Basis Kern/Bild einer Matrix < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Do 18.11.2010 | | Autor: | Lentio |
| Aufgabe | Bringe die Matrix A ins NZSF, nestimme eine Basis des Kerns/eine Basis des Bildes von A.
[mm] A=\pmat{ 3 & 2 & 1 9 & -1 & 5\\ -2 & 1&-15 & 4& 15\\ 4 & 2&26 & 0& 6 \\ 1 & 1&6 & -1& 2} [/mm] |
Hallo!
Hier sind meine Ergebnisse, hoffe jemand kann mal rüberlinsen und mir sagen ob ich richtig liege.
Danke
[mm] A=\pmat{ 3 & 2 &1 9 & -1 & 5\\ -2 & 1&-15 & 4& 15\\ 4 & 2&26 & 0& 6 \\ 1 & 1&6 & -1& 2}
[/mm]
3IV-I in IV:
[mm] A=\pmat{ 3 & 2 &1 9 & -1 & 5\\ -2 & 1&-15 & 4& 15\\ 4 & 2&26 & 0& 6 \\ 0 & 1&-1 & -2& 1}
[/mm]
2II+III in II; 3III-4I in III:
[mm] A=\pmat{ 3 & 2 &1 9 & -1 & 5\\ 0 & 4&-4 & 8& 36\\ 0 & -2&26 & 4& -2 \\ 0 & 1&-1 & -2& 1}
[/mm]
II-4IV in II; III+2IV in III:
[mm] A=\pmat{ 3 & 2 &1 9 & -1 & 5\\ 0 & 0&0 & 16& 32\\ 0 & 0&0 & 0& 0 \\ 0 & 1&-1 & -2& 1}
[/mm]
I-2IV:
[mm] A=\pmat{ 3 & 0 &21 & 3& 3\\ 0 & 0&0 & 16& 32\\ 0 & 0&0 & 0& 0 \\ 0 & 1&-1 & -2& 1}
[/mm]
I/3; II/16:
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 &7 & 1& 1\\ 0 & 0&0 & 1& 2\\ 0 & 0&0 & 0& 0 \\ 0 & 1&-1 & -2& 1}
[/mm]
I-II:
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 &7 & 0& -2\\ 0 & 0&0 & 1& 2\\ 0 & 0&0 & 0& 0 \\ 0 & 1&-1 & -2& 1}
[/mm]
IV+2II
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 &7 & 0& -2\\ 0 & 0&0 & 1& 2\\ 0 & 0&0 & 0& 0 \\ 0 & 1&-1 & 0& 5}
[/mm]
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 &7 & 0& -2\\ 0 & 1&-1 & 0& 5\\ 0 & 0&0 & 1& 2 \\ 0 & 0&0 & 0& 0}
[/mm]
EIne Basis des Bildes sind die unabhängigen Spalten der MAtrix, also:
Basis Bild [mm] {\vektor{3 \\ -2 \\ 4 \\ 1},\vektor{2 \\ 1 \\ 2 \\ 1},\vektor{ -1 \\ 4 \\ 0 \\ -1}}
[/mm]
Basis des KErns:
[mm] x_{1}=-7x_{3}+2x_{5}
[/mm]
[mm] x_{4}=-2x_{5}
[/mm]
[mm] x_{2}=x_{3}-5x_{5}
[/mm]
für [mm] x_{5}=t; x_{3}=s
[/mm]
[mm] Bild=\{x; s,t \in \IR | \vektor{-7s+2t \\ s-5t\\ s\\ -2t} \} [/mm] mit Basis
[mm] \{\vektor{-7 \\ 1\\ 1\\ 0},\vektor{2 \\ -5\\ 0\\ -2} \}
[/mm]
Ist das so okay?
mfg
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> Bringe die Matrix A ins NZSF, nestimme eine Basis des
> Kerns/eine Basis des Bildes von A.
>
> [mm]A=\pmat{ 3 & 2 & 1 9 & -1 & 5\\
-2 & 1&-15 & 4& 15\\
4 & 2&26 & 0& 6 \\
1 & 1&6 & -1& 2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Hallo!
>
> Hier sind meine Ergebnisse, hoffe jemand kann mal
> rüberlinsen und mir sagen ob ich richtig liege.
