Basis B und f Diagonalgestalt < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V ein [mm] \IR [/mm] - Vektorraum mit Basis E = (a, b, c) und f [mm] \in End_{\IR}(V) [/mm] mit
f(a) = a + 3b + 6c
f(b) = -3a -5b -6c
f(c) = 3a + 3b +4c
a) Bestimmen Sie das Minimalpolynom von f.
b) Zeigen Sie, dass f diagonalisierbar ist.
c) Bestimmen Sie eine Basis B von V, bzgl. derer f Diagonalgestalt hat. |
Hallo,
ich habe Probleme bei Teilaufgabe c).
Wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich jetzt eine Basis B bestimmen, die aus Eigenvektoren besteht.
Ich bin jetzt schon soweit, dass ich die Basiswechselmatrix [mm] T_{B}^{E} [/mm] bestimmt habe. Hierüber könnte ich ja eigentlich die Basis B bestimmen, aber das Problem ist, dass ich die Basis E nicht explizit kenne.
Hat jemand einen Tipp, was ich falsch mache?
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> Sei V ein [mm]\IR[/mm] - Vektorraum mit Basis E = (a, b, c) und f
> [mm]\in End_{\IR}(V)[/mm] mit
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> f(a) = a + 3b + 6c
> f(b) = -3a -5b -6c
> f(c) = 3a + 3b +4c
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> a) Bestimmen Sie das Minimalpolynom von f.
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> b) Zeigen Sie, dass f diagonalisierbar ist.
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> c) Bestimmen Sie eine Basis B von V, bzgl. derer f
> Diagonalgestalt hat.
> Hallo,
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> ich habe Probleme bei Teilaufgabe c).
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> Wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich jetzt eine
> Basis B bestimmen, die aus Eigenvektoren besteht.
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> Ich bin jetzt schon soweit, dass ich die Basiswechselmatrix
> [mm]T_{B}^{E}[/mm] bestimmt habe. Hierüber könnte ich ja
> eigentlich die Basis B bestimmen, aber das Problem ist,
> dass ich die Basis E nicht explizit kenne.
> Hat jemand einen Tipp, was ich falsch mache?
Hallo,
Du kannst bzw. mußt die Basisvektoren von B in Abhängigkeit von a,b,c aufschreiben.
Wenn dieser Hinweis nicht reicht, solltest Du mal die wesentlichen Schritte und Ergebnisse Deines Tuns hier aufschreiben, damit man daran anknüpfen kann.
LG Angela
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Ah ok, danke. Ich dachte die ganze Zeit, ich soll explizit eine Basis B angeben und habe mich die ganze Zeit gefragt, wie das gehen soll, wenn die Basis E gar nicht gegeben (also nicht explizit) gegeben ist.
Mit in Abhängigkeit meinst du das so, richtig?
Sei B = [mm] (y_{1}, y_{2}, y_{3}) [/mm] die gesuchte Basis mit
[mm] y_{1} [/mm] = a + b
[mm] y_{2} [/mm] = -a + c
[mm] y_{3} [/mm] = a + b + 2c
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> Mit in Abhängigkeit meinst du das so, richtig?
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> Sei B = [mm](y_{1}, y_{2}, y_{3})[/mm] die gesuchte Basis mit
> [mm]y_{1}[/mm] = a + b
> [mm]y_{2}[/mm] = -a + c
> [mm]y_{3}[/mm] = a + b + 2c
Hallo,
ja, so meinte ich das.
(Ob Deine Basis B richtig ist, habe ich nicht geprüft.)
LG Angela
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