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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 So 01.08.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo allezusammen.
Beim Lernen wollte ich diese Aufgabe lösen, jedoch komme ich nicht weiter:
Es sei [mm]V = \IR^3, B = (B_1,B_2,B_3)[/mm] die Standardbasis von V und [mm]\varphi \in Hom(V,V)[/mm] mit
[mm]M_B^B(\varphi) =\wedge= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & -7 \\
0 & 1 & 5
\end{pmatrix}=A[/mm]
(a) Berechnen Sie die Jordan-Normalform von [mm]\varphi[/mm]
(b) Bestimmen Sie eine Basis C von V, so dass [mm]M_C^C(\varphi)[/mm] im Jordan-Normalform ist.
Hinweis: die Eigenwerte von [mm]\varphi[/mm] sind ganzzahlig.
Zu a: Als charakt. Polynom habe ich [mm]x_A=(x-2)^3[/mm]. Und dann sieht die Jordannormalform wie folgt aus:
[mm]J(A)=\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
zu b: Es gilt ja: [mm]M_C^C(\varphi)=M_C^B(\varphi)(M_B^B(\varphi))M_B^C(\varphi)[/mm] d.h. [mm]M_C^C(\varphi)=T^{-1}(M_B^B(\varphi))T[/mm]
Dann wären ja die Spalten von T, die drei gesuchten Basisvektoren von C. Habe schon mit [mm]J(A)=T^{-1}AT\gdw AT=TJ(A)[/mm] versucht. Aber dann bekomme ich für T die Nullmatrix heraus aber das kann ja nicht stimmen. Außerdem ist diese Metode doch auch viel zu Zeitaufwendig für eine Klausur. Hättet ihr vielleicht eine schnellere Methode? Oder ist mein Ansatz auch völlig falsch?
Danke!
Jessica
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Hallo Jessica,
> Zu a: Als charakt. Polynom habe ich [mm]x_A=(x-2)^3[/mm]. Und dann
> sieht die Jordannormalform wie folgt aus:
>
> [mm]J(A)=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
Die Jordan-Normalform einer Matrix hängt nicht nur von den Eigenwerten ab, sondern auch von der Dimension der zugehörigen Eigenräume. Hast du den Eigenraum zur 2 schon bestimmt?
Deine Matrix J(A) ist keine Jordannormalform (JNF), weil bei der JNF 1. die eventuell vorhandenen Einsen auf der oberen Nebendiagonale stehen (es sei denn du verwendest eine andere Definition der JNF als ich) und 2. alle drei Diagonalelemente hier gleich 2 sein müssen (der dreifache Eigenwert).
> zu b: Es gilt ja:
> [mm]M_C^C(\varphi)=M_C^B(\varphi)(M_B^B(\varphi))M_B^C(\varphi)[/mm]
> d.h. [mm]M_C^C(\varphi)=T^{-1}(M_B^B(\varphi))T[/mm]
> Dann wären ja die Spalten von T, die drei gesuchten
> Basisvektoren von C.
Ja, die Spalten von T wären dann genau die Basisvektoren in C, ausgedrückt durch ihre Koordinaten bzgl. der Standardbasis B.
Wenn der Eigenraum zur 2 dreidimensional wäre, dann könnte die Matrix T aus einer Basis des Eigenraums gebildet werden. Hier ist er aber nur eindimensional. Deshalb besteht die Jordannormalform aus einem einzelnen Jordanblock (2 auf der Diagonalen, 1 darüber), und du musst zusätzlich zu dem einen Eigenvektor noch zwei Hauptvektoren zum Eigenwert 2 finden.
Diese Hauptvektoren sind Lösungen v der Gleichung $(A - 2 [mm] E)^k\, [/mm] v = 0$ für k = 1, 2, 3. Für k=1 erhältst du genau die Eigenvektoren, von denen du dir einen aussuchst, nennen wir ihn [mm] $v_1$. [/mm] Für größere k erhältst du die Hauptvektoren.
Für k=2 erhältst du einen zweidimensionalen Lösungsraum, der [mm] v_1 [/mm] enthält, und du bestimmst einen zu [mm] v_1 [/mm] linear unabhängigen Vektor in diesem Lösungsraum, den wir [mm] v_2 [/mm] nennen.
Für k=3 erhältst du schließlich einen dreidimensionalen Lösungsraum, der [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] enthält, und du bestimmst einen zu [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] linear unabhängigen Vektor in diesem Lösungsraum, den wir [mm] v_3 [/mm] nennen.
Die Matrix T wird dann gebildet von [mm] v_1, v_2, v_3.
[/mm]
> Habe schon mit [mm]J(A)=T^{-1}AT\gdw AT=TJ(A)[/mm]
> versucht. Aber dann bekomme ich für T die Nullmatrix heraus
> aber das kann ja nicht stimmen.
Es gibt - mit der richtigen JNF - mehr Lösungen für T als nur die Nullmatrix.
> Außerdem ist diese Metode
> doch auch viel zu Zeitaufwendig für eine Klausur. Hättet
> ihr vielleicht eine schnellere Methode? Oder ist mein
> Ansatz auch völlig falsch?
Es gibt bekannte Verfahren dafür, die du in einem LinAlg-Buch nachlesen kannst.
Theoretisch exakt ist der hier beschriebene Weg über die Hauptvektoren, die meisten anderen Verfahren lernt man erst in Numerik.
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 So 01.08.2004 | | Autor: | hanna |
Guten Abend!
> > Zu a: Als charakt. Polynom habe ich [mm]x_A=(x-2)^3[/mm]. Und dann
>
> > sieht die Jordannormalform wie folgt aus:
> >
> > [mm]J(A)=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Die Jordan-Normalform einer Matrix hängt nicht nur von den
> Eigenwerten ab, sondern auch von der Dimension der
> zugehörigen Eigenräume. Hast du den Eigenraum zur 2 schon
> bestimmt?
>
> Deine Matrix J(A) ist keine Jordannormalform (JNF), weil
> bei der JNF 1. die eventuell vorhandenen Einsen auf der
> oberen Nebendiagonale stehen (es sei denn du verwendest
> eine andere Definition der JNF als ich) und 2. alle drei
> Diagonalelemente hier gleich 2 sein müssen (der dreifache
> Eigenwert).
>
Die Jordanmatrix sieht wie folgt aus:
[mm]J(A)=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}[/mm].
Ich höre mit Jessica zusammen, und bei uns wurde sie so definiert, dass die Eigenwerte auf der Diag stehen und auf der darunter liegenden Nebendiag Einsen.
habe mich auch schon an der Aufgabe versucht, habe zwar nicht die Nullmatrix für T erhalten, dafür aber eine Matrix, die kein Inverses besitzt, auch nicht hilfreich.
Aber ich versuchs morgen noch mal.
Gruß,
hanna
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