Basis Bild Dimension und Kern < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Bockiii |
Hallo,
ich schreibe am Montag meine Klausur in Linearer Algebra und bin grad noch ein wenig am verzweifeln.
Könnte mir jemand folgende Begriffe veranschaulichen und erklären was man tun muss, damit man folgende Begriffe "errechnet". Es geht um folgende Begriffe:
1.Basis
2.Bild
3.Dimension
und 4. Kern
Ich versuche mich mal an den Begriffserklärungen, denke aber das ich diese Begriffe noch überhaupt nicht verstanden habe:/
1. Basis - minimales Erzeugendensystem. Die Basis wird ausgerechnet indem man man versucht in einem Gleichungssystem alle linear abhängigen Vektoren rauszuschmeissen. Die Basis sieht nachher also zb: a1x1+a2x2=0 aus.
2. Bild - Teilmenge des Definitionsbereiches. Um das Bild zu errechnen muss ein Gleichungssystem gelöst werden und das Ergebnis ist dann das Bild.
3. Dimension - Sehen uns unser Ergebnis an und schauen ob es sich im R1, R2, R3 befindet und das is dann unsere Dimension
4. Kern - Alle Vektoren wie den Nullvektor in einem Gleichungssystem abbilden. Wie man das genau ausrechnet keine Ahnung.
Ich bedanke mich shconeinmal für Antworten
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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Kroni |
> Hallo,
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> ich schreibe am Montag meine Klausur in Linearer Algebra
> und bin grad noch ein wenig am verzweifeln.
Na dann hoff ich mal, dass du nach meiner Antwort nicht mehr so verzweifeln musst =)
> 1. Basis - minimales Erzeugendensystem. Die Basis wird
> ausgerechnet indem man man versucht in einem
> Gleichungssystem alle linear abhängigen Vektoren
> rauszuschmeissen. Die Basis sieht nachher also zb:
> a1x1+a2x2=0 aus.
Ja. Du weist sicherlich, dass man einen Vektorraum durch eine Menge von Vektoren erzeugen kann. D.h. wenn wir uns z.B. im [mm] IR^3 [/mm] bewegen, also im dreidimensionalem Raum, dann kann man Unterräume aufspannen.
Nun, jeder Unterraum kann aufgespannt werden aus einer Menge von Vektoren, und jeder Vektor aus diesem Unterraum lässt sich dann als Linearkombination deines Erzeugendensystems darstellen. Stell dir eine Ebene vor, die durch den Nullpunkt geht (das ist Bedingung für einen Unterraum). Dann Kannst du dir zwei Richtungsvektoren vorgeben, die dann eine Ebene aufspannen. Dann kannst du jeden Punkt aus diesen beiden Vektoren linearkombinieren.
Nun. Es kann aber auch sein, dass du drei Punkte hast, die einen Unterraum aufspannen. Der Dritte Punkt (oder auch Vektor) liegt dann aber in der selben Ebene, und du weist, dass es reicht, zwei Richtungsvektoren vorzugeben, um diese Ebene aufzuspannen. Das heißt, dass du den dritten Punkt aus den beiden Richtungsvektoren linear kombinieren kannst. D.h. die drei Vektoren sind linear abhängig.
Eine Basis ist dann nichts anderes als ein minimales System an Vektoren, die den Unterraum aufspannt.
Gut nochmal verständlich: Einen Unterraum kannst du definieren durch eine Menge von Vektoren. Diese Vektoren können aber linear abhängig sein, wie ich versuchte habe, am obigen Beispiel deutlich zu machen.
Wenn du jetzt aber alle Vektoren aus dem Erzeugendensystem rauswirfst, so dass nur die linear unabhängigen überbleiben, dann nennst du dieses Erzeugendensystem Basis.
Man kann auch zeigen, dass eine Basis mit diesen Eigenschaften äquivalent ist:
Du hast ein minimales Erzeugendersystem, d.h. wenn du einen Vektor rauswirfst, spannst du nicht mehr den kompletten Unterraum auf.
Du hast ein maximal linear unabhängige Erzeugendensystem, d.h. sobald du einen einzigen Vektor des Unterraumes dazupackst sind die Vektoren linear abhängig.
Und weil die Basis aus linear unabhängigen Vektoren besteht kannst du jeden Vektor deines Unterraumes eindeutig darstellen als Linearkombination der Basisvektoren.
Ich hoffe, dir ist der Begriff Basis nun ein wenig deutlicher.
Nun. Die Dimension eines Unterraumes ist dann die Anzahl der Vektoren, die eine Basis bilden.
