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Basis Annulator: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 Mo 06.02.2012
Autor: DudiPupan

Aufgabe
Es sei [mm] $E=\{ \epsilon_1, ... , \epsilon_5\}$ [/mm] die Standardbasis des [mm] $\IR^5$ [/mm] und W ein Unterraum von [mm] $\IR^5$, [/mm] der von den Vektoren
[mm] $\alpha_1=\epsilon_1+2\epsilon_2+\epsilon_3$ [/mm]
[mm] $\alpha_2=\epsilon_2+3\epsilon_3+3\epsilon_4+\epsilon_5$ [/mm]
[mm] $\alpha_3=\epsilon_1+4\epsilon_2+6\epsilon_3+4\epsilon_4+\epsilon_5$ [/mm]
aufgespannt wird.
Finden Sie eine Basis für $W°$.

Hallo,
ich weiß bei dieser Aufgabe leider gar nicht, wie ich vorgehen soll und würde mich über jegliche Hilfe freuen.
Vielen Dank
Dudi

        
Bezug
Basis Annulator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:17 Mo 06.02.2012
Autor: fred97


> Es sei [mm]E=\{ \epsilon_1, ... , \epsilon_5\}[/mm] die
> Standardbasis des [mm]\IR^5[/mm] und W ein Unterraum von [mm]\IR^5[/mm], der
> von den Vektoren
> [mm]\alpha_1=\epsilon_1+2\epsilon_2+\epsilon_3[/mm]
>  [mm]\alpha_2=\epsilon_2+3\epsilon_3+3\epsilon_4+\epsilon_5[/mm]
>  
> [mm]\alpha_3=\epsilon_1+4\epsilon_2+6\epsilon_3+4\epsilon_4+\epsilon_5[/mm]
>  aufgespannt wird.
>  Finden Sie eine Basis für [mm]W°[/mm].
>  Hallo,
>  ich weiß bei dieser Aufgabe leider gar nicht, wie ich
> vorgehen soll und würde mich über jegliche Hilfe freuen.

Zeige: [mm] \alpha_1 [/mm] , [mm] \alpha_2, \alpha_3 [/mm] sind linear unabhängig.

Wie sieht dann eine Basis von W aus ?

FRED

>  Vielen Dank
>  Dudi


Bezug
                
Bezug
Basis Annulator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Mo 06.02.2012
Autor: DudiPupan


> > Es sei [mm]E=\{ \epsilon_1, ... , \epsilon_5\}[/mm] die
> > Standardbasis des [mm]\IR^5[/mm] und W ein Unterraum von [mm]\IR^5[/mm], der
> > von den Vektoren
> > [mm]\alpha_1=\epsilon_1+2\epsilon_2+\epsilon_3[/mm]
>  >  [mm]\alpha_2=\epsilon_2+3\epsilon_3+3\epsilon_4+\epsilon_5[/mm]
>  >  
> >
> [mm]\alpha_3=\epsilon_1+4\epsilon_2+6\epsilon_3+4\epsilon_4+\epsilon_5[/mm]
>  >  aufgespannt wird.
>  >  Finden Sie eine Basis für [mm]W°[/mm].
>  >  Hallo,
>  >  ich weiß bei dieser Aufgabe leider gar nicht, wie ich
> > vorgehen soll und würde mich über jegliche Hilfe freuen.
>  
> Zeige: [mm]\alpha_1[/mm] , [mm]\alpha_2, \alpha_3[/mm] sind linear
> unabhängig.
>  
> Wie sieht dann eine Basis von W aus ?

Wenn W durch [mm] $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ [/mm] aufgespannt wird und diese linear unabhängig sind, dann wäre eine Basis für W ja:
[mm] $\mathbb{B}_W={\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3}$, [/mm] oder?

