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| Aufgabe | | Zeigen sie, dass eine Basis des Vektorraums aller Nullfolgen notwendigerweise überabzählbar ist. |
Hallo!
Eine Idee von mir war das ich annehme, es gäbe eine abzählbare Basis und dann zeige, dass es ein Element gibt, das nicht davon erzeugt werden kann. Wenn man die Basisfolgen untereinander hinschreibt, dachte ich mir dass man vlt. ähnlich wie beim Cantorschen Diagonalverfahren vorgehen könnte. Und z.B. die Folge
[mm]b_n=\begin{cases} 0, & \mbox{wenn } a_{nn}\neq 0 \\ \frac{1}{n}, & \mbox{für } a_{nn}=0 \end{cases}[/mm]
(wobei A die unendlichdimensionale Matrix der Basisfolgen ist)
nehmen. Fraglich für mich ist natürlich weiterhin wie ich zeigen soll, dass diese Folge nicht erzeugt wird oder ob sie überhaupt nicht erzeugt wird.
Bin ich so auf den richtigen Weg, oder zeigt man das ganz anders?
Gruß
Angelika
Ich habe diese Frage auch hier http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=419770&hilightuser=18950 gestellt.
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Hiho,
zeige, dass der Raum der Nullfolgen mindestens genauso groß ist wie [0,1) indem du eine injektive Abbildung findest, die zu jedem [mm] $x\in [/mm] [0,1)$ eine Nullfolge erzeugt.
MFG,
Gono.
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Danke für den Tipp!
Ich hätte mich da total in irgendwas verrannt...
Wenn ich deine Idee richtig verstanden habe, läuft es darauf hinaus zu zeigen das [0,1) gleichmächtig zu einer Teilmenge der Nullfolgen, also die Nullfolgen mindestens so mächtig wie [0,1) sind. Dann bleibt aber eigentlich bloß noch z.z. das [0,1) überabzählbar ist, was man mit dem Cantorschen Diagonalverfahren analog zum Beweis der Überabzählbarkeit der reelen Zahlen erledigen könnte. Warum da nicht gleich eine Injektion von R in die Menge aller Nullfolgen finden? Z.B. [mm] x\mapsto \frac{x}{n}
[/mm]
Gruß
Angelika
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edit: Die Antwort war quatsch.
Also nein, deine Vorschrift geht NICHT.
Denn jede deiner erzeugten Nullfolge ist durch eine Multiplikation mit einem Skalar in eine andere überführbar!
D.h. dort würde EIN Basisvektor reichen um deine Folgen zu erzeugen.
Das gilt bei der Funktionsvorschrift $x [mm] \to (x^n)_{n\in\IN}$ [/mm] nicht. (Beweis)
MFG,
Gono.
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Danke erstamal!
Aber dann hat man ja auch erst gezeigt, dass eine überabzählbare Basis existiert, und nicht, das jede Basis notwendigerweise überabzählbar ist, oder? Oder gibt es da auch so einen feinen Satz wie im Endlichdimensionalen das zwei Basen eines Raumes gleich mächtige Basismengen haben müssen?
Gruß
Angelika
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Naja,
du erzeugst dir ja unendliche viele linear unabhängig Vektoren des Nullfolgenraums.
Nimm an es gäbe eine abzählbare Basis und dann zeige, dass du damit nur abzählbar viele Vektoren erzeugen kannst => Widerspruch.
MFG,
Gono.
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> Nimm an es gäbe eine abzählbare Basis und dann zeige,
> dass du damit nur abzählbar viele Vektoren erzeugen kannst
> => Widerspruch.
Das verstehe ich nicht ganz..Ich kann doch bereits durch einen Basisvek. z.B. [mm] \frac{1}{n} [/mm] überabzählbar viele Vektoren erzeugen. [mm] \frac{x}{n}\quad x\in [/mm] R sind doch L.K. von [mm] \frac{1}{n}.
[/mm]
Gruß
Angelika
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> Ich kann doch bereits durch einen Basisvek. z.B. [mm]\frac{1}{n}[/mm] überabzählbar viele Vektoren erzeugen. [mm]\frac{x}{n}\quad x\in[/mm] R sind doch L.K. von [mm]\frac{1}{n}.[/mm]
Ja, du kannst überabzählbar viele Vektoren erzeugen, allerdings nur abzählbar viele linear unabhängige! Und das ist das wichtige daran, das du für eine beliebige abzählbare Menge von Nullfolgen es immer noch ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] gibt, so dass [mm] $(x^n)_{n\in\IN}$ [/mm] Nullfolge und linear unabhängig ist!
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Do 27.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Mach folgendes (möglicherweise hat Gono das gemeint):
Sei NF:= Vektorraums aller Nullfolgen
Zu jedem x [mm] \in [/mm] (0,1) sei die Folge [mm] F_x \in [/mm] NF definiert durch [mm] $F_x= (x^n)$
[/mm]
Da (0,1) überabzählbar ist, ist
$T:= [mm] \{F_x: x \in (0,1) \}$ [/mm] eine überabzählbare Teilmenge von NF
Seien [mm] $F_{x_1}, [/mm] ..., [mm] F_{x_k} \in [/mm] T, [mm] s_1, ..,s_k \in \IR$ [/mm] und
(*) [mm] $s_1F_{x_1}+...+s_k F_{x_k}= [/mm] 0$ (= Nullvektor in NF)
Wir können
(**) [mm] x_1>x_2>...>x_k [/mm] annehmen.
Aus (*) folgt:
[mm] $s_1x_1^n+...+s_kx_k^n=0$ [/mm] für jedes n
Daraus folgt
[mm] $s_1+s_2(\bruch{x_2}{x_1})^n+ ...+s_2(\bruch{x_k}{x_1})^n$ [/mm] für jedes n
Mit (**) und n [mm] \to \infty, [/mm] folgt daraus dann [mm] s_1 [/mm] = 0.
Somit: [mm] $s_2F_{x_2}+...+s_k F_{x_k}= [/mm] 0$
Genauso zeigt man jetzt [mm] s_2 [/mm] =0, ..., [mm] s_k=0.
[/mm]
Fazit: T ist eine linear unabhängige Teilmenge von NF
FRED
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 16:10 Do 27.05.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Gemeint ja, aber zeigen sollte sie es schon irgendwie allein^^
Aber danke fürs posting^^
MFG,
Gono.
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Danke euch!
Ich habe es dank Gono's Tipp eh so ähnlich gemacht. Aber gut, dass du es nochmal hingeschrieben hast, meine Argumentation war nämlich nicht so schön.
Gruß
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Gibts das...Jetzt hab ich selbst aus den Augen verloren was ich beweisen wollte. Das was ich oben beschrieben habe, war ein Beweis zur Überabzählbarkeit der Nullfolgen, was natürlich klar ist. Eigentlich wollte ich ja beweisen, das die Basis überabzählbar ist!!
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