> 2. Bild - Teilmenge des Definitionsbereiches. Um das Bild
> zu errechnen muss ein Gleichungssystem gelöst werden und
> das Ergebnis ist dann das Bild.
Das Bild deiner Matrix ist der Spaltenraum. D.h. wenn du alle möglichen Vektoren mit A multiplizierst dann bekommst du alle Vektoren aus dem Bildraum.
Im Allgemeinen ist es so, dass der Bildraum der Raum ist, der von den Spaltenvektoren deiner Matrix A aufgespannt wird. Diesen Raum nennt man auch den Spaltenraum der Matrix A.
Stell dir einfach mal die Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] vor. Die Bildmenge sind ja auch alle Punkte, die man herausbekommt, wenn man alle möglichen x-Werte einsetzt. Das ist mit der Matrix nichts anderes, nur dass man dann einen Wert x einsetzt, sondern dass man alle möglichen Vektoren mit der Matirx A multipliziert, was dann bedeutet, dass man alle Spalten der Matirx A linearkombiniert.
> 3. Dimension - Sehen uns unser Ergebnis an und schauen ob
> es sich im R1, R2, R3 befindet und das is dann unsere
> Dimension
Nun. Die Dimension deiner Matrix ist die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren. Du bringst die Matrix A auf Zeilenstufenform, und die Anzahl der Pivot-Elemente ist dann die Dimension.
Im ALlgemeinen versteht man unter der Dimension eines Unterraumes die Anzahl der Basisvektoren, die den Unterraum aufspannen.
> 4. Kern - Alle Vektoren wie den Nullvektor in einem
> Gleichungssystem abbilden. Wie man das genau ausrechnet
> keine Ahnung.
Genau. Der Kern oder auch Nullraum genannt, sind all die Vektoren, die auf Null abgebildet werden.
D.h. du musst das Gleichungssystem Ax=0 lösen.
Dazu bringt man die Matirx A einfach auf Zeilenstufenform, und dann kann man die Vektoren ablesen, die im Nullraum sind. Denn bei diesem homogenen Gleichungssystem lässt man die Null am Ende einfach weg, denn diese verändern sich ja eh nicht.
Du kannst A auch einfach auf reduzierte Zeielenstufenform bringen, und dann gucken, ob es nur die Triviale Lösung [mm] \vec{x}=0 [/mm] ergibt, oder ob du Variablen frei wählen kannst, und du dann unendlich viele Lösungen hast. Es gibt nur die beiden Varianten.
Ich hoffe, ich konnte dir ein wenig helfen. Falls du noch weitere Fragen hast, frag einfach nochmal.
LG
Kroni
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> Ich bedanke mich shconeinmal für Antworten
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> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Bockiii |
| Aufgabe | Ein Endomorphismus f: [mm] \IR4 \to \IR4 [/mm] sei gegen durch: f(x1,x2,x3,x4)=(2x1+x2-x3,x1-x2,0,x1+2x2+x3)
Bestimmen Sie eine Basis von Kerf und Imf. |
Danke für die obige Antwort. Die hat mir echt viel weitergeholfen. Jedoch ist noch nicht alles klar deshalb hab ich nocheinmal eine Aufgabe reingestellt.
Dort habe ich nun eine Matrix aufgestellt wo folgendes herauskam: [mm] \pmat{ 2 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Da der Rang nun 2 ist und wir im R4 sind brauchen wir 2 Kerne. Die Kerne wurden gewählt also 1. (0,0,0,1) und 2. (1,1,3,0).
Warum wurden die Kerne so gewählt??? In der ersten Zeile wurde x4=1 gesetzt und alles andere angepasst sodass ein Nullraum(?) entsteht und das gleiche bei der 2.Zeile. Ist das so richtig?
Wenn wir nun eine Basis vom Kern bekommen wollen müssen wir nun noch 2 Einheitsvektoren hinzufügen damit wir im R4 bleiben. Hierzu wählen wir dann (1,0,0,0) und (0,1,0,0).
Bei der Bestimmung der Basis vom Bild wurden nun die 2 Einheitsvektoren in f eingesetzt: f(1,0,0,0)=(2,1,0,1) und f(0,1,0,0)=(1,-1,0,2) Die Basis des Bildes lautet nun: {(2,1,0,1)(1,-1,0,2)}.
Meine Frage ist nun, was ist das eigentliche Bild von der Ausgangsfunktion und wieso wurden bei der Bestimmung der Basis vom Bild die 2 Einheitsvektoren verwendet und wieso besitzt die Basis des Bildes nur 2 Vektoren?
