matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - Moduln und VektorräumeBasis
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Basis
Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:42 Mi 02.04.2008
Autor: blueeyes

Aufgabe
Sei B: [mm] b_{1},b_{2},b_{3},b_{4} [/mm] eine beliebige geordnete Basis von [mm] \IR^{4}. [/mm]

Zeigen Sie, dass auch [mm] C_{1}: b_{1},b_{1}+b_{2},b_{1}+b_{2}+b_{3},b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4} [/mm] eine Basis von [mm] \IR^{4} [/mm] ist.

Hat jemand von euch ne Ahnung wie man das angehen könnte??Wie soll man denn das bloß machen.... Liebe Grüße...

        
Bezug
Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Mi 02.04.2008
Autor: Bastiane

Hallo blueeyes!

> Sei B: [mm]b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}[/mm] eine beliebige geordnete
> Basis von [mm]\IR^{4}.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass auch [mm]C_{1}: b_{1},b_{1}+b_{2},b_{1}+b_{2}+b_{3},b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}[/mm]
> eine Basis von [mm]\IR^{4}[/mm] ist.
>  Hat jemand von euch ne Ahnung wie man das angehen
> könnte??Wie soll man denn das bloß machen.... Liebe
> Grüße...

Naja, Basis bedeutet doch, dass es linear unabhängig ist und dass alle Vektoren damit dargestellt werden können. Dass es linear unabhängig ist, müsste man doch noch zeigen können, und wenn du zeigst, dass die Vektoren [mm] b_1, b_2, b_3, b_4 [/mm] damit dargestellt werden können, dann weißt du auch, dass alle Vektoren damit dargestellt werden können...

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
        
Bezug
Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:59 Mi 02.04.2008
Autor: angela.h.b.

Hallo,

ergänzend zu Basitiane:

die zu betrachtende Menge besteht aus 4 Vektoren, und wenn Du zeigst, daß sie linear unabhängig ist, ist sie automatisch eine Basis des [mm] \IR^4, [/mm] denn dessen Dimension ist =4.

Zum Zeigen der Unabhängigkeit:

Linearkombination der zu überprüfenden Vektoren =0 setzen, dann so sortieren:

[mm] (...)b_1+...+(...)b_n=0, [/mm] und dann die lineare Unabhängigkeit der [mm] b_i [/mm] ausreizen.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:24 Mi 02.04.2008
Autor: blueeyes

Ich kann mir das mit dem Ordnen und Ausreizen nicht vorstellen. Die lineare Unabhängigkeit der Linearfaktoren würde ich wie folgt prüfen:

x(b1)                        =0
x(b1+b2)                  =0
x(b1+b2+b3)            =0
x(b1+b2+b3+b4)      =0
--------------------------------
als ich dieses Gleichungssystem dann löste kam ich auf b1=b2=b3=b4=0. Nun meine Frage,wie soll ich nun sortieren? Und was meinst du genau mit Ausreizen. Liebe Grüße

Bezug
                        
Bezug
Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:37 Mi 02.04.2008
Autor: MathePower

Hallo blueeyes,

> Ich kann mir das mit dem Ordnen und Ausreizen nicht
> vorstellen. Die lineare Unabhängigkeit der Linearfaktoren
> würde ich wie folgt prüfen:
>  
> x(b1)                        =0
>  x(b1+b2)                  =0
> x(b1+b2+b3)            =0
>  x(b1+b2+b3+b4)      =0
>  --------------------------------
>  als ich dieses Gleichungssystem dann löste kam ich auf
> b1=b2=b3=b4=0. Nun meine Frage,wie soll ich nun sortieren?
> Und was meinst du genau mit Ausreizen. Liebe Grüße

Zu prüfen ist ob [mm]b_{1},\ b_{1}+b_{2}, \ b_{1}+b_{2}+b_{3}, \ b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}[/mm] wiederum eine Basis des [mm]\IR^{4}[/mm] bilden.

Das heisst, es ist zu zeigen, daß die neue Basis auch linear unabhängig ist.

