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Basis: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:53 Mi 20.07.2005
Autor: NECO

Hallo zusammen,  ich habe hier eine Aufgabe, ich habe schonmal so was gelöst, aber heb vergessen wie man hier so anfängt. oder was man machen muss.

Es sei U={x [mm] \in \IR^{4}: x_{1}+2x_{3}=x_{2}-2x_{4}} [/mm]
V={x [mm] \in \IR^{4}:x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0} [/mm]

ich möchte Basis von U,V, U [mm] \cap [/mm] V und U+V bestimmen.  wie geht das nochmal.  Kann jemand mir bitte das noch mal erleutern?  Danke

        
Bezug
Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:43 Mi 20.07.2005
Autor: holy_diver_80

Hallo NECO,

Eigentlich solltest Du Dich ja schämen, so etwas überhaupt zu fragen, anstatt  im Lineare Algebra-Skriptum nachzulesen. Aber gut.

Die Basen für U und V erkennt man ja noch freihändig. Etwa:

[mm] $u_1 [/mm] = (1,1,0,0) \ [mm] u_2 [/mm] = (2,0,-1,0) \ [mm] u_3 [/mm] = (2,0,0,-1)$ und
[mm] $v_1 [/mm] = (1,-1,0,0) \ [mm] v_2 [/mm] = (1,0,-1,0) \ [mm] v_3 [/mm] = (1,0,0,-1)$

Um den schwierigen Fall $U [mm] \cap [/mm] V$ zu behandeln, bringt man das System in Matrixform, wendet den Gauß-Algorithmus an, und liest die Basis des Lösungsraumes ab.

Ursprüngliche Gleichungen:
[mm] $\pmat{ 1 & -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }$ [/mm]
Stufenform:
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 3/2 & 3/2 \\ 0 & 1 & -1/2 & -1/2}$ [/mm]
Basis:
[mm] $w_1 [/mm] = (-3/2,1/2,1,0) \ [mm] w_2 [/mm] = (-3/2,1/2,0,1)$

Nun noch zu U+V. Als Summe von 2 dreidimensionalen UVR ist das wieder ein dreidimensionaler UVR. Ein Erzeugendensystem erhält man ganz leicht, indem man alle Summen [mm] $v_i [/mm] + [mm] w_j$ [/mm] bildet. Eine Basis lässt sich etwa so aussondern:
Trage alle Vektoren des EZS in eine Matrix ein (mit den Vektoren als Spalten). Bringe diese auf Stufenform. Wähle 3 Spalten aus, in denen ein Pivot sitzt. Die zugehörigen Vektoren bilden dann die Basis. Wenn meine Berechnungen korrekt sind, erhielte man z.B.
[mm] $x_1 [/mm] = (2,0,0,0) \ [mm] x_2 [/mm] = (2,1,-1,0), [mm] x_3 [/mm] = (2,1,0,-1)$

Liebe Grüße,
Holy Diver

Bezug
                
Bezug
Basis: danke dir.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:53 Mi 20.07.2005
Autor: NECO

danke, hast recht eigentlich muss ich sowas locker können. ich hatte es so vergessen. jetz heb ich es wieder. danke

Bezug
                
Bezug
Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:38 Fr 22.07.2005
Autor: NECO

Hallo zusammen

> Die Basen für U und V erkennt man ja noch freihändig.
> Etwa:
>  
> [mm]u_1 = (1,1,0,0) \ u_2 = (2,0,-1,0) \ u_3 = (2,0,0,-1)[/mm] und
>  [mm]v_1 = (1,-1,0,0) \ v_2 = (1,0,-1,0) \ v_3 = (1,0,0,-1)[/mm]

Woher weiß ich dass ich nur Drei vektoren finden muss, sondern nihct 4.
habe 4 vektoren gefunden, aber sind dann nicht linear unabhängig.
Kann es nicht 4 geben?

Das ganze kann man ja auch mit Zassenhasu algorithmus rechnen oder?
Ich habe auch hier von Zassenhaus nicht gehört.

>  
> Um den schwierigen Fall [mm]U \cap V[/mm] zu behandeln, bringt man
> das System in Matrixform, wendet den Gauß-Algorithmus an,
> und liest die Basis des Lösungsraumes ab.
>  
> Ursprüngliche Gleichungen:
>  [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }[/mm]
>  Stufenform:
>  [mm]\pmat{ 1 & 0 & 3/2 & 3/2 \\ 0 & 1 & -1/2 & -1/2}[/mm]
>  Basis:
>  [mm]w_1 = (-3/2,1/2,1,0) \ w_2 = (-3/2,1/2,0,1)[/mm]
>  
> Nun noch zu U+V. Als Summe von 2 dreidimensionalen UVR ist
> das wieder ein dreidimensionaler UVR. Ein Erzeugendensystem
> erhält man ganz leicht, indem man alle Summen [mm]v_i + w_j[/mm]
> bildet. Eine Basis lässt sich etwa so aussondern:
>  Trage alle Vektoren des EZS in eine Matrix ein (mit den
> Vektoren als Spalten). Bringe diese auf Stufenform. Wähle 3
> Spalten aus, in denen ein Pivot sitzt. Die zugehörigen
> Vektoren bilden dann die Basis. Wenn meine Berechnungen
> korrekt sind, erhielte man z.B.
>  [mm]x_1 = (2,0,0,0) \ x_2 = (2,1,-1,0), x_3 = (2,1,0,-1)[/mm]
>  
> Liebe Grüße,
>  Holy Diver


Bezug
                        
Bezug
Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:11 Fr 22.07.2005
Autor: holy_diver_80

Hallo NECO,

> Woher weiß ich dass ich nur Drei vektoren finden muss,
> sondern nicht 4.
>  habe 4 vektoren gefunden, aber sind dann nicht linear
> unabhängig.
>  Kann es nicht 4 geben?

Nein, es kann nicht 4 geben. Wir hatten ein homogenes lineares Gleichungssystem zu lösen. Sei nun ganz allgemein A eine m [mm] $\times$ [/mm] n Matrix. Sei weiters r ihr Rang, und d die Dimension des Lösungsraums. Dann gilt: m = r + d
Unser System hatte Rang 1, also ist die Dimension des Lösungsraums gleich 3.

> Das ganze kann man ja auch mit Zassenhasu algorithmus
> rechnen oder?
>  Ich habe auch hier von Zassenhaus nicht gehört.

Zassenhaus sagt mir nix.

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