Basen von Kern und Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Mi 02.06.2010 | | Autor: | stk66 |
| Aufgabe | Sei A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 5 \\ 0 & 2 & 3 }
[/mm]
Bestimme Basen von Kern und Bild der zugehörigen linearen Abbildung [mm] f_{a}: \IR^{3} \to \IR^{2} [/mm] |
An der Matrix lese ich ab, dass dim Kern(A)=1 , dim Im(A)=2.
Danach bestimme ich Kern(A).
Dazu löse ich das Gleichungssystem v [mm] \cdot [/mm] A = 0 , [mm] v=\vektor{ x \\ y \\ z}
[/mm]
Als Lösung erhalte ich, v = [mm] \vektor{ 5t \\ -\bruch{3}{2}t \\ t} [/mm] , t [mm] \in \IR
[/mm]
Dann wäre für t=1 [mm] \vektor{ 5 \\ -\bruch{3}{2} \\ 1} [/mm] eine Basis des Kerns.
Ist das für den Kern korrekt?
Das Bild wird von den Spaltenvektoren aufgespannt, es ist 2-dimensional.
Kann ich daraus sofort schliessen, dass es von den beiden Einheitsvektoren, die ja auch Spaltenvektoren der Matrix in ZSF sind, aufgespannt wird?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 Mi 02.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei A = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 5 \\ 0 & 2 & 3 }[/mm]
>
> Bestimme Basen von Kern und Bild der zugehörigen linearen
> Abbildung [mm]f_{a}: \IR^{3} \to \IR^{2}[/mm]
> An der Matrix lese
> ich ab, dass dim Kern(A)=1 , dim Im(A)=2.
>
> Danach bestimme ich Kern(A).
> Dazu löse ich das Gleichungssystem v [mm]\cdot[/mm] A = 0 ,
Besser: Av=0
> [mm]v=\vektor{ x \\ y \\ z}[/mm]
>
> Als Lösung erhalte ich, v = [mm]\vektor{ 5t \\ -\bruch{3}{2}t \\ t}[/mm]
> , t [mm]\in \IR[/mm]
> Dann wäre für t=1 [mm]\vektor{ 5 \\ -\bruch{3}{2} \\ 1}[/mm]
> eine Basis des Kerns.
> Ist das für den Kern korrekt?
Ja
>
> Das Bild wird von den Spaltenvektoren aufgespannt, es ist
> 2-dimensional.
> Kann ich daraus sofort schliessen, dass es von den beiden
> Einheitsvektoren, die ja auch Spaltenvektoren der Matrix in
> ZSF sind, aufgespannt wird?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Mi 02.06.2010 | | Autor: | stk66 |
| Aufgabe 1 | Sei A = $ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 5 \\ 0 & 2 & 3 } [/mm] $
Bestimme Basen von Kern und Bild der zugehörigen linearen Abbildung $ [mm] f_{a}: \IR^{3} \to \IR^{2} [/mm] $ |
| Aufgabe 2 | | Das gleiche nochmal für B = [mm] \pmat{ 2 & 5 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -1 } [/mm] |
Hier in Kurzform zur nochmaligen Kontrolle meine Lösung zu B: (bin mir im Moment noch unsicher, ob ichs richtig verstanden hab)
B in ZSF: B = [mm] \pmat{ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
dim Kern(B) = 1 ; dim Im(B) = 2
Basis Kern: [mm] \vektor{2t\\-t\\t}, [/mm] also z.B. [mm] \vektor{2\\-1\\1}
[/mm]
Basis Bild: Muss 2-dimensional sein, also 2 linear unabhängige Spaltenvektoren. z.B. [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{1\\1\\0}
[/mm]
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> Das gleiche nochmal
> für B = [mm]\pmat{ 2 & 5 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -1 }[/mm]
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> Hier in Kurzform zur nochmaligen Kontrolle meine Lösung zu
> B: (bin mir im Moment noch unsicher, ob ichs richtig
> verstanden hab)
>
> B in ZSF: B = [mm]\pmat{ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> dim Kern(B) = 1 ; dim Im(B) = 2
Hallo,
ja, das ist richtig.
> Basis Kern:
die Elemente des Kerns haben die Gestalt
> [mm]\vektor{2t\\-t\\t},[/mm]
mit [mm] t\in \IR, [/mm] also ist
> z.B.
> [mm]\vektor{2\\-1\\1}[/mm]
eine Basis des Kerns.
>
> Basis Bild: Muss 2-dimensional sein, also 2 linear
> unabhängige Spaltenvektoren. z.B. [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] und
> [mm]\vektor{1\\1\\0}[/mm]
Wo hast Du diese Vektoren her?
Du kannst nicht irgendwelche zwei linear unabhängige Vektoren nehmen.
Sie müssen ja im Bild sein, also in dem von den Spalten aufgespannten Raum.
Da sind Deine nicht drin, sofern ich nicht falsch gerechnet habe.
Du kannst es (Kochrezept) so machen: die führenden Elemente der Nichtnullzeilen der ZSF stehen in Spalte 1 und 2.
Daher bilden der erste und zweite der ursprünglichen Spaltenvektoren eine Basis des Bildes.
(Es gibt viele andere Basen des Bildes.)
Gruß v. Angela
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