[mm]\alpha*b_{1}+\beta*\left(b_{1}+b_{2}\right)+\gamma*\left(b_{1}+b_{2}+b_{3}\right)+\delta*\left(b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}\right)=0[/mm]

Sortiere dann diese Gleichung so:

[mm]\left( \ \dots \ \right) *b_{1}+\left( \ \dots \ \right) *b_{2}+ \left( \ \dots \ \right) *b_{3}+ \left( \ \dots \ \right) *b_{4}=0[/mm]

Und nutze dann die lineare Unabhängigkeit von [mm]b_{1}, \ b_{2}, \ b_{3}, \ b_{4}[/mm] aus.

Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:00 Mi 02.04.2008
Autor: blueeyes

dann müsste man auf folgendes kommen:

[mm] (\alpha+\beta+\gamma+\delta)b_{1} [/mm] + [mm] (\beta+\gamma+\delta)b_{2} [/mm] + [mm] (\gamma+\delta)b_{3} [/mm] + [mm] (\delta)b_{4} [/mm] =0

und da [mm] b_{1},b_{2},b_{3},b_{4} [/mm] linear unabhängig,also =0 sind ist die Gleichung erfüllt. Ist das so ok?

Bezug
                                        
Bezug
Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:14 Mi 02.04.2008
Autor: MathePower

Hallo blueeyes,

> dann müsste man auf folgendes kommen:
>  
> [mm](\alpha+\beta+\gamma+\delta)b_{1}[/mm] +
> [mm](\beta+\gamma+\delta)b_{2}[/mm] + [mm](\gamma+\delta)b_{3}[/mm] +
> [mm](\delta)b_{4}[/mm] =0

[ok]

>  
> und da [mm]b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}[/mm] linear unabhängig,also =0
> sind ist die Gleichung erfüllt. Ist das so ok?

Jetzt hast Du erstmal ein Gleichungssystem.

Wenn hier [mm]\alpha=\beta=\gamma=\delta=0[/mm] herauskommt, dann
hast Du gezeigt, daß [mm]b_{1}, \ b_{1}+b_{2}, \ b_{1}+b_{2}+b_{3}, \ b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}[/mm] auch eine Basis ist.

Gruß
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:40 Mi 02.04.2008
Autor: blueeyes

oh ist ja schön dass das so schnell ging, Mathe muss also doch nicht immer so schwer sein ;-) Leider war das erst Aufgabe a; b würde so noch lauten, vielleicht könnt ihr mir noch einmal unter die Arme greifen:

b) Sei A: [mm] \IR^{4} [/mm] -> [mm] \IR^{4} [/mm] eine lineare Abbildung mit

[mm] _{B}A_{B} \pmat{ 1 & 0 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & 2 & 5 \\ -2 & 3 & 0 & 4 \\ -1 & 1 & 1 & 0} [/mm]

Geben Sie [mm] _{C_{1}}A_{B} [/mm] und [mm] _{B}A_{C_{2}} [/mm] an, wobei [mm] C_{2}: b_{2},b_{3},b_{4},b_{1} [/mm] ist.

Muss ich nun mittels Multiplikation [mm] C_{1} [/mm] und [mm] C_{2} [/mm] mit [mm] _{B}A_{B} [/mm] verbinden? Wenn, wie kann man [mm] C_{1} [/mm] und [mm] C_{2} [/mm] in die Matrixschreibweise bringen?
liebe Grüße

Bezug
                                                        
Bezug
Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:01 Mi 02.04.2008
Autor: DaMenge

Hallo !


> Geben Sie [mm]_{C_{1}}A_{B}[/mm] und [mm]_{B}A_{C_{2}}[/mm] an, wobei [mm]C_{2}: b_{2},b_{3},b_{4},b_{1}[/mm]
> ist.
>  
> Muss ich nun mittels Multiplikation [mm]C_{1}[/mm] und [mm]C_{2}[/mm] mit
> [mm]_{B}A_{B}[/mm] verbinden? Wenn, wie kann man [mm]C_{1}[/mm] und [mm]C_{2}[/mm] in
> die Matrixschreibweise bringen?


Ja, du musst die MBTransformationsformel benutzen.

Du hast ja beide neue Basen angegeben, aber um die Multiplikation jeweils durchzuführen, musst du die MBTransformationsmatrix bestimmen.

