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| Aufgabe | Berechnen sie eine Basis von U [mm] \cap [/mm] V.
Basen von V und U sind:
{ [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] }
sowie: { [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 4 \\ 0 \\ 1} [/mm] } |
Hallo,
ich weiß ab einem gewissen Punkt nicht mehr richtig weiter.
Das habe ich bis jetzt:
Da dim(U) = 3 und dim(V) = 2 und dim(U+V) = 4 muss dim(U [mm] \cap [/mm] V) = 1 sein.
Ich schreibe mir also hin:
[mm] \alpha_1 [/mm] * [mm] u_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 [/mm] * [mm] u_2 [/mm] + [mm] \alpha_3 [/mm] * [mm] u_3 [/mm] - [mm] \alpha_4 [/mm] * [mm] v_1 [/mm] - [mm] \alpha_5 [/mm] * [mm] v_2 [/mm] = 0.
Daraus ergibt sich folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1}
[/mm]
Diese habe ich in Zeilenstufenform mit Gauß umgewandelt (Das Ergebnis stimmt sicher):
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2}
[/mm]
Ab hier bin ich mir nicht mehr richtig sicher, habe aber so weitergemacht:
Ich ergänze eine Zeile zur Matrix, die im letzten Eintrag eine 1 stehen hat, die aber nicht 0, sondern [mm] \lambda [/mm] ist. Dann bringe ich alles, was oben drüber steht auf die andere seite. Dann ergibt sich:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & |2\lambda \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & |1\lambda \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & |2\lambda \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & |2\lambda \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & |\lambda}
[/mm]
Jetzt weiß ich leider wirklich nicht mehr weiter, ich vermute irgendetwas wie:
Da das ja alle Vektoren in U und V sind, muss ich das jetzt gleich eine der Basen setzen.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank!
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> Berechnen sie eine Basis von U [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V.
> Basen von V und U sind:
> { [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
> sowie: { [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 4 \\ 0 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
> Hallo,
> ich weiß ab einem gewissen Punkt nicht mehr richtig
> weiter.
> Das habe ich bis jetzt:
> Da dim(U) = 3 und dim(V) = 2 und dim(U+V) = 4 muss dim(U
> [mm]\cap[/mm] V) = 1 sein.
>
> Ich schreibe mir also hin:
> [mm]\alpha_1[/mm] * [mm]u_1[/mm] + [mm]\alpha_2[/mm] * [mm]u_2[/mm] + [mm]\alpha_3[/mm] * [mm]u_3[/mm] -
> [mm]\alpha_4[/mm] * [mm]v_1[/mm] - [mm]\alpha_5[/mm] * [mm]v_2[/mm] = 0.
>
> Daraus ergibt sich folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1}[/mm]
>
> Diese habe ich in Zeilenstufenform mit Gauß umgewandelt
> (Das Ergebnis stimmt sicher):
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2}[/mm]
Hallo,
hieraus lesen wir ab:
[mm] a_5 [/mm] können ir frei wählen,
[mm] a_5=t, \qquad t\in \IR.
[/mm]
Aus Zeile 4 bis Zeile 1 erfahren wir
[mm] a_4=2t
[/mm]
[mm] a_3=2t
[/mm]
[mm] a_2=t
[/mm]
[mm] a_1=2t, [/mm] und wissen:
alle Lösungen [mm] \vektor{a_1\\\vdots\\a_5} [/mm] des LGS haben die Gestalt
[mm] \vektor{a_1\\\vdots\\a_5}=\vektor{2t\\t\\2t\\2t\\t}.
[/mm]
Genau das hast Du mit Deiner Methode auch herausbekommen.
Was lernen wir daraus?
Alle Vektoren v, die im Schnitt liegen, können wir schreiben als
v=[mm]2tu_1 + tu_2 + 2tu_3[/mm] [mm] =t(2u_1+u_2+2u_3)
[/mm]
bzw.
als
[mm] v=2tv_1+tv_2=t(v_1+v_2).
[/mm]
Eine der möglichen Basen des Schnittes anzugeben, fällt nun sicher nicht mehr schwer.
LG Angela
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> Ab hier bin ich mir nicht mehr richtig sicher, habe aber so
> weitergemacht:
>
> Ich ergänze eine Zeile zur Matrix, die im letzten Eintrag
> eine 1 stehen hat, die aber nicht 0, sondern [mm]\lambda[/mm] ist.
> Dann bringe ich alles, was oben drüber steht auf die
> andere seite. Dann ergibt sich:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & |2\lambda \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & |1\lambda \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & |2\lambda \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & |2\lambda \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & |\lambda}[/mm]
>
> Jetzt weiß ich leider wirklich nicht mehr weiter, ich
> vermute irgendetwas wie:
> Da das ja alle Vektoren in U und V sind, muss ich das
> jetzt gleich eine der Basen setzen.
>
> Kann mir jemand weiterhelfen?
>
> Vielen Dank!
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Alles klar, danke, ich glaube ich habe es verstanden.
Ich nehme mal die Vektoren aus V statt aus U (Da es nur 2 sind und nicht 3). Da es um den Schnitt geht, muss ich ja eben auch alle Vektoren aus dem Schnitt mit der Basis von V darstellen können.
Ich bekomme dann:
[mm] t*(2v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] = [mm] t*\vektor{2 \\ 4 \\ 2 \\ 1},
[/mm]
somit ist die Basis von U [mm] \cap [/mm] V = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1 \\ 1/2}
[/mm]
Stimmt das so?
Danke nochmal!
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> Alles klar, danke, ich glaube ich habe es verstanden.
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> Ich nehme mal die Vektoren aus V statt aus U (Da es nur 2
> sind und nicht 3). Da es um den Schnitt geht, muss ich ja
> eben auch alle Vektoren aus dem Schnitt mit der Basis von V
> darstellen können.
>
> Ich bekomme dann:
>
> [mm]t*(2v_1[/mm] + [mm]v_2)[/mm] = [mm]t*\vektor{2 \\ 4 \\ 2 \\ 1},[/mm]
> somit ist
> die eine Basis von U [mm]\cap[/mm] V = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1 \\ 1/2}[/mm]
Hallo,
das Gleichheitszeichen macht mir gerade Augenkrebs, aber der Vektor ist eine Basis - vorausgesetzt, Du hast richtig gerechnet, was ich nicht überprüfe.
[mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 2 \\ 1} [/mm] ist aber eine mindestens ebensoschöne Basis.
LG Angela
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> Stimmt das so?
> Danke nochmal!
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