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| Aufgabe | V1 = {(x1, x2, x3) [mm] \in R^{3} [/mm] | [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] }
V2 = {f [mm] \in [/mm] Abb(R,R) | f(x) = 0 bis auf endlich viele x [mm] \in [/mm] R}. |
Was sind die Basen für diese Vektorräume???
Ich denke V1 = { (1,0,1)}
Ich habe aber keine Ahnung was V2 sein kann.
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Hi
> [mm]V1 = \{(x1, x2, x3) \in R^{3}\ |\ x_1 = x_3 \}[/mm]
> [mm] V2 = \{f \in Abb(R,R)\ |\ f(x) = 0 \textnormal{ bis auf endlich viele } x \in R\}[/mm].
> Was sind die Basen für diese Vektorräume???
>
> Ich denke V1 = { (1,0,1)}
>
Das stimmt leider nicht. Zuerst einmal besteht [mm] $V_1$ [/mm] nicht ausschließlich aus dem Vektor $(1,0,1)$. Du hast vermutlich das gemeint:
[mm] $V_1 [/mm] = [mm] \{ a*(1,0,1)\ | \ a\in \IR\}$.
[/mm]
Aber auch so wäre es falsch, denn der Vektor $(1,2,1)$ wäre dann kein Element von [mm] $V_1$, [/mm] obwohl er die Bedingung [mm] $x_1 [/mm] = [mm] x_3$ [/mm] erfüllt.
Was ist die geometrische Interpretation von [mm] $V_1$? [/mm] Ist es eine Gerade, eine Ebene oder [mm] $\IR^3$?
[/mm]
> Ich habe aber keine Ahnung was V2 sein kann.
Weißt du nicht, wie die Elemente von [mm] $V_2$ [/mm] aussehen, oder weißt du nicht, wie man eine Basis herleiten kann?
Versuche, den Graphen einer Abbildung aus [mm] $V_2$ [/mm] zu zeichnen, und überlege dir, wie die Funktion als Linearkombination einfacherer Funktionen dargestellt werden kann.
Gruß,
phrygian
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Dann eine Basis für V1 ist {(1,0,1) , (0,1,0) } Stimmt ???
Ich weiß nicht, wie die Elemente von V2 aussehen, deswegen kann ich kein Basis finden.
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> Dann eine Basis für V1 ist {(1,0,1) , (0,1,0) } Stimmt
> ???
Hallo,
ja, das stimmt.
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> Ich weiß nicht, wie die Elemente von V2 aussehen,
Dagegen hilft nur eins: die Menge [mm] V_2 [/mm] langsam und gründlich anzuschauen.
[mm] >>>V_2 [/mm] = [mm] \{f \in Abb(\IR,\IR) | f(x) = 0 bis auf endlich viele x \in R\}
[/mm]
Schauen wir uns erstmalan, von welcher Art die Elemente sind, die in [mm] V_2 [/mm] sind.
Da steht: "f [mm] \in Abb(\IR,\IR)".
[/mm]
Also sind die Elemente von [mm] V_2 [/mm] Funktionen, die aus dem [mm] \IR [/mm] in den [mm] \IR [/mm] abbilden.
Nun ist aber nicht jede dieser Funktionen in [mm] V_2 [/mm] enthalten. Hinter dem Strich wird erklärt, welche dieser Funktionen drin sind:
"f(x) = 0 bis auf endlich viele x [mm] \in [/mm] R".
Es sind also solche Funktionen, die an fast allen Stellen =0 sind. Nur an endlich vielen Stellen weicht der Funktionswert von 0 ab.
Ein Beispiel für solch eine Funktion wäre
[mm] g:\IR\to \IR
[/mm]
[mm] g(x):=\begin{cases} 2, & \mbox{für } x=-27 \mbox{ } \\ \wurzel{2}, & \mbox{für } x=\pi \mbox{ }\\123, & \mbox{für } x=-456 \mbox{ }\\0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
Vielleicht siehst Du jetzt etwas klarer.
> deswegen
> kann ich kein Basis finden.
Du benötigst einen "Satz" (möglichst einfache) Funktionen, aus denen Du Dir per Linearkombination jede der Funktionen aus [mm] V_2 [/mm] zusammenbasteln kannst.
(Wenn Du solch eine Menge von Funktionen gefunden hast, mußt Du natürlich noch prüfen, ob sie lin. unabhängig sind - aber das ist nur ein kleines Problem.)