Mal als Beispiel hier: die TrafoMatrix [mm] $T^{C_2}_B [/mm] =  [mm] _{B}T_{C_{2}} [/mm] $ (?) beschreibt den Basiswechsel von [mm] $C_2$ [/mm] zur Basis B, man muss sich also überlegen, welchen Vektor man bzgl der Basisdarstellung von B erhält, wenn man den ersten Basisvektor von [mm] C_2 [/mm] reinsteckt.

der erste Basisvektor von [mm] C_2 [/mm] ist aber gerade [mm] b_2 [/mm] , also erhält man [mm] $\vektor{0\\1\\0\\0}$ [/mm] als erste Spalte der TrafoMatrix, siehe unter "Besonderheiten" im obigen Link zu den TrafoMatrizen

Also erhält man [mm] $_{B}T_{C_{2}} [/mm] = [mm] \pmat{0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0}$ [/mm]

Damit ergibt sich nach der Transformationsformel (siehe Link oben):
$ [mm] _{B}A_{C_{2}} [/mm] = [mm] _{B}A_{B} [/mm] * [mm] _{B}T_{C_{2}}$ [/mm]


Das andere Beispiel schaffst du sicher nun alleine, wenn du beachtest, dass [mm] $_{C_{1}}T_{B}=(_{B}T_{C_{1}})^{(-1)}$ [/mm]
und
$ [mm] _{C_{1}}A_{B} [/mm] = [mm] _{C_{1}}T_{B} *_{B}A_{B}$ [/mm]


viele Grüße,
DaMenge

Bezug
                                                                
Bezug
Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:45 Mi 02.04.2008
Autor: blueeyes

Ooook,das war mir nun alles neu, aber ich glaub ich habs verstanden. Die Matrix von [mm] C_{2} [/mm] sah ja wie folgt aus:

[mm] C_{2} \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm]

und [mm] C_{1} [/mm] etwa so?:


[mm] C_{1} \pmat{ b_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b_{1}+b_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_{1}+b_{2}+b_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}} [/mm]


Bezug
                                                                        
Bezug
Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:39 Do 03.04.2008
Autor: DaMenge

Hi nochmal,

>  
> und [mm]C_{1}[/mm] etwa so?:
>  
>
> [mm]C_{1} \pmat{ b_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b_{1}+b_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_{1}+b_{2}+b_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}}[/mm]
>  


Hmmm, nicht ganz.
Dazu sollte ich vielleicht zwei Sachen sagen:
1) [mm] C_1 [/mm] ist eine Basis keine Matrix - du suchst jetzt die Matrix, die dir einen Vektor, der bzgl [mm] C_1 [/mm] gegeben ist, in den gleichen Vektor umwandelt nur eben bzgl der Basis B. Dies ist die Transformationsmatrix [mm] $_{B}T_{C_1}$ [/mm]

2) Deine Idee dabei war schon richtig - so wird der zweite Basisvektor aus [mm] C_1 [/mm] auf den Vektor [mm] $(b_1+b_2)$ [/mm] abgebildet, ABER in der Matrix müssen die Koeffizienten in der Basisdarstellung bzgl B stehen.
also der Vektor [mm] $b_1+b_2$ [/mm] hat bzgl B die Darstellung [mm] $\vektor{1\\1\\0\\0}$ [/mm]

so erhälst du alle Spalten dieser Matrix.

Danach musst du die Matrix noch invertieren, denn in [mm] $_{C_1}A_{B}$ [/mm] willst du ja einen Vektor bzgl B reinstecken und das Bild bzgl [mm] C_1 [/mm] raus bekommen, deshalb ist: [mm] $_{C_1}A_{B} [/mm] = [mm] _{C_1}T_{B} [/mm] * [mm] _{B}A_{B}$ [/mm]
(beachte die vertauschten Indezies der Trafomatrix!)

versuchst du es nochmal?
nächtliche Grüße,
DaMenge

Bezug
                                                                                
Bezug
Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:56 Do 03.04.2008
Autor: blueeyes

Oook, ich versuchs mal:

[mm] _{C_{1}}A_{B}= _{C_{1}}T_{B}*_{B}A_{B} [/mm]

und für [mm] _{C_{1}}T_{B} [/mm] hatte ich nun dieses hier:

[mm] _{C_{1}}T_{B}=\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm]

das multiplizier ich dann mit der Matrix [mm] _{B}A_{B} [/mm] und das wars doch dann auch schon,oder? Liebe Grüße

Bezug
                                                                                        
Bezug
Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:08 Do 03.04.2008
Autor: angela.h.b.


