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Hallo zusammen
Löse gerade eine alte Prüfung:
Bestimmen Sie eine Basis B [mm] \subseteq [/mm] A von span(A) für folgende Teilmengen A des K-Vektorraumes V:
a) [mm] K=\IR, [/mm] A= [mm] \{\vektor{1 \\ -1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ -2}, \vektor{1 \\ 0 \\ -1}, \vektor{2 \\ -5 \\ 3} \} \subseteq V=\IR^3
[/mm]
b) [mm] K=\IQ, [/mm] A= [mm] \{1, -\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i, -\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i\} \subseteq V=\IC
[/mm]
Meine Lösungsvorschläge:
Bei a ist es doch so das dim(V)=3, also muss auch die Basis aus 3 Vektoren bestehen, oder?
Ich habe jeweils 3 Vektoren in eine Matrix geschrieben und gegausst, aber kam immer wieder auf eine Nullzeile.
Wo ist mein Fehler?
Bei b
dim(V)=2, also muss ich 2 Vektoren haben für eine Basis: Diese können sein:
[mm] {\vektor{ -\bruch{1}{2}\\ \bruch{\wurzel{3}}{2}i}, \vektor{ -\bruch{1}{2}\\ -\bruch{\wurzel{3}}{2}i}} [/mm] oder [mm] {\vektor{ 1\\ 0}, \vektor{ -\bruch{1}{2}\\ -\bruch{\wurzel{3}}{2}i}} [/mm] oder [mm] {\vektor{ -\bruch{1}{2}\\ \bruch{\wurzel{3}}{2}i}, \vektor{ 1\\ 0}}
[/mm]
Ist das korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Di 04.02.2014 | | Autor: | wilmi |
Hallo Babybel,
zu a)
Der Vektorraum [mm] IR^3 [/mm] hat dim 3. Das heißt seine Basis besteht aus 3 lin. unabhängigen Vektoren. Deine Teilmenge A ist ebenen nur eine Teilmenge des [mm] IR^3 [/mm] und muss nicht zwingend auch die Dimension 3 haben. Da du mit Gauß immer wieder auf eine Nullzeile stößt heißt das, dass die Dimension von A nicht 3 ist. Bestimme also erst die dim(A) und dann nimm aus A soviele lin. unabh. Vektoren wie die Dimension von A ist. Und schon hast du deine Basis.
LG wilmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Di 04.02.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Hallo
Ah, okei, in demfall besteht die Basis in a aus 2 Vektoren. In den Musterlösungen stehen eben 3, desshalb dachte ich, ich habe einen Fehler gemacht....
Und wie sieht es mit b aus? Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Di 04.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen
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> Löse gerade eine alte Prüfung:
> Bestimmen Sie eine Basis B [mm]\subseteq[/mm] A von span(A) für
> folgende Teilmengen A des K-Vektorraumes V:
> a) [mm]K=\IR,[/mm] A= [mm]\{\vektor{1 \\ -1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ -2}, \vektor{1 \\ 0 \\ -1}, \vektor{2 \\ -5 \\ 3} \} \subseteq V=\IR^3[/mm]
>
> b) [mm]K=\IQ,[/mm] A= [mm]\{1, -\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i, -\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i\} \subseteq V=\IC[/mm]
>
> Meine Lösungsvorschläge:
> Bei a ist es doch so das dim(V)=3, also muss auch die Basis
> aus 3 Vektoren bestehen, oder?
> Ich habe jeweils 3 Vektoren in eine Matrix geschrieben und
> gegausst, aber kam immer wieder auf eine Nullzeile.
> Wo ist mein Fehler?
>
> Bei b
> dim(V)=2
Das ist falsch !
FRED
> , also muss ich 2 Vektoren haben für eine Basis:
> Diese können sein:
> [mm]{\vektor{ -\bruch{1}{2}\\ \bruch{\wurzel{3}}{2}i}, \vektor{ -\bruch{1}{2}\\ -\bruch{\wurzel{3}}{2}i}}[/mm]
> oder [mm]{\vektor{ 1\\ 0}, \vektor{ -\bruch{1}{2}\\ -\bruch{\wurzel{3}}{2}i}}[/mm]
> oder [mm]{\vektor{ -\bruch{1}{2}\\ \bruch{\wurzel{3}}{2}i}, \vektor{ 1\\ 0}}[/mm]
>
> Ist das korrekt?
>
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Hallo fred
Wieso stimmt das nicht? Auf wikipedia steht:
Der Körper der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von [mm] \IR, [/mm] andererseits ein zweidimensionaler [mm] \IR-Vektorraum. [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:42 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
das stimmt deshalb nicht, weil du als Grundkörper [mm] K=\IQ [/mm] angegeben hast.
> b) [mm] K=\IQ, [/mm] A= [mm] \{1, -\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i, -\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i\} \subseteq V=\IC [/mm]
> Bei b
> dim(V)=2, also muss ich 2 Vektoren haben für eine Basis:
> Diese können sein:
> [mm] {\vektor{ -\bruch{1}{2}\\ \bruch{\wurzel{3}}{2}i}, \vektor{ -\bruch{1}{2}\\ -\bruch{\wurzel{3}}{2}i}} [/mm]
> oder [mm] {\vektor{ 1\\ 0}, \vektor{ -\bruch{1}{2}\\ -\bruch{\wurzel{3}}{2}i}} [/mm]
> oder [mm] {\vektor{ -\bruch{1}{2}\\ \bruch{\wurzel{3}}{2}i}, \vektor{ 1\\ 0}} [/mm]
Nehmen wir mal an, dass die Dimension des von A aufgespannten Unterraums von [mm] \IC [/mm] wirklich 2 wäre (das stimmt sogar, du musst es aber noch nachweisen), dann gäbe es zwei Basisvektoren [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2.
[/mm]
Als Elemente von [mm] \IC [/mm] sind das Zahlen, also so etwas wie -4 oder [mm] \wurzel{3}i [/mm] oder [mm] 0,8-5*\wurzel{3}i. [/mm]
Sei [mm] b_1=0,8-5*\wurzel{3}i [/mm] und [mm] b_2=-4. [/mm] (Ich behaupte nicht, dass das eine Lösung deiner Aufgabe ist, ganz bestimmt wäre es nicht die einfachste.)
Dann hat [mm] b_1 [/mm] bezüglich der Basis [mm] B=\{b_1,b_2\} [/mm] eine Koordinatendarstellung als Vektor und die heißt [mm] b_1=\vektor{1 \\ 0}.
[/mm]
Noch ein Beispiel : [mm] -\bruch{1}{10}*\vektor{2 \\ 0,4} [/mm] und [mm] \wurzel{3}i [/mm] sind zwei verschiedene Darstellungen für dasselbe Objekt an sich.
Du vermischst diese beiden Darstellungen irgendwie, deine "Lösung" ist deshalb überhaupt nicht zu gebrauchen.
Gruß Sax.
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