Basen von r^nach r^2 < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Sa 05.03.2011 | | Autor: | lisa11 |
| Aufgabe | Durch die Vorschrift f(x) = A*x mit
A [mm] =\pmat{1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1}
[/mm]
ist eine lineare Abbildung von [mm] R^3 [/mm] nach [mm] R^2 [/mm] definiert. Bestimmen Sie die
Basen von [mm] R^3 [/mm] bzw. [mm] R^2 [/mm] , sodass f durch die Marix
B = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0}
[/mm]
darstellen kann. |
Guten tag,
mein Ansatz:
f(e1) = -1 [mm] *\vektor{1\\2} [/mm] + [mm] 2*\vektor{1\\1} [/mm] + [mm] 0*\vektor{0\\1}
[/mm]
f(e2) = [mm] 1*\vektor{1\\2} [/mm] - [mm] 1*\vektor{1\\1} [/mm] + [mm] 0*\vektor{0\\1}
[/mm]
f(e3) = [mm] 0*\vektor{1\\2} -0*\vektor{0\\0} [/mm] + [mm] 0*\vektor{0\\1}
[/mm]
Basen
b1 = [mm] \vektor{-1\\2\\0}
[/mm]
b2 = [mm] \vektor{1\\-1\\0}
[/mm]
b3 = [mm] \vektor{0\\0\\0}
[/mm]
ist hier ein Fehler?
Gruss
lisa
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Hall Lisa,
> Durch die Vorschrift f(x) = A*x mit
> A [mm]=\pmat{1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1}[/mm]
Ist diese Matrix bezüglich der Standardbasen?
>
> ist eine lineare Abbildung von [mm]R^3[/mm] nach [mm]R^2[/mm] definiert.
> Bestimmen Sie die
> Basen von [mm]R^3[/mm] bzw. [mm]R^2[/mm] , sodass f durch die Marix
>
> B = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0}[/mm]
>
> darstellen kann.
> Guten tag,
>
> mein Ansatz:
> f(e1) = -1 [mm]*\vektor{1\\2}[/mm] + [mm]2*\vektor{1\\1}[/mm] + [mm]0*\vektor{0\\1}[/mm]
>
> f(e2) = [mm]1*\vektor{1\\2}[/mm] - [mm]1*\vektor{1\\1}[/mm] + [mm]0*\vektor{0\\1}[/mm]
>
> f(e3) = [mm]0*\vektor{1\\2} -0*\vektor{0\\0}[/mm] + [mm]0*\vektor{0\\1}[/mm]
Das funktioniert leider nicht. Die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Koordinatenvektoren der Bilder der Basisvektoren des [mm] \IR^3 [/mm] bezüglich der Basis des [mm] \IR^2:
[/mm]
j.Spalte der Abbildungsmatrix := Koordinatenvektor des j. Basisvektors des [mm] \IR^3 [/mm] bzgl der Basis des [mm] \IR^2 [/mm]
Wenn beides die Standardbasen sind (siehe Frage oben), wäre folglich
[mm] f(e_1)=1\vektor{1\\0}+2\vektor{0\\1}=\vektor{1\\2}
[/mm]
>
> Basen
>
> b1 = [mm]\vektor{-1\\2\\0}[/mm]
>
> b2 = [mm]\vektor{1\\-1\\0}[/mm]
>
> b3 = [mm]\vektor{0\\0\\0}[/mm]
>
> ist hier ein Fehler?
Leider ja, siehe oben.