> Oook, ich versuchs mal:
>  
> [mm]_{C_{1}}A_{B}= _{C_{1}}T_{B}*_{B}A_{B}[/mm]
>  
> und für [mm]_{C_{1}}T_{B}[/mm] hatte ich nun dieses hier:
>  
> [mm]_{C_{1}}T_{B}=\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>  
> das multiplizier ich dann mit der Matrix [mm]_{B}A_{B}[/mm] und das
> wars doch dann auch schon,oder?

Hallo,

die Matrix, die Du aufgeschrieben hast, ist die Matrix  [mm] _{B}T_{C_{1}}, [/mm] die die Dir aus Vektoren in Koordinaten bzgl [mm] C_1 [/mm] solche bzgl. B macht.

Stecken wir z.B. den dritten Basisvektor von [mm] C_1 [/mm] in Koordinaten bzgl [mm] C_1 [/mm] hinein, also rechnen

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }\vektor{0 \\ 0\\1\\0}, [/mm] so erhalten wir [mm] \vektor{1 \\ 1\\1\\0}, [/mm] also seine Darstellung bzgl. B.


Um die gewünschte Matrix  [mm] _{C_{1}}T_{B} [/mm] mußt Du [mm] _{B}T_{C_{1}} [/mm] noch invertieren, wie bereits DaMenge schrieb.

Gruß v. Angela

Bezug
                                                                                                
Bezug
Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:37 Do 03.04.2008
Autor: blueeyes

Ich muss [mm] _{B}T_{C{1}} [/mm] invertieren, dann komme ich denke mal auf:

[mm] _{C{1}}T_{B} \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 } [/mm]

und das mit [mm] _{B}A_{B} [/mm] multiplizieren? Ich verstehe nur nicht wieso ich dieses hier machen muss:


$ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }\vektor{0 \\ 0\\1\\0}, [/mm] $ so erhalten wir $ [mm] \vektor{1 \\ 1\\1\\0}, [/mm] $ also seine Darstellung bzgl. B.


LG


Bezug
                                                                                                        
Bezug
Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:43 Do 03.04.2008
Autor: angela.h.b.


> Ich muss [mm]_{B}T_{C{1}}[/mm] invertieren, dann komme ich denke mal
> auf:

Hallo,

zu rechnen wäre die erfolgversprechendere Methode...

>  
> [mm]_{C{1}}T_{B} \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }[/mm]
>
> und das mit [mm]_{B}A_{B}[/mm] multiplizieren?

Ja, wenn Du dann die richtige Matrix hast.


> Ich verstehe nur
> nicht wieso ich dieses hier machen muss:
>  
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }\vektor{0 \\ 0\\1\\0},[/mm]
> so erhalten wir [mm]\vektor{1 \\ 1\\1\\0},[/mm] also seine
> Darstellung bzgl. B.

Du mußt das nicht machen. Ich wollte Dir daran nur demonstrieren, was Deine Matrix tut. Daß es die verkehrte ist.

Gruß v. Angela

Gruß v. Angela


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 Mo 07.04.2008
Autor: Not_Helpless

zu dieser Aufgabe hab ich von meinen Freunden zwar nen paar Tipps bekommen und auch ihren Rechenweg ansehen können,nur hab ich nicht den blassesten Schimmer, wie sie bei der Berechnung von [mm] _{C_{1}}A_{B} [/mm] auf folgendes kommen...vielleicht kann dies jemand nachvollziehen und mir versuchen zu erklären,wäre lieb...:

nochmal zur Erinnerung:

[mm] C_{1}: b_{1}, b_{1}+b_{2}, b_{1}+b_{2}+b_{3}, b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4} [/mm]
B: [mm] b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4} [/mm]

dieses hier ist ja noch verständlich:

