Basis Bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Do 13.03.2008 | | Autor: | MALPI |
| Aufgabe | Gegeben sind die Vektoren in R4
a1 = [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 1 \\ 0} [/mm] a3 = [mm] \pmat{ 2\\ 1\\-1\\1} a3=\pmat{-3\\0\\3\\-2 } [/mm] a4 = [mm] \pmat{ 1\\-1\\-2\\1}
[/mm]
Bestimmen Sie für (a1, a2, a3, a4) je zwei Basen. |
Moin moin,
Ich hab das ganze erstmal in eine Matrix gebracht und =0 gesetzt um halt zu überprüfen ob die Vektoren Linear unabhängig sind.
1 2 -3 1 |0
2 1 0 -1 |0
1 -1 3 -2|0
0 1 -2 1 |0
=>nach einigen Umformungen hatte ich dann folgendes raus:
1 2 -3 1 |0
0 -3 6 -3|0
0 0 0 0 | 0
0 0 0 0 | 0
Das bedeutet doch jetzt das a1 und a2 schonmal eine Basis bilden, da sie sich nicht als Linearkombination des anderen dar stellen lassen, oder sehe ich das falsch?
Aber wie kann ich nun eine 2. Basis darstellen!?
Und gibt es vllt auch einen schnelleren Rechenweg als diesen?
MfG
Malte
|
|
| |
|
Hallo MALPI,
> Gegeben sind die Vektoren in R4
> a1 = [mm]\pmat{ 1 \\ 2 \\ 1 \\ 0}[/mm] a3 = [mm]\pmat{ 2\\ 1\\-1\\1} a3=\pmat{-3\\0\\3\\-2 }[/mm]
> a4 = [mm]\pmat{ 1\\-1\\-2\\1}[/mm]
> Bestimmen Sie für (a1, a2, a3,
> a4) je zwei Basen.
> Moin moin,
>
> Ich hab das ganze erstmal in eine Matrix gebracht und =0
> gesetzt um halt zu überprüfen ob die Vektoren Linear
> unabhängig sind.
>
> 1 2 -3 1 |0
> 2 1 0 -1 |0
> 1 -1 3 -2|0
> 0 1 -2 1 |0
>
> =>nach einigen Umformungen hatte ich dann folgendes raus:
>
> 1 2 -3 1 |0
> 0 -3 6 -3|0
> 0 0 0 0 | 0
> 0 0 0 0 | 0
>
> Das bedeutet doch jetzt das a1 und a2 schonmal eine Basis
> bilden, da sie sich nicht als Linearkombination des anderen
> dar stellen lassen, oder sehe ich das falsch?
Das sagt zuerst mal aus, daß von den 4 Vektoren, 2 Vektoren linear unabhängig voneinander sind.
Ja, [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] sind zum Beispiel eine Basis, da sie offensichtlich linear unabhängig sind. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber wie kann ich nun eine 2. Basis darstellen!?
Nun, da hier [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] eine Basis darstellen, bleiben für eine mögliche zweite Basis nur noch [mm]a_{3}[/mm] und [mm]a_{4}[/mm], diese müssen dann ebenfalls linear unabhängig sein.
> Und gibt es vllt auch einen schnelleren Rechenweg als
> diesen?
Mir ist keiner bekannt.
>
> MfG
>
> Malte
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Sa 15.03.2008 | | Autor: | MALPI |
Hallo,
habe nochmal ein wenig nachgelesen, und das kann ja so nicht korrekt sein...
Denn im [mm] R^4 [/mm] muss ich auch eine Basis mit 4 Vektoren bestimmen.
Allgemein:
V ist n-Diemensional. <=> Je n linear unabhängige Vektoren bilden eine Basis.
V ist n-Dimensional. <=> Es gib n linear unabhängige Vektoren, aber jeweils n+1 Vektoren sind linear abhängig.
Qulle: "Das Gelbe Rechenbuch" von Peter Furlan
Somit steht meine erste Basis ja schon in der Aufgabenstellung, nämlich alle 4 Vektoren, die linear unabhängig sind.
