Basen von Vektoräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Do 13.03.2008 | | Autor: | chris123 |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Wenn V ein komplexer Vektoraum ist und [mm] (v_{k\}) _{k\inI} [/mm] eine Basis von V, dann ist V auch ein reeller Vektiraum. Die Familie [mm] (w_{l\}) l\inJ, [/mm] wobei J= (I x [mm] \{1\}) \cup [/mm] (I x [mm] \{2\}) [/mm] und für alle k [mm] \in [/mm] I w (k,1)= vk, w (k,2) = ivk ist, ist eine Basis dieses reellen Vektoraums.
Geben sie je eine Basis des reellen und des komplexen Vektoraums [mm] \IC [/mm] ^{2x2} an. |
Hallo, wollte euch fragen, ob ihr mir Anregungen geben könntet wie ich diese Aufgabe lösne könnte.
Und tut mir lei, dass die Angabe nicht aussieht wie sie eigentlich sollte.
Danke im Voraus
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> Zeigen Sie: Wenn V ein komplexer Vektoraum ist und [mm](v_{k\}) _{k\inI}[/mm]
> eine Basis von V, dann ist V auch ein reeller Vektiraum.
> Die Familie [mm](w_{l\}) l\in J,[/mm] wobei J= (I x [mm]\{1\}) \cup[/mm] (I x
> [mm]\{2\})[/mm] und für alle k [mm]\in[/mm] I w (k,1)= vk, w (k,2) = ivk ist,
> ist eine Basis dieses reellen Vektoraums.
> Geben sie je eine Basis des reellen und des komplexen
> Vektoraums [mm]\IC[/mm] ^{2x2} an.
> Hallo, wollte euch fragen, ob ihr mir Anregungen geben
> könntet wie ich diese Aufgabe lösne könnte.
Durch Einschränken des Skalarenkörpers von [mm] $\IC$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] bleiben die Vektorraumaxiome jedenfalls weiterhin erfüllt. Also kann $V$ dank einer solchen Einschränkung als reeller Vektorraum aufgefasst werden.
Die vorgeschlagene Basis [mm] $w_l$ [/mm] für diesen reellen Vektorraum ist eine linear-unabhängige Familie von Vektoren, da jede Nullsumme der [mm] $w_l$ [/mm] zu einer Nullsumme von Basisvektoren [mm] $v_k$ [/mm] in $V$, nun wieder aufgefasst als komplexer Vektoraum, umgeformt werden kann.
Die [mm] $w_l$ [/mm] erlauben aber auch jeden Vektor von $V$ als reelle Linearkombination darzustellen, da er sich als Linearkombination der [mm] $v_k$ [/mm] mit komplexen Skalaren darstellen lässt und sich diese Linearkombination (durch Trennen von Real- und Imaginärteilen der darin auftretenden Skalare) aber leicht in eine reelle Linearkombiation der [mm] $w_l$ [/mm] umformen lässt.
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