>
> Gruss
> lisa
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:10 So 06.03.2011 | | Autor: | lisa11 |
somit wäre dann
f(e1) = [mm] 1*\vektor{1\\0} [/mm] + [mm] 2*\vektor{0\\1} [/mm] = [mm] \vektor{1\\2}
[/mm]
f(e2) = [mm] 1*\vektor{1\\0} [/mm] + [mm] 1*\vektor{0\\1} [/mm] = [mm] \vektor{1\\1}
[/mm]
f(e3) = [mm] 0*\vektor{1\\0} [/mm] + [mm] 1*\vektor{0\\1} [/mm] = [mm] \vektor{0\\1}
[/mm]
Die Basen sind daher:
b1 = [mm] \vektor{1\\2}
[/mm]
b2 = [mm] \vektor{1\\1}
[/mm]
b3 = [mm] \vektor{0\\1}
[/mm]
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> wie oben
>
> somit wäre dann
>
> f(e1) = [mm]1*\vektor{1\\
0}[/mm] + [mm]2*\vektor{0\\
1}[/mm] = [mm]\vektor{1\\
2}[/mm]
>
> f(e2) = [mm]1*\vektor{1\\
0}[/mm] + [mm]1*\vektor{0\\
1}[/mm] = [mm]\vektor{1\\
1}[/mm]
>
> f(e3) = [mm]0*\vektor{1\\
0}[/mm] + [mm]1*\vektor{0\\
1}[/mm] = [mm]\vektor{0\\
1}[/mm]
>
> Die Basen sind daher:
>
> b1 = [mm]\vektor{1\\
2}[/mm]
> b2 = [mm]\vektor{1\\
1}[/mm]
> b3 = [mm]\vektor{0\\
1}[/mm]
Hallo,
das kann doch schon deshalb nicht klappen, weil die Dimension des [mm] \IR^2 [/mm] lediglich =2 ist.
Wenn Du ansatzweise begriffen hast, was es mit den Darstellungsmatrizen bzgl. irgendwelcher Basen auf sich hat, so sollte Dir klarwerden, daß Du die Basis [mm] B_3:=(a_1, a_2, a_3) [/mm] des [mm] \IR^3 [/mm] so wählen mußt, daß [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] auf Basisvektoren des Bildes der Matrix A abbilden muß.
Was ist denn das Bild von A? Was ist eine Basis des Bildes?
Du mußt dafür lediglich zwei linear unabhängige Spalten von A sagen.
Damit hast Du dann schonmal eine passende Basis [mm] B_2:=(b_1, b_2) [/mm] des [mm] \IR^2.
[/mm]
Nun sag, welche Vektoren [mm] a_1, a_2 [/mm] auf [mm] b_1, b_2 [/mm] abgebildet werden.
Wenn Du Dir die Matrix B nun anschaust, dann siehst Du, daß Du [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] noch durch einen Vektor ergänzen mußt, der auf den Nullvektor abgebildet wird, also durch einen von 0 verschiedenen Vektor des Kerns von A.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 So 06.03.2011 | | Autor: | lisa11 |
es wird
a1 auf b1 abgebildet und a2 auf b2
f (e1) = (1,2) = x(1,0) + y(0,1) + z*(0,0)
f(e2) = (1,1) = x(1,0)+ y(0,1) + z*(0,0)
dann rechne ich x,y,z aus
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Hallo Lisa,
> wie oben
>
> es wird
>
> a1 auf b1 abgebildet und a2 auf b2
>
> f (e1) = (1,2) = x(1,0) + y(0,1) + z*(0,0)
>
> f(e2) = (1,1) = x(1,0)+ y(0,1) + z*(0,0)
>
> dann rechne ich x,y,z aus
Wozu willst du denn die Bilder immer noch als Linearkombination von drei Vektoren darstellen? Der [mm] \IR^2 [/mm] hat Basen der Länge 2. Der von dir angegebene Nullvektor ist immer linear abhängig.
Du hast bereits die Bilder von [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2. [/mm] Sie bilden zusammen eine Basis des [mm] \IR^2, [/mm] denn (1,2) und (1,1) sind offensichtlich linear unabhängig. Daher würde ich [mm] b_1:=f(e_1) [/mm] und [mm] b_1:=f(e_2) [/mm] als Basis des [mm] \IR^2 [/mm] (=Bild der Abbildung) wählen.
Die ersten beiden Vektoren der Basis des [mm] \IR^3 [/mm] für die Abbildungsmatrix sind damit auch klar, sie müssen nun [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] sein. Der einzige Basisvektor, der nun ein bisschen Arbeit macht, ist der dritte Basisvektor für die Basis des [mm] \IR^3. [/mm] Dieser muss, wie angela bereits andeutete, aus dem Kern der Abbildung sein, also auf 0 abgebildet werden. Bestimme mal einen solchen Vektor, der linear unabhängig von [mm] e_1,e_2 [/mm] ist!