>  
> FRED
>  >  Vielen Dank
>  >  Dudi
>  


Bezug
                        
Bezug
Basis Annulator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Mo 06.02.2012
Autor: fred97


> > > Es sei [mm]E=\{ \epsilon_1, ... , \epsilon_5\}[/mm] die
> > > Standardbasis des [mm]\IR^5[/mm] und W ein Unterraum von [mm]\IR^5[/mm], der
> > > von den Vektoren
> > > [mm]\alpha_1=\epsilon_1+2\epsilon_2+\epsilon_3[/mm]
>  >  >  
> [mm]\alpha_2=\epsilon_2+3\epsilon_3+3\epsilon_4+\epsilon_5[/mm]
>  >  >  
> > >
> >
> [mm]\alpha_3=\epsilon_1+4\epsilon_2+6\epsilon_3+4\epsilon_4+\epsilon_5[/mm]
>  >  >  aufgespannt wird.
>  >  >  Finden Sie eine Basis für [mm]W°[/mm].
>  >  >  Hallo,
>  >  >  ich weiß bei dieser Aufgabe leider gar nicht, wie
> ich
> > > vorgehen soll und würde mich über jegliche Hilfe freuen.
>  >  
> > Zeige: [mm]\alpha_1[/mm] , [mm]\alpha_2, \alpha_3[/mm] sind linear
> > unabhängig.
>  >  
> > Wie sieht dann eine Basis von W aus ?
>  
> Wenn W durch [mm]\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3[/mm] aufgespannt wird
> und diese linear unabhängig sind, dann wäre eine Basis
> für W ja:
>  [mm]\mathbb{B}_W={\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3}[/mm], oder?

Ja

FRED

>  
> >  

> > FRED
>  >  >  Vielen Dank
>  >  >  Dudi
> >  

>  


Bezug
                                
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Basis Annulator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:53 Mo 06.02.2012
Autor: DudiPupan


> > > > Es sei [mm]E=\{ \epsilon_1, ... , \epsilon_5\}[/mm] die
> > > > Standardbasis des [mm]\IR^5[/mm] und W ein Unterraum von [mm]\IR^5[/mm], der
> > > > von den Vektoren
> > > > [mm]\alpha_1=\epsilon_1+2\epsilon_2+\epsilon_3[/mm]
>  >  >  >  
> > [mm]\alpha_2=\epsilon_2+3\epsilon_3+3\epsilon_4+\epsilon_5[/mm]
>  >  >  >  
> > > >
> > >
> >
> [mm]\alpha_3=\epsilon_1+4\epsilon_2+6\epsilon_3+4\epsilon_4+\epsilon_5[/mm]
>  >  >  >  aufgespannt wird.
>  >  >  >  Finden Sie eine Basis für [mm]W°[/mm].
>  >  >  >  Hallo,
>  >  >  >  ich weiß bei dieser Aufgabe leider gar nicht,
> wie
> > ich
> > > > vorgehen soll und würde mich über jegliche Hilfe freuen.
>  >  >  
> > > Zeige: [mm]\alpha_1[/mm] , [mm]\alpha_2, \alpha_3[/mm] sind linear
> > > unabhängig.
>  >  >  
> > > Wie sieht dann eine Basis von W aus ?
>  >  
> > Wenn W durch [mm]\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3[/mm] aufgespannt wird
> > und diese linear unabhängig sind, dann wäre eine Basis
> > für W ja:
>  >  [mm]\mathbb{B}_W={\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3}[/mm], oder?
>  
> Ja
>  
> FRED
>  >  

Oh, ich sehe gerade, dass oben bei meiner Aufgabe ein Schreibfehler drin ist.
Das sollte heißen:
Finden Sie eine Basis von [mm] $W^o$, [/mm] also Anullator W.

> > >  

> > > FRED
>  >  >  >  Vielen Dank
>  >  >  >  Dudi
> > >  

> >  

>  


Bezug
                                        
Bezug
Basis Annulator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:00 Mo 06.02.2012
Autor: Schadowmaster

Nun, du hast ja (hoffentlich^^) schon eine Basis von $W$ bestimmt.
Nun möchtest du alle linearen Abbildungen [mm] $\varphi$ [/mm] haben, sodass $W [mm] \subseteq Kern(\varphi)$. [/mm]
Weißt du, was die duale Basis des dualen Vektorraums ist (in Abhängigkeit einer gegebenen Basis des Vektorraums)?
Wenn du diese kennst und weißt, wie sie gebildet wird, dann könntest du deine gesuchte Basis auf gleiche Art und Weise bestimmen.

lg

Schadow

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