Gruß v. Angela
>
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Danke du hast es sehr verständlich erzählt.
Ich wähle :
edit...
Wie finde ich ein Basis?
Ich weiß nicht wie man von einer Funktionsmenge ein Basis findet.
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> Danke du hast es sehr verständlich erzählt.
>
> Ich wähle :
>
> edit...
>
> Wie finde ich ein Basis?
>
> Ich weiß nicht wie man von einer Funktionsmenge ein Basis
> findet.
Hallo,
da die Menge aus Funktionen einer bestimmten Bauart besteht, besteht die Basis auch aus solchen Funktionen.
(Merke Dir: besteht der VR aus Türklinken, dann besteht auch seine Basis aus Türklinken, besteht er aus Katzen, dann besteht auch seine Basis aus Katzen).
Wonach Du suchen mußt, habe ich Dir doch schon gesagt: nach - in Deinem Interesse einfachen - Funktionen, mit denen Du jede beliebige Funktion als Linearkombination erzeugen kannst.
Ich hab# mir mal die erste Version Deines Artikels angeschaut, Du hattest die Funktionen
$ [mm] f_1(x)=0 [/mm] $
$ [mm] f_2(x)=x-1 [/mm] $
$ [mm] f_3(x)=sin(\pi\cdot{}x) [/mm] $
$ [mm] f_4(x)=tan(\pi\cdot{}x) [/mm] $,
welche bis auf [mm] f_1 [/mm] einen fürchterlichen Schönheitsfehler haben: sie sind gar nicht in [mm] V_2, [/mm] und daher als Basis völlig ungeeignet.
(Wahrscheinlich war Dir das auch selbst aufgefallen.)
Schauen wir nochmal mein Beispiel an.
$ [mm] g(x):=\begin{cases} 2, & \mbox{für } x=-27 \mbox{ } \\ \wurzel{2}, & \mbox{für } x=\pi \mbox{ }\\123, & \mbox{für } x=-456 \mbox{ }\\0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}. [/mm] $
Diese Funktion könnte ich als Linearkombi dreier sehr einfacher Funktionen schreiben.
Ich definiere:
$ [mm] f_{-27}(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=-27\\0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases} [/mm] $,
$ [mm] f_{\pi}(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=\pi \mbox{ } \end{cases}. [/mm] $,
$ [mm] f_{-456}(x):=\begin{cases}1, & \mbox{für } x=-456 \mbox{ }\\0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}. [/mm] $.
Es ist g= ???
Gruß v. Angela
I
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Als ich es geschrieben habe, beschäftigte ich mich mit einer anderen Aufgabe.
Die waren die Elemente von meiner neuen Aufgabe. Ich habe es bemerkt und wollte es korrigieren aber dazwischen hast du es reserviert.
Bis hier habe ich verstanden. Aber ich weiß nicht wie ich eine Basis schreiben kann.
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> Bis hier habe ich verstanden.
Hallo,
was hast Du verstanden?
Wie lautet g als Linearkombination der von mir definierten Funktionen?
Kannst Du zwei weitere Funktionen h, k aufschreiben, die in [mm] V_2 [/mm] sind, passende "einfache" Funktionene definieren und die Funktionen h und k als Linearkombination dieser schreiben?
>Aber ich weiß nicht wie ich
> eine Basis schreiben kann.
Weiß Du immer noch keine Basis oder weißt Du nicht, wie Du sie aufschreiben sollst?
Gruß v. Angela
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$ [mm] h_{5}(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=5\\0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases} [/mm] $
$ [mm] k_{-2009}(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=-2009\\0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases} [/mm] $
g(x) = 1 [mm] f_{-27}(x) [/mm] + 1 [mm] f_{\pi}(x) [/mm] + [mm] 1f_{-456}(x) [/mm]
Habe ich bestanden?
Meinst du eine Basis von g(x) ist { [mm] f_{-27}(x), f_{\pi}(x), f_{-456}(x) [/mm] }
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> [mm]h_{5}(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=5\\0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> [mm]k_{-2009}(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=-2009\\0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}[/mm]
Hallo,
ja, die wären auch in [mm] V_2.
[/mm]
>
>
> g(x) = 1 [mm]f_{-27}(x)[/mm] + 1 [mm]f_{\pi}(x)[/mm] + [mm]1f_{-456}(x)[/mm]
>
> Habe ich bestanden?
Nein. Durchgefallen.