LG
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:42 So 06.03.2011 | | Autor: | lisa11 |
somit sind die Basen des R ^2 wenn ich das verstehe
f(e1):= (1,0) = x*(1,2) + y*(0,1)
f(e2):= (0,1) = x*(1,2) + y*(0,1)
und fuer [mm] R^3 [/mm] muss ich einen 3.Vektor finden der nicht 0 ist d.h es kommt
da noch einer dazu nur muss ich den noch finden...
wuerde dieser auch nur 2 Komponenten haben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 So 06.03.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo,
> somit sind die Basen des R ^2 wenn ich das verstehe
>
> f(e1):= (1,0) = x*(1,2) + y*(0,1)
>
> f(e2):= (0,1) = x*(1,2) + y*(0,1)
Was sollen denn hier die x und y?
Wir stellten bereits mehrmals fest [mm] f(e_1)=(1,2) [/mm] usw. Lediglich der Koordinatenvektor von [mm] f(e_1) [/mm] bzgl der Basis [mm] B=\left((1,2)^T,(1,1)^T\right) [/mm] ist (1,0).
>
> und fuer [mm]R^3[/mm] muss ich einen 3.Vektor finden der nicht 0 ist
> d.h es kommt da noch einer dazu nur muss ich den noch finden...
> wuerde dieser auch nur 2 Komponenten haben?
Das verstehen wir nicht. Ein Vektor mit zwei Komponenten im [mm] \IR^3?
[/mm]
LG
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 12:50 So 06.03.2011 | | Autor: | lisa11 |
hier rechne ich f(e1) = (1,2)
f(e2) = (1,1)
f(e3) =(0,1)
bezueglich der Basis {(1,2)',(1,1)',(0,1)'}
' = Transponiert --->
f(e1) = (-1,2, 0)
f(e2) =(1, -1, 0 )
f(e3) = (0,0,0)
wenn ich A mit diesen Vektoren multipl. bekomme ich B
ich habe dies mit einem lin.GS gelöst.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:03 So 06.03.2011 | | Autor: | lisa11 |
der dritte Basisvektor ist [mm] (1,-1)^T
[/mm]
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> Durch die Vorschrift f(x) = A*x mit
> A [mm]=\pmat{1 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 1}[/mm]
>
> ist eine lineare Abbildung von [mm]R^3[/mm] nach [mm]R^2[/mm] definiert.
> Bestimmen Sie die
> Basen von [mm]R^3[/mm] bzw. [mm]R^2[/mm] , sodass f durch die Marix
>
> B = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0}[/mm]
Hallo,
dem, was Du bisher im Verlaufe des Threads schreibst, entnehme ich, daß Du keinen blassen Schimmer davon hast, was mit "Basis" gemeint ist und was es mit den Darstellungsmatrizen von linearen Abbildungen bzgl verschiedener Basen auf sich hat. Ich bin mir nicht sicher, ob ich an diesem Zustand etwas werde ändern können - sicher wäre zunächst ein umfangreiches Selbststudium der versäumten Themen angebracht.
Worum geht es?
Wir haben eine Abbildung f, welche jedem Vektor des Vektorraumes [mm] \IR^3 [/mm] einen Vektor des [mm] \IR^2 [/mm] zuordnet.
Sie tut dies in der oben beschriebenen Weise:
[mm] f(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}):=\pmat{1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{x_1+x_2\\2x_1+x_2+x_3}.
[/mm]
Die Matrix A ist die Matrix, welche die Darstellungsmatrix von f bzgl der Standardbasen [mm] E_3 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] des [mm] \IR^3 [/mm] bzw. [mm] \IR^2 [/mm] ist.
In ihren Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren von [mm] E_3 [/mm] in Koordinaten bzgl. [mm] E_2.
[/mm]
Man liest also ab
[mm] f(\vektor{1\\0\\0})=\vektor{1\\2},
[/mm]
die anderen entsprechend.
Dies war jetzt nur mal so vorweg.
In der Aufgabenstellung wird Dir verraten, daß es Basen [mm] (a_1, a_2, a_3) [/mm] des [mm] \IR^3 [/mm] bzw. [mm] (b_1, b_2) [/mm] des [mm] \IR^2 [/mm] gibt, bzgl. welcher f die Darstellungsmatrix B hat.
