/mm]
> [mm]u_3[/mm] wiederum habe ich per LGS aus [mm]u_1[/mm] und [mm]u_2[/mm] ermittelt
> und ist orthogonal zu beiden Vektoren.
Hallo,
so weit, so gut - diese Basis kann man nehmen, wenn man unbedingt möchte.
(Das "Natürliche" für mich wäre, die beiden Richtungsvektoren der Ebene aus der gegebenen Ebenengleichung zu nehmen und einen dazu senkrechten Vektor - aber es ist wirklich egal und hat mit der Richtigkeit der Aufgabe nichts zu tun.)
> Was ich dann gemacht habe war die Vektoren zu normalisieren
> und somit eine Orthonormalbasis [mm]B_2[/mm] zu erzeugen.
Eine ONB braucht man ja eigentlich nicht - aber natürlich ist es nicht falsch, wenn man normiert.
> Daraufhin
> habe ich zunächst die Spiegelmatrix
> [mm]\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}[/mm] in der
> Basis [mm]B_2[/mm] dargestellt
Was meinst Du damit? (Ergebnis?)
Diese Matrix ist doch die darstellende Matrix der besagten Spiegelung bezüglich der Matrix [mm] B_2.
[/mm]
> und die daraus entstandene Matrix in
> der Basis B = [mm]\begin{pmatrix}\bruch{1}{\wurzel{2}} & - \bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{1}{\wurzel{6}} \\\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{3}} & - \bruch{1}{\wurzel{6}} \\ 0 & \bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{2}{\wurzel{6}} \end{pmatrix}.[/mm]
Was hast Du dafür getan? Ohne das zu wissen, kann man doch nicht sagen, wo der Fehler ist...
So, aber jetzt mal etwas anderes, was Dich voranbringen wird:
ist Dir eigentlich schon aufgefallen, daß [mm] B:=(b_1, b_2, b_3) [/mm] eine Basis ist, welche perfekt zu dem zu bearbeitenden Problem paßt?
[mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] spannen die Ebene auf, und [mm] b_3 [/mm] ist senkrecht dazu. (Ich habe es leider erst eben gesehen...)
Du hast also in Nullkommanix die darstellende Matrix der Spiegelung an der Ebene bzgl. der Basis B, nämlich [mm] \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}[/mm] [/mm] .
Jetzt mußt Du nur noch die darstellende Matrix bzgl der Standardbasis basteln, und die dafür nötigen Basistransformationsmatrizen hast Du ja schon aufgestellt.
Die gesuchte Matrix erhältst Du aus [mm] B*\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}*B^{-1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Sa 31.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Bin nicht ganz sicher, aber ich würde meinen gemäss
D = [mm] T*A*T^{-1}
[/mm]
ist doch die gesuchte Matrix A der Ebenenspiegelung
A = [mm] T^{-1}*D*T
[/mm]
und somit schreibt man die Basisvektoren als Spalten der Matrix [mm] T^{-1}.
[/mm]
Wenn ich das richtig verstehe, ist doch in diesem Fall hier T = B.
Du hast doch geschrieben [mm] B:=(b_1, b_2, b_3)
[/mm]
und A = [mm] B^{-1}*D*B,
[/mm]
müsste es also nicht lauten:
[mm] B^{-1}:=(b_1, b_2, b_3)
[/mm]
???
Gruss
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> Hallo,
>
> Bin nicht ganz sicher, aber ich würde meinen gemäss
>
> D = [mm]T*A*T^{-1}[/mm]
>
> ist doch die gesuchte Matrix A der Ebenenspiegelung
>
> A = [mm]T^{-1}*D*T[/mm]
>
> und somit schreibt man die Basisvektoren als Spalten der
> Matrix [mm]T^{-1}.[/mm]
> Wenn ich das richtig verstehe, ist doch in diesem Fall
> hier T = B.
Hallo,
kommt halt immer darauf an, was man mit T meint...
Besser, als sich irgendwelche Buchstaben zu merken, ist es, wenn man sich merkt, was die einzelnen Matrizen tun.
>
> Du hast doch geschrieben [mm]B:=(b_1, b_2, b_3)[/mm]
Ja, so habe ich die gegebene Basis genannt.
Ich kann sie doch nennen, wie ich will.
Die Matrix, die die Basisvektoren von B in den Spalten enthält, würde ich normalerweise mit [mm] _ET_B [/mm] bezeichnen, Wastelander nennt sie ebenfalls B - ein Brauch, der mir nicht gefällt, aber recht üblich ist.
Diese Matrix wandelt Vektoren, die in Koordinanten bzgl B gegeben sind, in solche bzgl der Standardbasis E um.
Wastelanders [mm] B^{-1}, [/mm] mein [mm] _BT_E, [/mm] tut das Umgekehrte: sie wandelt Vektoren, die in Koordinaten bzgl. der Standardbasis gegeben sind, in solche bzgl B um.
Dein D (es wäre mein [mm] _BM(\rho)_B) [/mm] ist die Darstellungsmatrix der Spiegelung [mm] \rho [/mm] bzgl der Basis B,
Dein A (mein [mm] _EM(\rho)_E) [/mm] ist die Darstellungsmatrix der Spiegelung [mm] \rho [/mm] bzgl der Basis E.
Nun ist [mm] _EM(\rho)_E=_ET_B*_BM(\rho)_B*_BT_E,
[/mm]
in Deiner/Wastelanders Schreibweise [mm] A=B*D*B^{-1}.
[/mm]
Ich verstehe meine Ausführungen und sehe keinen Fehler.
EDIT: ah! ich sehe, daß ich es zuvor verkehrt aufgeschrieben hatte. Wird gleich korrigiert, danke!
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Sa 31.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Du schreibst doch:
Ich nenne A die gesuchte(!) Matrix der Ebenenspiegelung in den ursprünglichen Koordinaten, nicht transformierten Koordinaten.
Du sagst:
A= [mm] B^{-1}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}*B,
[/mm]
Du hast ja definiert, dass B (also nicht invertiert) in den Spalten die Basisvektoren der neuen Basis hat.
Das würde z.B. heissen:
B = [mm] \pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{1}{\wurzel{6}}\\ \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{3}} & -\bruch{1}{\wurzel{6}} \\ 0 & \bruch{1}{\wurzel{3}} & \bruch{2}{\wurzel{6}} }
[/mm]
mit [mm] B*e_{1} [/mm] = [mm] B*\vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] = [mm] b_1 [/mm] = [mm] \bruch {1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Nach meinem Buch, und meiner LinAlg Zusammenfassung für die Prüfung muss jetzt in das [mm] B^{-1} [/mm] die Spaltenvektoren der Basis und nicht in das B.
Danke für deine Ausfühliche Antwort! Also wenn du immer noch meinst ich sei falsch, dann schreib einfach ein Wort "falsch" und dann werd ich mir nochmals den Kopf zerbrechen.
Gruss
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