Schauen wir, warum:
es ist g(-27)=2,
aber 1 [mm]f_{-27}(-27)[/mm] + 1 [mm]f_{\pi}(-27)[/mm] + [mm]1f_{-456}(-27)[/mm] =1*1+1*0+1*0=1.
Es kann also nicht stimmen, was Du schreibst.
>
>
> Meinst du ein Basis von g(x) ist [mm] \{ f_{-27}(x), f_{\pi}(x), f_{-456}(x) \}
[/mm]
Ganz bestimmt nicht, denn es haben weder Funktionen noch Funktionswerte eine Basis. Vektorräume haben eine Basis.
Ich meinte aber, daß man g als Linearkombination der drei Funktionen schreiben kann, und all das soll dazu dienen, daß Du eine Idee entwickelst, wie man jede Funktion aus [mm] V_2 [/mm] als Linearkombination "einfacher" Funktionen schreiben kann.
Ich sag' Dir jetzt mal eine Basis B von [mm] V_2, [/mm] Deine Aufgabe ist es, darüber zu meditieren, warum das eine Basis ist.
[mm] B:=\{f_a\in Abb(\IR, \IR)| a\in \IR\} [/mm] mit [mm] f_a(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=a \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Beachte: B ist nicht endlich, fürchterlicherweise auch nicht abzählbar.
Zeige zunächst, daß B ein Erzeugendensystem ist, danch die lineare Unabhängigkeit.
Gruß v. Angela
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Ist das die Richtige Lösung:
[mm] 2f_{-27}(x) [/mm] + [mm] \wurzel{2} f_{\pi}(x) [/mm] + 123 [mm] f_{-456}(x)
[/mm]
Erzeugendensystem:
[mm] \alpha_1 f_{a1}(x) +\alpha_2 f_{a2}(x)+....+ \alpha_n f_{an}(x) [/mm] = V2, V2 wird also von der Funkiton [mm] f_a(x) [/mm] erzeugt.
Falls a's nicht gleich sind. Man kann [mm] f_{a1}(x) [/mm] nicht von [mm] f_{an}(x) [/mm] erzeugen.
Ich weiß die Lösung ist nicht richtig aber das ist das beste was ich machen kann. :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Sa 15.08.2009 | | Autor: | Andrey |
> V2 wird also von der Funkiton [mm]f_a(x)[/mm] erzeugt.
Diese Aussage da hat doch überhaupt keinen Sinn... Was ist denn "die" Funktion [mm] $f_a(x)$? [/mm] Es ist doch wohl klar, dass die Basis hier nicht aus einer einzigen Funktion bestehen kann, dir wurde sogar schon gesagt, dass die benötigte Funktionenschar nicht mal abzählbar ist.
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Wie ist die Lösung jetzt denn???
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> Wie ist die Lösung jetzt denn???
Hallo,
eigentlich sollst Du die finden...
Welches einemögliche Basis ist, habe ich doch schon gesagt.
Du hast nun noch die Aufgabe, zu zeigen, daß es tatsächlich eine Basis ist.
(Allmählich bekomme ich etwas Zweifel bzgl. Deiner Grundlagen, in Deinem Profil steht ja auch nichts.)
Für Basis mußt Du zeigen
- Erzeugendensystem.
- linear unabhängig.
Fürs Erzeugendensystem mußt u vorrechnen, wie Du aus den Funktionen meiner Menge jede beliebige Funktion [mm] f\in V_2 [/mm] basteln kannst durch Lnearkombination.
Für "linear unabhängig" ist zu zeigen, daß jede Linearkombination von Elementen der Menge, die die Nullfunktion ergibt, die triviale Linearkombination ist.
Gruß v. Angela
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Ich weiß was ich machen soll.
Mit dem Vektoren kann ich zu Recht kommen.
[mm] f_a [/mm] ist aber kein Vektor.
z. B.
Ich kann mir leider nicht vorstellen wie ich eine linear Kombination von [mm] f_a(x) [/mm] machen kann.
Ich kann vielleicht schreiben:
[mm] lambda_1 f_a_1(x) [/mm] + [mm] lambda_2 f_a_2(x)+.... [/mm] + [mm] lambda_n f_a_n(x) [/mm] = 0 hat nur Triviale Lösung weil alle a's verschiedene sind.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Sa 15.08.2009 | | Autor: | Andrey |
> [mm]f_a[/mm] ist aber kein Vektor.