Du suchst also Vektoren [mm] a_i [/mm] des [mm] \IR^3 [/mm] und [mm] b_i [/mm] des [mm] \IR^2, [/mm] so daß
[mm] f(a_1)=1*b_1+0*b_2=b_1
[/mm]
[mm] f(a_2)=0*b_1+1*b_2=b_2
[/mm]
[mm] f(a_3)=0*b_1+0*b_2=0.
[/mm]
Es ist offenbar [mm] a_3 [/mm] ein Element des Kerns von f.
Sag also einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor, welcher auf den Nullvektor abgebildet wird. Damit hast Du [mm] a_3.
[/mm]
[mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] müssen linear unabhängig sein, weil sie ja eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] bilden müssen.
Du mußt nun einfach zwei Vektoren [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] finden, welche auf linear unabhängige Vektoren [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] abgebildet werden.
Wenn Du Dir genau überlegst, was A Dir erzählt, solltest Du Ideen für [mm] a_1, a_2 [/mm] und [mm] b_1, b_2 [/mm] bekommen.
Tip: linear unabhängig sind z.B. [mm] \vektor{1\\2} [/mm] und [mm] \vektor{1\\1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 So 06.03.2011 | | Autor: | lisa11 |
$ [mm] f(\vektor{1\\2}):=\vektor{x_1+x_2\\2x_1+x_2+x_3}. [/mm] $
und
$ [mm] f(\vektor{1\\1}):=\vektor{x_1+x_2\\2x_1+x_2+x_3}. [/mm] $
setzen und x1,x2,x3 ausrechnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 So 06.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Angela hat sich doch sehr angestrengt, die zu erklären, um was es geht.
hast du das gründlich und langsam und mindesten 3 mal gelesen?
Hast du dir dabei überlegt, auf welche Vektoren du f anwenden kannst?
Dürfen die aus [mm] \IR^2 [/mm] sein?
du schreibst nach langen Erklärungen der helfer 2 Zeilen, du sagst nicht was du dabei gedacht hast, so dass niemand sehen kann, was da bei dir schieg läuft.
Wenn du also sowas schreibst dann etwa . Angelas erläuterung " hier kommt das Zitat" verstehe ich so, dass..... dein Verständnis formuliert
und dann deine Formel.
Aber die Kurzfassung der Antwort ist: falsch
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:34 So 06.03.2011 | | Autor: | lisa11 |
ich nehme fuer a1 = (1,2) b1 = (0,1)
a2 = (1,1) und b2 =(0,1)
a3() suchen b3 = 0
natuerlich weiss ich diese Aufgabe nicht aber andere konnte ich loesen
darum bin ich ja hier so wie andere
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Hallo,
ich denke, daß dies Dir weiterhilft.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 So 06.03.2011 | | Autor: | lisa11 |
ein vom Nullvektor verschiedener Vektor kann doch jeder Vektor sein o
oder nicht?
(1,1) ist vom Nullvektor verschieden oder irre ich mich?
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> wie oben
> ein vom Nullvektor verschiedener Vektor kann doch jeder
> Vektor sein o
> oder nicht?
>
> (1,1) ist vom Nullvektor verschieden oder irre ich mich?
Hallo,
natürich ist [mm] \vektor{1\\1} [/mm] vom Nullvektor verschieden.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:19 So 06.03.2011 | | Autor: | lisa11 |
ja aber (1,3) auch kann ich diesen nehmen und der ist nicht linear abhaenig=
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> wie oben
> ja aber (1,3) auch kann ich diesen nehmen und der ist
> nicht linear abhaenig=
Hallo,
bitte stell' doch Zusammenhänge her:
was planst Du mit diesem Vektor?
Mit welchen Vektoren soll er eine linear unabhängige Menge bilden?
Es ist kein Fehler, mal ein paar vollständige Sätze am Stück zu schreiben, denen man entnehmen kann, was Du zu verstanden haben meinst, Dir denkst und nun planst.
