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Basis Kern und Bild bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Mi 08.05.2013
Autor: MissJule

Aufgabe
Sei f: M_22(IR) -> IR [T] definiert durch
f [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] = [mm] (a+b)+(a+b)*T+(a+b+c+d)*T^{2} [/mm] für alle [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] in M_22 (IR)
Beweisen Sie, dass f linear ist.
Berechnen Sie eine Basis von Kern (f) und von Bild (f).

Hallo,

ich komme bei obiger Aufgabe nicht mehr weiter mit der Bestimmung vom Kern (f).

Bisher habe ich folgendes:

Der Beweis der Linearität ist kein Problem.

Bestimmung von Bild(f):

[mm] e_{11} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, e_{12} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, e_{21} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }, e_{22} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }ist [/mm] die kanonische Basis von [mm] IR^{2} [/mm]

Somit komme ich auf:

Bild (f) = < [mm] f(e_{11}, f(e_{12}), f(e_{21}), f(e_{22}) [/mm] >
Einsetzen der kanonischen Basis ergibt:

Bild (f) = < [mm] 1+T+T^{2}, 1+T+T^{2}, T^{2}, T^{2} [/mm] >

Meine Idee: beweisen dass < [mm] 1+T+T^{2}, T^{2} [/mm] > linear unabhängig sind (also [mm] a*(1+T+T^{2}) [/mm] + [mm] b*(T^{2})= [/mm] 0, das wäre dann die Basis, mit Dim(Bild(f)=2.
Hier weiß ich auch nicht so recht wie ich das LGS aufstellen soll, hat da jemand einen Tipp für mich?


Dann: Dim (Definitionsbereich) = Dim(Kern(f))+Dim(Bild(f))
4 = Dim (Kern(f)) + 2
also Dim(Kern(f) = 2

Und jetzt bin ich mir absolut nicht mehr sicher wies weitergeht.

Kern(f) = die Menge
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] in M_22(IR) mit [mm] (a+b)+(a+b)*T+(a+b+c+d)*T^{2}=0 [/mm]

wie genau gehe ich vor um auf den Kern von f zu kommen?

lg MissJule

(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)



        
Bezug
Basis Kern und Bild bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 Mi 08.05.2013
Autor: fred97


> Sei f: M_22(IR) -> IR [T] definiert durch
> f [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] = [mm](a+b)+(a+b)*T+(a+b+c+d)*T^{2}[/mm]
> für alle [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] in M_22 (IR)
>  Beweisen Sie, dass f linear ist.
>  Berechnen Sie eine Basis von Kern (f) und von Bild (f).
>  Hallo,
>
> ich komme bei obiger Aufgabe nicht mehr weiter mit der
> Bestimmung vom Kern (f).
>  
> Bisher habe ich folgendes:
>  
> Der Beweis der Linearität ist kein Problem.
>  
> Bestimmung von Bild(f):
>  
> [mm]e_{11}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, e_{12}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, e_{21}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }, e_{22}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }ist[/mm]
> die kanonische Basis von [mm]IR^{2}[/mm]
>  
> Somit komme ich auf:
>  
> Bild (f) = < [mm]f(e_{11}, f(e_{12}), f(e_{21}), f(e_{22})[/mm] >
>  Einsetzen der kanonischen Basis ergibt:
>  
> Bild (f) = < [mm]1+T+T^{2}, 1+T+T^{2}, T^{2}, T^{2}[/mm] >
>  
> Meine Idee: beweisen dass < [mm]1+T+T^{2}, T^{2}[/mm] > linear
> unabhängig sind (also [mm]a*(1+T+T^{2})[/mm] + [mm]b*(T^{2})=[/mm] 0, das
> wäre dann die Basis, mit Dim(Bild(f)=2.
>  Hier weiß ich auch nicht so recht wie ich das LGS
> aufstellen soll, hat da jemand einen Tipp für mich?

Aus $ [mm] a\cdot{}(1+T+T^{2}) [/mm] $ + $ [mm] b\cdot{}(T^{2})= [/mm] $ 0

folgt

   [mm] a+aT+(a+b)T^2=0 [/mm]

Koeffizientenvergleich liefert:  a=0, a+b=0


>
>
> Dann: Dim (Definitionsbereich) = Dim(Kern(f))+Dim(Bild(f))
>  4 = Dim (Kern(f)) + 2
>  also Dim(Kern(f) = 2
>  
> Und jetzt bin ich mir absolut nicht mehr sicher wies
> weitergeht.
>  
> Kern(f) = die Menge
>  [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] in M_22(IR) mit
> [mm](a+b)+(a+b)*T+(a+b+c+d)*T^{2}=0[/mm]
>  
> wie genau gehe ich vor um auf den Kern von f zu kommen?

Aus $ [mm] (a+b)+(a+b)\cdot{}T+(a+b+c+d)\cdot{}T^{2}=0 [/mm] $

folgt:

a+b=0 und a+b+c+d=0, also

a+b=0 und c+d=0.

Damit ist b=-a und d=-c.

Fazit: $ [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] $  gehört zum Kern [mm] \gdw [/mm]  $ [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] $=$ [mm] \pmat{ a & -a \\ c & -c } [/mm] $

FRED

>  
> lg MissJule
>  
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
>  
>  


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