Inwiefern ist das "kein Vektor"? Man kann diese Funktionen wunderbar punktweise addieren und mit Skalaren multiplizieren usw. was will man mehr?
> Ich kann mir leider nicht vorstellen wie ich eine linear
> Kombination von [mm]f_a(x)[/mm] machen kann.
> ...
> [mm]lambda_1 f_a_1(x)[/mm] + [mm]lambda_2 f_a_2(x)+....[/mm] + [mm]lambda_n f_a_n(x)[/mm]
Wie: "du kannst es dir nicht vorstellen", und schreibt in der nächsten zeile gleich eine hin... Das ist doch eine Linearkombination.
> = 0 hat nur Triviale Lösung weil alle a's verschiedene
> sind.
"Etwas gilt weil es gilt" ist eine etwas schwache Begründung. Schreib doch genau hin, warum es nur die triviale Lösung haben kann.
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Es war das beste was ich machen kann. Ich kann es leider nicht verbessern.
Ich habe sogar kein Vorschlag für beweis von Erzeugendensystem.
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> Ich habe sogar kein Vorschlag für beweis von
> Erzeugendensystem.
Naja, immerhin haben wir das Erzeugendensystem ja schon.
Jetzt schreib doch mal auf, wie ein beliebiges Element von [mm] V_2 [/mm] aussieht, das hatten wir doch schon besprochen:
es ist eine Funktion, die überall 0 ist bis auf endlich viele Stellen [mm] x_1, ...x_n.
[/mm]
Also
g(x):= ....
Und nun schreib das als Linearkombination passender [mm] f_a, [/mm] so, wie in dem allerersten Beispiel, welches Du doch schließlich auch hinbekommen hattest.
Gruß v. Angela
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Das habe ich schon gemacht. Warum soll ich wieder machen ?
Es ist so:
$ [mm] g(x):=\begin{cases} 2, & \mbox{für } x=-10 \mbox{ } \\ \wurzel{5}, & \mbox{für } x=\pi \mbox{ }\\-5, & \mbox{für } x=-33 \mbox{ }\\0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}. [/mm] $
g(x) = 2 [mm] f_{-10} [/mm] + [mm] \wurzel{5}f_\pi [/mm] + -5 [mm] f_{-33}
[/mm]
ich weiß aber nicht wie ich es im Allgemeinfall schreiben soll?
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> Das habe ich schon gemacht. Warum soll ich wieder machen ?
Hallo,
nein, Du machst hier nicht das, was ich gesagt habe. Du lieferst ein Beispiel für eine Funktion aus [mm] V_2.
[/mm]
Für "Erzeugendensystem" mußt Du doch zeigen, daß Du jede beliebige (!) Funktion aus [mm] V_2 [/mm] als Linearkombination von Elementen aus B schreiben kannst.
Die Funktionen aus [mm] V_2 [/mm] sind die, die überall den Funktionswert 0 haben, mit Ausnahme endlich vieler Stellen [mm] x_1,.., x_n, [/mm] an welchen [mm] g(x_i)= y_i [/mm] ist.
Sei also [mm] g\in V_2.
[/mm]
Dann gibt es ein n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_n, y_1, ...y_n\in \IR [/mm] mit
g(x):= ....
Überleg Dir nun wie Du welche Elemente aus B linearkombinieren mußt, damit alles schön paßt.
Gruß v. Angela
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Du gibst dir zu viel mühe. Ich kann aber leider nicht mitmachen.
Soll ich so schreiben:
g(x):= [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_n f_a [/mm] a und [mm] \lambda_n \in \IR [/mm]
ich konnte leider [mm] x_i [/mm] und [mm] y_i [/mm] nicht benutzen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Sa 15.08.2009 | | Autor: | Andrey |
> Soll ich so schreiben:
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> g(x):= [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_n f_a[/mm] a und [mm]\lambda_n \in \IR[/mm]
Was soll das bringen? Du kannst doch nicht irgendwelche zufälligen Buchstaben hinmalen und hoffen dass da irgendwas sinnvolles rauskommt. Das was du da oben hingeschrieben hast ergibt jedenfalls keinen Sinn, da Variable a ungebunden ist.
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[mm] f_a [/mm] ist schon definiert. Lies mal vorherige Beiträge.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:25 So 16.08.2009 | | Autor: | Andrey |
Ich habe vorherige Beiträge gelesen. Ich habe auch nicht gesagt dass [mm] $f_a$ [/mm] undefiniert wäre, sondern dass $a$ ungebunden ist. Anders gesagt: zu einem gegebenen $g$ hast du nirgends spezifiziert was $a$ sein soll (bzw. zum einen hast du es nicht versucht, zum anderen geht es gar nicht).