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Hallo Bockiii,
> Ein Endomorphismus f: [mm]\IR4 \to \IR4[/mm] sei gegen durch:
> f(x1,x2,x3,x4)=(2x1+x2-x3,x1-x2,0,x1+2x2+x3)
> Bestimmen Sie eine Basis von Kerf und Imf.
> Danke für die obige Antwort. Die hat mir echt viel
> weitergeholfen. Jedoch ist noch nicht alles klar deshalb
> hab ich nocheinmal eine Aufgabe reingestellt.
>
> Dort habe ich nun eine Matrix aufgestellt wo folgendes
> herauskam: [mm]\pmat{ 2 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
wie kommst du denn auf diese Matrix? Die kann doch nicht stimmen
Die lineare Abbildung geht doch vom [mm] $\IR^4\to\IR^4$
[/mm]
Dann muss doch die darstellende Matrix vom Format [mm] $4\times [/mm] 4$ sein
Bilde die Vektoren [mm] $\{e_1, e_2, e_3, e_4\}$ [/mm] der Standardbasis ab und stopfe ihre Bilder als Spalten in eine Matrix, das gibt dir die gewünschte darstellende Matrix, an der du deine Untersuchungen machen kannst.
Ich mach's mal für die ersten beiden Basisvektoren:
[mm] $f(e_1)=f((1,0,0,0)^T)=(2,1,0,1)^T$
[/mm]
Damit ist die erste Spalte der darstellenden Matrix $A$: [mm] $\vektor{2\\1\\0\\1}$
[/mm]
[mm] $f(e_2)=f((0,1,0,0)^T)=(1,-1,0,2)^T$
[/mm]
Also 2.Spalte: [mm] $\vektor{1\\-1\\0\\2}$
[/mm]
Das sollte dir als darstellende Matrix (von f bzg. der Standardbasis)
[mm] $A=\pmat{2&1&-1&0\\1&-1&0&0\\0&0&0&0\\1&2&1&0}$ [/mm] bringen
> Da der Rang nun 2 ist und wir im R4 sind brauchen wir 2
> Kerne. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Was meinst du mit "2 Kerne??"
Was ist denn der Kern einer linearen Abbildung??
> Die Kerne wurden gewählt also 1. (0,0,0,1) und 2.
> (1,1,3,0).
Du meinst eher, der Kern ist 2dimensional, also muss man 2 Basisvektoren für den Kern "wählen" oder besser: bestimmen
> Warum wurden die Kerne so gewählt??? In der ersten Zeile
> wurde x4=1 gesetzt und alles andere angepasst sodass ein
> Nullraum(?) entsteht und das gleiche bei der 2.Zeile. Ist
> das so richtig?
> Wenn wir nun eine Basis vom Kern bekommen wollen müssen
> wir nun noch 2 Einheitsvektoren hinzufügen damit wir im R4
> bleiben. Hierzu wählen wir dann (1,0,0,0) und (0,1,0,0).
>
Es ist ja $dim(Bild(f))=rg(A)$
Bestimme also den Rang von A. Bringe dazu A in Zeilenstufenform.
Der Rang ist in der Tat 2, damit weißt du also, dass $Bild(f)$ ein 2-dimensionaler Unterraum des [mm] $\IR^4$ [/mm] ist
Außerdem weißt du, dass die Spalten von $A$ das Bild aufspannen.
Suche dir also 2 linear unabhängige Spalten von A heraus und du hast eine Basis des Bildes
Für die Bestimmung des Kernes musst du ja das LGS $Ax=0$ lösen, der Kern ist ja genau der Lösungsraum dieses LGS.
Dazu kannst du dieselben Umformungen benutzen wie diejenigen, mit denen du A bei der Bestimmung des Bildes in ZSF gebracht hast, hänge einfach eine Nullspalte an...
Die Lösungsmenge dieses LGS ist der Kern(f) und ist - wie unmittlebar aus der Dimensionsformel folgt 2-dimensional (da dim(Bild(f))=2 ist)
> Bei der Bestimmung der Basis vom Bild
Das wird gemacht, um eine darstellende Matrix - s. oben - zu bekommen, an der man alle weitern Untersuchungen machen kann
> wurden nun die 2
> Einheitsvektoren in f eingesetzt: f(1,0,0,0)=(2,1,0,1) und
> f(0,1,0,0)=(1,-1,0,2) Die Basis des Bildes lautet nun:
> {(2,1,0,1)(1,-1,0,2)}. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Meine Frage ist nun, was ist das eigentliche Bild von der
> Ausgangsfunktion und wieso wurden bei der Bestimmung der
> Basis vom Bild die 2 Einheitsvektoren verwendet und wieso
> besitzt die Basis des Bildes nur 2 Vektoren?
s. Erklärung oben
LG
schachuzipus
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