Wenn Du uns keinen Zutritt zu Deiner Gedankenwelt gibst, können wir schlecht helfen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 So 06.03.2011 | | Autor: | lisa11 |
ja gut das mache ich ich muss jetzt weg ich habe den ganzen tag mathe
gemacht nur diese aufgabe kann ich nicht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mo 07.03.2011 | | Autor: | lisa11 |
ich wuerde fuer b1 = (1,0) und fuer b2 = (0,1) waehlen beide sind
linear unabhaenig geht dies?
fuer a1 = (1,2) und fuer a2 = (1,1) kann ich das?
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> wie oben
> ich wuerde fuer b1 = (1,0) und fuer b2 = (0,1) waehlen
> beide sind
> linear unabhaenig geht dies?
Hallo,
wenn Du partout willst, kannst Du das tun: der Rang der Matrix ist =2, also hat der Spaltenraum die Dimension 2, ist also der [mm] \IR^2
[/mm]
> daselbst. Und die von Dir genannten Vektoren sind mit Sicherheit eine Basis des [mm] \IR^2.
[/mm]
> fuer a1 = (1,2) und fuer a2 = (1,1) kann ich das?
Nein. Du suchst doch [mm] a_1, a_2 [/mm] mit [mm] f(a_1)=b_1 [/mm] und [mm] f(a_2)=b_2.
[/mm]
Aber die [mm] a_i [/mm] müssen doch dem [mm] \IR^3 [/mm] entstammen!
Du kannst Dir nun allerdings überlegen (=ausrechnen), welche [mm] a_1, a_2 [/mm] auf die [mm] b_1, b_2 [/mm] abgebildet werden.
Dazu ist in der Tat ein LGS zu lösen - sowas in der Richtung scheint Dir ja vorzuschweben.
Dieser Weg ist allerdings nicht der schnellste und bequemste - aber wenn es der Weg ist, der für Dich der gangbare ist, kannst Du ihn gehen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mo 07.03.2011 | | Autor: | lisa11 |
ich wuerde es so angehen:
f(a1) [mm] =\vektor{1\\0}
[/mm]
f(a2) = [mm] \vektor{0\\1}
[/mm]
f(a3) = [mm] \vektor{0\\0}
[/mm]
damit ich a1 bekomme wuerde ich
[mm] \pmat{x & + y\\ 2x & + y & + z} [/mm] = [mm] \vektor{1\\0}
[/mm]
dann bekomme ich fuer x,yz
x= -1 , y = 2; z = 0
dies ist der vektor a1 mit [mm] f\vektor{-1\\2\\0}
[/mm]
somit habe ich [mm] f\vektor{-1\\2\\0} [/mm] = [mm] \vektor{1\\0}
[/mm]
die anderen gleich
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> wie oben
> ich wuerde es so angehen:
>
> f(a1) [mm]=\vektor{1\\
0}[/mm]
>
> f(a2) = [mm]\vektor{0\\
1}[/mm]
>
> f(a3) = [mm]\vektor{0\\
0}[/mm]
>
>
> damit ich a1 bekomme wuerde ich
> [mm]\pmat{x & + y\\
2x & + y & + z}[/mm] = [mm]\vektor{1\\
0}[/mm]
>
> dann bekomme ich fuer x,yz
> x= -1 , y = 2; z = 0
>
> dies ist der vektor a1 mit [mm]f\vektor{-1\\
2\\
0}[/mm]
> somit habe ich [mm]f\vektor{-1\\
2\\
0}[/mm] = [mm]\vektor{1\\
0}[/mm]
Hallo,
ja, das funktioniert, wenn Du jetzt richtig weitermachst.
Gruß v. Angela
>
> die anderen gleich
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 07:35 Di 08.03.2011 | | Autor: | lisa11 |
bei a3 bekomme ich aber einen [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] nach dieser Berechnung,
was mache ich falsch?
ich bekomme keinen von 0 verschiedenen Vektor!
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> wie oben
> bei a3 bekomme ich aber einen [mm]\vektor{0\\
0\\
0}[/mm] nach dieser
> Berechnung,
> was mache ich falsch?
Hallo,
das werden wir Dir nur sagen können, wenn Du uns genau zeigst, was Du wie rechnest.
Gruß v. Angela
>
> ich bekomme keinen von 0 verschiedenen Vektor!
>
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