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| Aufgabe | Sei V ein endlich dimensionaler [mm] \IK-Vektorraum, [/mm] dim(V)=n und [mm] b_1,..,b_n [/mm] eine geordnete Basis von V. Nach Proposition existieren zu jedem i [mm] \in \{1,...,n\} [/mm] eine eindeutig bestimmtes lineares Funktional [mm] b_i':V->\IK [/mm] so dass
[mm] b_i' (b_j)= \delta_{ij} [/mm] |
Warum ist [mm] b_i'(b_j)= \delta_{ij}
[/mm]
Also das Kronecka-delta?
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> Sei V ein endlich dimensionaler [mm]\IK-Vektorraum,[/mm] dim(V)=n
> und [mm]b_1,..,b_n[/mm] eine geordnete Basis von V. Nach Proposition
> existieren zu jedem i [mm]\in \{1,...,n\}[/mm] eine eindeutig
> bestimmtes lineares Funktional [mm]b_i':V->\IK[/mm] so dass
> [mm]b_i' (b_j)= \delta_{ij}[/mm]
>
> Warum ist [mm]b_i'(b_j)= \delta_{ij}[/mm]
> Also das Kronecka-delta?
Hallo,
da oben steht "nach Proposition" solltest Du diese Proposition auch mal hinschreiben und betrachten, denn wenn wir die Proposition nicht kennen, können wir ja auch nichts daraus schließen...
Na gut, ich schließe aber doch mal, ohne die Proposition genau zu kennen:
betrachtet wird ja hier gerade der Raum der linearen Abbildungen aus dem n-dimensionalen VR V in den eindimensionalen VR K, also der Dualraum von V, geschrieben [mm] V^{\*}.
[/mm]
Wir wissen, daß jede lineare Abbildung durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt ist.
Dh. wir können uns lineare Abbildungen basteln, indem wir jedem Basisvektor des Startraumes nach Lust und Laune irgendeinen Vektor des Zielraumes zuweisen.
Oben steht nun: sei [mm] b_1,...,b_n [/mm] eine Basis von V.
Dann gibt es (nach den Ausführungen von eben) eine lineare Abbildung
[mm] b'_1:V\to [/mm] K mit
[mm] b_1'(b_1)=1
[/mm]
[mm] b_1'(b_2)=0
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] b_1'(b_n)=0.
[/mm]
Aus demselben Grund gibt es eine lineare Abbildung
[mm] b'_2:V\to [/mm] K mit
[mm] b_2'(b_1)=0
[/mm]
[mm] b_2'(b_2)=1
[/mm]
[mm] b_2'(b_3)=0
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] b_2'(b_n)=0,
[/mm]
und eine lineare Abbildung
[mm] b'_3:V\to [/mm] K mit
[mm] b_3'(b_1)=0
[/mm]
[mm] b_3'(b_2)=0
[/mm]
[mm] b_3'(b_3)=1
[/mm]
[mm] b_3'(b_4)=0
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] b_2'(b_n)=0,
[/mm]
usw.
und eine lineare Abbildung
[mm] b'_n:V\to [/mm] K mit
[mm] b_n'(b_1)=0
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] b_n'(b_{n-1})=0
[/mm]
[mm] b_n'(b_n)=1.
[/mm]
Dieser Sachverhalt ist in dem von Dir geposteten Zitat halt etwas platzsparender aufgeschrieben.
Es ist sehr wichtig, daß man sich von sowas nicht abschrecken läßt, sondern es in Kleinarbeit aufdröselt.
Speziell hier hättest Du Dich zunächst mal fragen sollen: wie sieht denn die Abbildung [mm] b_1' [/mm] aus?
Im weiterne Verlauf werdet Ihr feststellen, daß die n Funktionen [mm] b_1',...,b_n' [/mm] eine Basis des Dualraumes sind, und ihr werdet diese Basis die "zu [mm] (b_1,...,b_n) [/mm] duale Basis" nennen.
LG Angela
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Danke,
> Im weiterne Verlauf werdet Ihr feststellen, daß die n Funktionen $ [mm] b_1',...,b_n' [/mm] $ eine Basis des Dualraumes sind, und ihr werdet diese Basis die "zu $ [mm] (b_1,...,b_n) [/mm] $ duale Basis" nennen.
dim(V*)=dim(V)=n
Genügt zuzeigen: [mm] b_1',...,b_n' [/mm] Erzeugendensystem von [mm] V^{*}, [/mm] denn dann sind diese automatisch eine Basis von [mm] V^{*}
[/mm]
Ich hab den Beweis im Internet nur andersrum gesehen, dass bewiesen wird, dass die linear unabhängig sind. Aber so müsste es doch auch gehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 So 19.02.2012 | | Autor: | SEcki |
> dim(V*)=dim(V)=n
Und woher weisst du das? Das muss man ja auch beweisen.
> Genügt zuzeigen: [mm]b_1',...,b_n'[/mm] Erzeugendensystem von
> [mm]V^{*},[/mm] denn dann sind diese automatisch eine Basis von
> [mm]V^{*}[/mm]
Wenn man obiges weiss, dann ja.
> Ich hab den Beweis im Internet nur andersrum gesehen, dass
> bewiesen wird, dass die linear unabhängig sind. Aber so
> müsste es doch auch gehen?
Ja.
SEcki
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hi
> > dim(V*)=dim(V)=n
>
> Und woher weisst du das? Das muss man ja auch beweisen.
Das haben wir in der Vorlesung gemacht. Also ist der Beweis sicher richtig und hier schreibe ich das mal als "schon bewiesen" auf.
> Genügt zuzeigen: $ [mm] b_1',...,b_n' [/mm] $ Erzeugendensystem von
> $ [mm] V^{\cdot{}}, [/mm] $ denn dann sind diese automatisch eine Basis von
> $ [mm] V^{\cdot{}} [/mm] $
>> Wenn man obiges weiss, dann ja.
Ja und genau da hänge ich, wie ich zeige kann, dass [mm] b_1',...,b_n' [/mm] $ Erzeugendensystem von $ [mm] V^{\*} [/mm] ist.
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> Ja und genau da hänge ich, wie ich zeige kann, dass
> [mm]b_1',...,b_n'[/mm] [mm]Erzeugendensystem von[/mm] [mm]V^{\*}[/mm] ist.
Hallo,
vor dem "Wie" steht immer das "Was".
Was genau ist denn zu zeigen? Daß man jede Linearform [mm] l\in V^{\*} [/mm] schreiben kann als Linearkombination der [mm] b_i'.
[/mm]
Sei also l [mm] \in [/mm] V* mit (aufgepaßt: jede lineare Abbildung ist eindeutig bestimmt durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis)
[mm] l(b_1):=l_1
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] l(b_n):=l_n, L_1,...,l_n\in [/mm] K.
Und nun mußt Du halt mal ein bißchen überlegen, wie Du die Linearkombination der [mm] b_i' [/mm] organisieren mußt, damit es schön paßt.
LG Angela
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