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Hallo,
ist meine Lösung richtig?
Hier die Aufgabe:
Im reellen Vektorraum V = [mm] \IR^{5} [/mm] seien die Vektoren
[mm] u_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}, u_2 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2}, u_3 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 3 \\ 3} [/mm] und
[mm] w_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 5 \\ 6}, w_2 [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 6 \\ 8 \\ 9}, w_3 [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 6 \\ 9 \\ 11 \\ 12} [/mm] gegeben.
Weiter sei U := [mm] LineareHülle(u_1, u_2, u_3) [/mm] und W := [mm] LineareHülle(w_1, w_2, w_3)
[/mm]
Berechnen Sie die Basis von U + W.
Meine Lösung:
Ich habe die Basis von U bestimmt. Dann habe ich die Basis von W bestimmt. Dann habe ich die beiden Basen vereinigt und das ist meine Basis von U + W. Hier im Detail:
Basis von U: [mm] \alpha_1 u_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 u_2 [/mm] + [mm] \alpha_3 u_3 [/mm] = 0
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 } [/mm] sieht in Normalform so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Also ist meine Basis [mm] \{u_1, u_2, u_3\}, [/mm] da diese linear unabhängig sind.
Basis von W: [mm] \beta_1 w_1 [/mm] + [mm] \beta_2 w_2 [/mm] + [mm] \beta_3 w_3 [/mm] = 0
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \\ 5 & 8 & 11 \\ 6 & 9 & 12 } [/mm] sieht in Normalform so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Da [mm] w_3 [/mm] sich als Linearkombination von [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] schreiben lässt ist die Basis von W nur [mm] \{w_1, w_2\}
[/mm]
Die Basis von U + W ist damit: [mm] \{u_1, u_2, u_3\} \cup \{w_1, w_2\} [/mm] = [mm] \{u_1, u_2, u_3, w_1, w_2\}
[/mm]
Soweit richtig?
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Hallo,
unter der Voraussetzung, daß Du Dich bei der Zeilenstufenform nicht vertan hast, hast Du die Basen von U und W richtig bestimmt.
Der Schluß jedoch, daß ihre Vereinigung dann eine basis von U+W ist, ist gewagt:
wer oder was garantiert Dir, daß nicht basisvekoten v. U sich als Linearkombi derer von W darstellen lassen oder umgekehrt?
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
vielen Dank für deine Antwort.
Wie ich auf meine Folgerung komme? Ich habe dazu in einem anderen Beitrag eine entsprechende Aussage gefunden. Aber wohl falsch interpretiert... "Wenn du die Basen der beiden U-Räume vereinigst, bekommst du ein Erzeugendensystem des Summenraumes. "
Wie finde ich also die Basis von U+W?
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> Wie ich auf meine Folgerung komme? Ich habe dazu in einem
> anderen Beitrag eine
> entsprechende Aussage gefunden. Aber wohl falsch
> interpretiert... "Wenn du die Basen der beiden U-Räume
> vereinigst, bekommst du ein Erzeugendensystem des
> Summenraumes. "
Hallo,
die dortige Aussage stimmt.
Dort ist von einem Erzeugendensystem die Rede, und das hast Du bei Deiner Vorgehensweise in der Tat.
Gesucht ist aber eine (!) Basis v. U+W.
>
> Wie finde ich also die Basis von U+W?
Da gibt's mehrere Möglichkeiten. Ich sag' Dir mal zwei, die nicht aufwendig sind:
Du kannst alle Erzeugendenvektoren von U und W nebeneinander als Spalten in eine matrix stellen, diese auf Zeilenstufenform bringen. Am Ergebnis kannst Du ablesen, welche der Erzeugendenvektoren Du herausnehmen kannst als Basis v. U+W. Das könnte ich Dir dann zeigen, es ist mühsam, das ins Blaue zu erklären.
Du kannst die Erzeugenden von U und W als Zeilen in eine Matrix legen, in Zeilenstufenform bringen.
Richtest Du die zeilen, die Du erhältst, auf, so hast Du eine basis des von U und W erzeugten Raumes, also von U+W.
Gruß v. Angela
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Hallo,
ich habe mal die Vektoren, die die Basis von U und von W bilden - wie du es beschrieben hast - als Spalten in eine Matrix gegeben und umgeformt.
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 3 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 5 & 8 \\ 1 & 2 & 3 & 6 & 9 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Nun wolltest du mir ja zeigen, wie ich weiter machen muss - oder?
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> Hallo,
>
> ich habe mal die Vektoren, die die Basis von U und von W
> bilden - wie du es beschrieben hast - als Spalten in eine
> Matrix gegeben und umgeformt.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 3 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 5 & 8 \\ 1 & 2 & 3 & 6 & 9 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Nun wolltest du mir ja zeigen, wie ich weiter machen muss -
> oder?
Ja.
Die Matrix hat den Rang 4, der aufgespannte Raum ist also nur vierdimensional.
Schau jetzt, wo Du in den Zeilen führende Elemente (Elemente [mm] \not=0, [/mm] vor denen nur Nullen stehen) hast: in der ersten bis vierten Spalte.
Also kannst Du die ersten vier Start(!!!)-Vektoren als Basisvektoren nehmen.
Wenn Du nochmal solch eine Aufgabe zu lösen hast, brauchst Du gar nicht erst Basen der einzelnen Räume zu bestimmen. Alles rein in die Matrix, ablesen, fertig.
Sähe Deine umgeformte Matrix so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
könnstest Du den 1.,2. und 5. Start-Vektor als Basis des von den Startvektoren aufgespannten Raumes nehmen.
Gruß v. Angela
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