[mm] A(b_{1})= 1b_{1}+2b_{2}-2b_{3}-b_{4} [/mm]
[mm] A(b_{2})= -3b_{2}+3b_{3}+b_{4} [/mm]
[mm] A(b_{1})= 2b_{1}+2b_{2} +b_{4} [/mm]
[mm] A(b_{1})=-1b_{1}+5b_{2}+4b_{3} [/mm]

und nun das was ich leider nicht nachvolziehen kann:

[mm] A(b_{1})=\summe_{i=1}^{n}di_{1}ci=-c_{1}+4c_{2}-c_{3}-c_{4} [/mm]

[mm] A(b_{2})=\summe_{i=1}^{n}di_{2}ci=3c_{1}-6c_{2}+2c_{3}+c_{4} [/mm]

[mm] A(b_{3})=\summe_{i=1}^{n}di_{3}ci= 2c_{2}-c_{3}+c_{4} [/mm]

[mm] A(b_{4})=\summe_{i=1}^{n}di_{4}ci=-6c_{1}+c_{2}+4c_{3} [/mm]

sodass man letzten Endes auf [mm] _{C_{1}}A_{B} [/mm] kommt:

[mm] _{C_{1}}A_{B}=\pmat{ -1 & 3 & 0 & -6 \\ 4 & -6 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & 4 \\ -1 & 1 & 1 & 0} [/mm]

liebe Grüße



Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:10 Mo 07.04.2008
Autor: angela.h.b.


> Berechnung von [mm]_{C_{1}}A_{B}[/mm]
>  
> [mm]C_{1}: b_{1}, b_{1}+b_{2}, b_{1}+b_{2}+b_{3}, b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}[/mm]
> B: [mm]b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}[/mm]
>
> dieses hier ist ja noch verständlich:
>  
> [mm]A(b_{1})= 1b_{1}+2b_{2}-2b_{3}-b_{4}[/mm]
>  [mm]A(b_{2})= -3b_{2}+3b_{3}+b_{4}[/mm]
>  
> [mm]A(b_{1})= 2b_{1}+2b_{2} +b_{4}[/mm]
>  
> [mm]A(b_{1})=-1b_{1}+5b_{2}+4b_{3}[/mm]

Hallo,

ich kenne jetzt den genauen Anfang Deiner Rechengeschichte nicht, aber es dürfte irgendwie so sein, daß Du eine Lineare Abbildung A hast von [mm] \IR^4 \to \IR^4 [/mm] mit


> [mm]A(b_{1})= 1b_{1}+2b_{2}-2b_{3}-b_{4}[/mm]
>  [mm]A(b_{2})= -3b_{2}+3b_{3}+b_{4}[/mm]
>  
> [mm]A(b_{1})= 2b_{1}+2b_{2} +b_{4}[/mm]
>  
> [mm]A(b_{1})=-1b_{1}+5b_{2}+4b_{3}[/mm]

Dann sieht die darstellende Matrix von A bzgl der Basis B, also [mm] _BA_B [/mm] so aus:

[mm] _BA_B=\pmat{ 1 & 0 &&\\ 2 & -3&& \\-2 & 3&& \\-4 & 1&& }, [/mm] denRest kannst Du selber eintragen.


[mm] _CA_B [/mm] ist nun die Matrix, die Dir die Ergebnisse nicht in Koordinaten bzgl. B, sondern in Koordinaten bzgl. C liefert.

Um diese Matrix aufzustellen mußt Du also die Funktionswerte auf den Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl C kennen.

Und die haben Deine Freunde gesucht.

Es ist

> [mm] A(b_{1})= 1b_{1}+2b_{2}-2b_{3}-b_{4}=\vektor{1\\2\\-2\\-1}_B=\vektor{k\\l\\m\\n}_C= [/mm]

[mm] k*\underbrace{b_{1}}_{=c_1} [/mm] + [mm] l*\underbrace{(b_{1}+b_{2})}_{c_2} [/mm] + [mm] m*\underbrace{(b_{1}+b_{2}+b_{3})}_{c_3} [/mm] + [mm] n*\underbrace{(b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4})}_{c_4} [/mm]

Du mußt nun  [mm] 1b_{1}+2b_{2}-2b_{3}-b_{4}= [/mm]
[mm] k*\underbrace{b_{1}}_{=c_1} [/mm] + [mm] l*\underbrace{(b_{1}+b_{2})}_{c_2} [/mm] + [mm] m*\underbrace{(b_{1}+b_{2}+b_{3})}_{c_3} [/mm] + [mm] n*\underbrace{(b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4})}_{c_4} [/mm]

verwenden, um die Koeffizienten auszurechnen.