Meine 2. Basis wären dann doch jene 4 Vektoren mit z.B. 2 erweitert, denn durch das erweitern bleiben die Vektoren ja nach wie vor l.u. und immernoch in [mm] R^4.
[/mm]
Sehe ich das so richtig?
MfG
MALPI
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
Hey!
> habe nochmal ein wenig nachgelesen, und das kann ja so
> nicht korrekt sein...
>
> Denn im [mm]R^4[/mm] muss ich auch eine Basis mit 4 Vektoren
> bestimmen.
>
Das ist richtig. Aber du sollst ja hier keine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] finden, sondern eine Basis des Vektorraumes, der von den vier Vektoren [mm] a_1 [/mm] - [mm] a_4 [/mm] aufgespannt wird. Und diese vier Vektoren spannen offensichtlich nur einen 2 dimensionalen VR auf, wie du ja an der Zeilenstufenform erkennen kannst. Somit gibt es auch nur zwei Basisvektoren.
> Allgemein:
>
> V ist n-Diemensional. <=> Je n linear unabhängige Vektoren
> bilden eine Basis.
>
> V ist n-Dimensional. <=> Es gib n linear unabhängige
> Vektoren, aber jeweils n+1 Vektoren sind linear abhängig.
>
> Qulle: "Das Gelbe Rechenbuch" von Peter Furlan
>
> Somit steht meine erste Basis ja schon in der
> Aufgabenstellung, nämlich alle 4 Vektoren, die linear
> unabhängig sind.
>
Alle vier Vektoren sind NICHT lin. unabh.!
> Meine 2. Basis wären dann doch jene 4 Vektoren mit z.B. 2
> erweitert, denn durch das erweitern bleiben die Vektoren ja
> nach wie vor l.u. und immernoch in [mm]R^4.[/mm]
>
> Sehe ich das so richtig?
>
> MfG
>
> MALPI
Viele Grüße Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Sa 15.03.2008 | | Autor: | MALPI |
:D da hab ich dann was verwechselt.
Alles klar danke :D
MfG
MALPI
|
|
|
| |
|
> habe nochmal ein wenig nachgelesen, und das kann ja so
> nicht korrekt sein...
Hallo,
Deine Fehler hat Dir ja schon Patrick erklärt.
Ich möchte auf etwas anderes hinweisen, was zumindest leicht mißverstanden werden könnte:
Du hattest die Zeilenstufenform
1 2 -3 1 |0
0 -3 6 -3|0
0 0 0 0 | 0
0 0 0 0 | 0
und hieran vollig richtig festgestellt, daß Deine Vektoren [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] eine Basis des von [mm] a_1, [/mm] ..., [mm] a_4 [/mm] aufgespannten Raumes bilden.
Nun stand die Frage nach einer weiteren Basis im Raum, und Mathepower schreib hierzu
"da hier $ [mm] a_{1} [/mm] $ und $ [mm] a_{2} [/mm] $ eine Basis darstellen, bleiben für eine mögliche zweite Basis nur noch $ [mm] a_{3} [/mm] $ und $ [mm] a_{4} [/mm] $, diese müssen dann ebenfalls linear unabhängig sein. "
In der Tat bilden hier auch [mm] a_3, a_4 [/mm] eine Basis, aber das kann man der ZSF nicht sofort auf den allerersten Blick ansehen. Man muß sich v. der linearen Unabhängigkeit der beiden Vektoren überzeugen. Wenn man das getan hat weiß man: [mm] a_3, a_4 [/mm] sind zwi linear unabhängige Vektoren in einem VR der Dimension 2, also eine Basis desselben.
Neben diesen beiden gefundenen Basen gibt es noch sehr viele andere Basen dieses Vektorraumes, mitnichten sind die beiden die einzigen.
Auch aus den Vektoren [mm] a_1, a_2, a_3, a_4 [/mm] lassen sich noch weitere Basen kombinieren: es sind nämlich je zwei dieser Vektoren linear unabhängig, was Dir bereits 6 Basen aus diesen Vektoren liefert.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