> Danke
> [mm]A=\pmat{ 3 & 2 &1 9 & -1 & 5\\
-2 & 1&-15 & 4& 15\\
4 & 2&26 & 0& 6 \\
1 & 1&6 & -1& 2}[/mm]
>
> 3IV-I in IV:
> [mm]A=\pmat{ 3 & 2 &1 9 & -1 & 5\\
-2 & 1&-15 & 4& 15\\
4 & 2&26 & 0& 6 \\
0 & 1&-1 & -2& 1}[/mm]
>
> 2II+III in II; 3III-4I in III:
> [mm]A=\pmat{ 3 & 2 &1 9 & -1 & 5\\
0 & 4&-4 & 8& 36\\
0 & -2&26 & 4& -2 \\
0 & 1&-1 & -2& 1}[/mm]
>
> II-4IV in II; III+2IV in III:
> [mm]A=\pmat{ 3 & 2 &1 9 & -1 & 5\\
0 & 0&0 & 16& 32\\
0 & 0&0 & 0& 0 \\
0 & 1&-1 & -2& 1}[/mm]
>
> I-2IV:
> [mm]A=\pmat{ 3 & 0 &21 & 3& 3\\
0 & 0&0 & 16& 32\\
0 & 0&0 & 0& 0 \\
0 & 1&-1 & -2& 1}[/mm]
>
> I/3; II/16:
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 &7 & 1& 1\\
0 & 0&0 & 1& 2\\
0 & 0&0 & 0& 0 \\
0 & 1&-1 & -2& 1}[/mm]
>
> I-II:
Konzentrationsfehler: 1-2=-1
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 &7 & 0& \red{-2}\\
0 & 0&0 & 1& 2\\
0 & 0&0 & 0& 0 \\
0 & 1&-1 & -2& 1}[/mm]
>
> IV+2II
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 &7 & 0& \red{-2}\\
0 & 0&0 & 1& 2\\
0 & 0&0 & 0& 0 \\
0 & 1&-1 & 0& 5}[/mm]
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 &7 & 0& \red{-2}\\
0 & 1&-1 & 0& 5\\
0 & 0&0 & 1& 2 \\
0 & 0&0 & 0& 0}[/mm]
Die rote -2 müsste eine -1 eins sein.
>
> EIne Basis des Bildes sind die unabhängigen Spalten der
> MAtrix, also:
>
> Basis Bild [mm]{\vektor{3 \\
-2 \\
4 \\
1},\vektor{2 \\
1 \\
2 \\
1},\vektor{ -1 \\
4 \\
0 \\
-1}}[/mm]
Auf den ersten Blick clever gewählt Spalten!
Das sind die, die eine führende Eins haben. Du weißt außerdem [mm]V=Ker(A)\oplus Bld(A)[/mm]
Die Kerne stehen also in den anderen Spalten:
[mm]\pmat{ 1 & 0 &\green{7} & 0& \green{-1}\\
0 & 1&\green{-1} & 0& \green{5}\\
0 & 0&\green{0} & 1& \green{2} \\
0 & 0&\green{0} & 0& \green{0}}[/mm]
Die fehlenden führenden Einsen kannst du noch korrigieren, indem du für den Kern und nur für den Kern künstlich -1 einfügst:
[mm]\pmat{ 1 & 0 &\green{7} & 0& \green{-1}\\
0 & 1&\green{-1} & 0& \green{5}\\
0 & 0&\green{\mathbf{-1}} & 1& \green{2} \\
0 & 0&\green{0} & 0& \green{\mathbf{-1}}}[/mm]
Jetzt stehen in den grünen Spalten die Basisvektoren vom Kern. In der gegebenen Matrix
[mm] $A=\pmat{ 3 & 2 & 1 9 & -1 & 5\\ -2 & 1&-15 & 4& 15\\ 4 & 2&26 & 0& 6 \\ 1 & 1&6 & -1& 2}$ [/mm]
stehen in den restlichen Spalten die Basisvektoren vom Bild von A.
>
> Basis des KErns:
> [mm]x_{1}=-7x_{3}+2x_{5}[/mm]
> [mm]x_{4}=-2x_{5}[/mm]
> [mm]x_{2}=x_{3}-5x_{5}[/mm]
>
> für [mm]x_{5}=t; x_{3}=s[/mm]
Folgefehler -2
>
> [mm]Bild=\{x; s,t \in \IR | \vektor{-7s+2t \\
s-5t\\
s\\
-2t} \}[/mm]
> mit Basis
> [mm]\{\vektor{-7 \\
1\\
1\\
0},\vektor{2 \\
-5\\
0\\
-2} \}[/mm]
>
> Ist das so okay?
>
> mfg
Generell ist es nicht gut alle Matrizen mit zu bezeichnen, schreibe doch einfach [mm] $A_1,A_2,\ldots$ [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Do 18.11.2010 | | Autor: | Lentio |
HEY!
Danke für die Mühe und den Tipp :) !
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Do 18.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
Das freut mich. Das sollte jedoch als Mitteilung gestellt werden.
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