Die geben dann die erste Spalte von [mm] _CA_B. [/mm]

Anschließend das gleiche Procedere für die anderen Basisvektoren von B.

Gruß v. Angela



> und nun das was ich leider nicht nachvolziehen kann:
>  
> [mm]A(b_{1})=\summe_{i=1}^{n}di_{1}ci=-c_{1}+4c_{2}-c_{3}-c_{4}[/mm]
>  
> [mm]A(b_{2})=\summe_{i=1}^{n}di_{2}ci=3c_{1}-6c_{2}+2c_{3}+c_{4}[/mm]
>  
> [mm]A(b_{3})=\summe_{i=1}^{n}di_{3}ci= 2c_{2}-c_{3}+c_{4}[/mm]
>  
> [mm]A(b_{4})=\summe_{i=1}^{n}di_{4}ci=-6c_{1}+c_{2}+4c_{3}[/mm]
>  
> sodass man letzten Endes auf [mm]_{C_{1}}A_{B}[/mm] kommt:
>  
> [mm]_{C_{1}}A_{B}=\pmat{ -1 & 3 & 0 & -6 \\ 4 & -6 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & 4 \\ -1 & 1 & 1 & 0}[/mm]
>  
> liebe Grüße
>  
>  


Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:03 Mo 07.04.2008
Autor: blueeyes

Ich mußt nun  $ [mm] 1b_{1}+2b_{2}-2b_{3}-b_{4}= [/mm] $
$ [mm] k\cdot{}\underbrace{b_{1}}_{=c_1} [/mm] $ + $ [mm] l\cdot{}\underbrace{(b_{1}+b_{2})}_{c_2} [/mm] $ + $ [mm] m\cdot{}\underbrace{(b_{1}+b_{2}+b_{3})}_{c_3} [/mm] $ + $ [mm] n\cdot{}\underbrace{(b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4})}_{c_4} [/mm] $

verwenden, um die Koeffizienten auszurechnen.  Wie meinst du das genau,einfach nur diese Gleichung umstellen? Lg

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Basis: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:14 Mo 07.04.2008
Autor: Not_Helpless

Ich weiß es leider auch nicht ganz genau,könntest du das bitte noch weiter erläutern? Ginge das? nen netten Gruß

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:21 Mo 07.04.2008
Autor: angela.h.b.


> Ich mußt nun  [mm]1b_{1}+2b_{2}-2b_{3}-b_{4}=[/mm]
>  [mm]k\cdot{}\underbrace{b_{1}}_{=c_1}[/mm] +
> [mm]l\cdot{}\underbrace{(b_{1}+b_{2})}_{c_2}[/mm] +
> [mm]m\cdot{}\underbrace{(b_{1}+b_{2}+b_{3})}_{c_3}[/mm] +
> [mm]n\cdot{}\underbrace{(b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4})}_{c_4}[/mm]
>  
> verwenden, um die Koeffizienten auszurechnen.  Wie meinst
> du das genau,einfach nur diese Gleichung umstellen? Lg

hallo,

so, wie Du es am Anfang schon getan hast:

[mm] 1b_{1}+2b_{2}-2b_{3}-b_{4}=k\cdot{}\underbrace{b_{1}}_{=c_1} [/mm] + [mm] l\cdot{}\underbrace{(b_{1}+b_{2})}_{c_2} [/mm] + [mm] m\cdot{}\underbrace{(b_{1}+b_{2}+b_{3})}_{c_3}+ [/mm]
[mm] n\cdot{}\underbrace{(b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4})}_{c_4} [/mm]

<==> [mm] (...)b_1+(...)b_2+(...)b_3+(...)b_4=0, [/mm]

dann die lineare Unabhängigkeit ins Spiel bringen und die Koeffizienten k,l,m,n ausrechnen.

Gruß v. Angela


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]