Das ist ungefähr so, als ob man dich fragen würde "Was ist 2+2", und du darauf anwortest "2+2 ist 3+a" ohne zu erwähnen was a ist
=> a ungebunden.
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Hallo,
> Du gibst dir zu viel mühe. Ich kann aber leider nicht
> mitmachen.
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> Soll ich so schreiben:
>
> g(x):= [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_n f_a[/mm] a und [mm]\lambda_n \in \IR[/mm]
Die Summe ist vollkommen unsinnig, sie läuft über i und hat lauter Summanden, die in keiner Weise von i abhängen.
Da steht ausgeschrieben [mm] $n\cdot{}\lambda_n\cdot{}f_a$ [/mm] ...
Das hat mit dem oben von Angela angegebenen g nicht allzuviel zu tun ...
>
> ich konnte leider [mm]x_i[/mm] und [mm]y_i[/mm] nicht benutzen.
Weil du dich nicht an Angelas Bezeichnungen hältst.
Nochmal: Nimm dir ein bel. [mm] $g\in V_2$ [/mm] her mit den Eigenschaften wie oben in Angelas post
Dieses g hat also an den endlich vielen Stellen [mm] $x_1,...,x_n$ [/mm] von 0 verschiedene Funktionswerte [mm] $g(x_1)=y_1,...,g(x_n)=y_n$ [/mm] und nimmt für alle anderen [mm] $x\in\IR$ [/mm] den Wert 0 an, also $g(x)=0$ für [mm] $x\neq x_i$ [/mm] ($i=1,...,n$)
Nun musst du die [mm] $f_a$ [/mm] ins Spiel bringen.
Interessieren tun hier die Stellen [mm] $x_i$, [/mm] schaue dir also mal die Funktionen [mm] $f_{x_i}(x)$ [/mm] näher an.
Mit welchen (offensichtlichen) Koeffizienten (die du [mm] $\lambda_n$ [/mm] genannt hast) kannst du denn nun eine LK von $g(x)$ aus den [mm] $f_{x_i}(x)$ [/mm] hinbasteln.
Bedenke, dass du ja die Funktionswerte [mm] $g(x_i)$ [/mm] kennst ...
LG
schachuzipus
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> Mit dem Vektoren kann ich zu Recht kommen.
> [mm]f_a[/mm] ist aber kein Vektor.
Hallo,
ich glaube, Du hast überhaupt noch nicht richtig verstanden, was ein Vektor ist.
Ein Vektor ist nichts anderes als ein Element eines Vektorraumes.
Das hat mit Spalten der Gestalt [mm] \vektor{x_1\\\vdots\\ x_n} [/mm] nichts zu tun.
Naja, nichts ist vielleicht übertrieben: der VR, der aus solchen Spalten besteht, ist ein Beispiel für einen VR.
Vielleicht ist es sinnvoll, wenn Du Dir nochmal anschaust, wie bei Euch der VR der reellen Funktionen eingeführt wurde.
Schau Dir die Menge und die Verknüpfungen genau an, und überprüfe, ob alle VR-Axiome erfüllt sind.
Du wirst sehen, es ist ein Vektorraum. Und weil das ein Vektorraum ist, sind halt die Elemente der Menge, also Funktionen, Vektoren.
Die Menge [mm] V_2, [/mm] die Du nun betrachten sollst, ist mit den einschlägigen Verknüpfungen ein Untervektorraum des obigen Vektorraumes.
Gruß v. Angela
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> Ich hab# mir mal die erste Version Deines Artikels
> angeschaut, Du hattest die Funktionen
>
> [mm]f_1(x)=0[/mm]
> [mm]f_2(x)=x-1[/mm]
> [mm]f_3(x)=sin(\pi\cdot{}x)[/mm]
> [mm]f_4(x)=tan(\pi\cdot{}x) [/mm],
>
> welche bis auf [mm]f_1[/mm] einen fürchterlichen Schönheitsfehler
> haben: sie sind gar nicht in [mm]V_2,[/mm] und daher als Basis
> völlig ungeeignet.
Ich habe mich tot gelacht.
fürchterlichen Schönheitsfehler :)
Es war Elemente von
A:= {f [mm] \in Abb(\IR,\IR) [/mm] |f(1)=0}
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