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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Mo 18.07.2011 | | Autor: | Stsch |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich habe einige Fragen.
1. Wie bestimmt man die Basis von U+V (zwei Matrizen)?
2. Kann man die Basis von U [mm] \cap [/mm] V bestimmen? Wenn ja, wie??
Bei 1. habe ich mal im internet schlau gemacht, aber ich weiß nicht ob ich dies richtig verstanden habe. Also sagen wir mal ich habe die Matrizen
U=< ( -1,1,-1,1),(3,1,3,1),(3,-1,3,-1)> [mm] \subseteq \IR^4, [/mm]
V=<(4,7,7,4),(2,-7,-7,2), (1,-3,-3,1)> [mm] \subseteq \IR^4, [/mm]
die Basis von U ist [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
und die Basis von V ist [mm] \vektor{4 \\ 7 \\ 7 \\ 4} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ -3 \\ -3 \\ 1}
[/mm]
Für die Basis von U+V nehme ich jetzt die Basisvektoren von beiden und schreibe sie in eine Basis( oder hätte ich direkt die Matrizen nehmen sollen und nicht die basisvektoren)
[mm] \pmat{ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 3 & 1 \\ 4 & 7 & 7 & 4 \\ 1 & -3 & -3 & 1}
[/mm]
Die Basis von U+V ist jetzt die linear unabhängigen Spaltenvektoren, also die ganze Matrix [mm] \pmat{ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 3 & 1 \\ 4 & 7 & 7 & 4 \\ 1 & -3 & -3 & 1}
[/mm]
Stimmt das so? (in der Vorschau sind immer ander Zahlen in der Matrix, ich weiß aber nicht wieso)
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:38 Di 19.07.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo, ich habe einige Fragen.
> 1. Wie bestimmt man die Basis von U+V (zwei Matrizen)?
U und V sind keine Matrizen, sondern (Unter-)Vektorräume. (siehe weiter unten)
> 2. Kann man die Basis von U [mm]\cap[/mm] V bestimmen? Wenn ja,
> wie??
>
> Bei 1. habe ich mal im internet schlau gemacht, aber ich
> weiß nicht ob ich dies richtig verstanden habe. Also sagen
> wir mal ich habe die Matrizen
> U=< ( -1,1,-1,1),(3,1,3,1),(3,-1,3,-1)> [mm]\subseteq \IR^4,[/mm]
U ist ein Untervektorraum des [mm] \IR^4[/mm],
und [mm] $\vektor{-1\\1\\-1\\1}, \vektor{3\\1\\3\\1}, \vektor{3\\-\\3\\-1}$ [/mm] ist ein Erzeugendensystem von U.
> V=<(4,7,7,4),(2,-7,-7,2), (1,-3,-3,1)> [mm]\subseteq \IR^4,[/mm]
V ist ein Untervektorraum des [mm] \IR^4[/mm],
und [mm] $\vektor{4\\7\\7\\4}, \vektor{2\\-7\\-7\\2}, \vektor{1\\-3\\-3\\1}$ [/mm] ist ein Erzeugendensystem von V.
> die Basis von U ist [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ -1 \\ 1}[/mm] , [mm]\vektor{3 \\ 1 \\ 3 \\ 1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und die Basis von V ist [mm]\vektor{4 \\ 7 \\ 7 \\ 4}, \vektor{1 \\ -3 \\ -3 \\ 1}[/mm]
> Für die Basis von U+V nehme
> ich jetzt die Basisvektoren von beiden
... und erhalte ein Erzeugendensystem von U+V.
> und schreibe sie in
> eine Basis( oder hätte ich direkt die Matrizen nehmen
> sollen und nicht die basisvektoren)
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 3 & 1 \\ 4 & 7 & 7 & 4 \\ 1 & -3 & -3 & 1}[/mm]
Da die Vektoren [mm] $\vektor{-1 \\ 1 \\ -1 \\ 1}, \vektor{3 \\ 1 \\ 3 \\ 1}, \vektor{4 \\ 7 \\ 7 \\ 4}, \vektor{1 \\ -3 \\ -3 \\ 1}$ [/mm] linear unabhängig sind,
bilden sie eine Basis von U+V.
>
> Die Basis von U+V ist jetzt die linear unabhängigen
> Spaltenvektoren,
> also die ganze Matrix [mm]\pmat{ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 3 & 1 \\ 4 & 7 & 7 & 4 \\ 1 & -3 & -3 & 1}[/mm]
... aber eine Basis ist keine Matrix,
sondern eine Basis sind immer linear unabhänginge Vektoren,
die ein Erzeugendensystem des Vektorraums sind.
>
> Stimmt das so? (in der Vorschau sind immer ander Zahlen in
> der Matrix, ich weiß aber nicht wieso)
Eine Basis von U+V lässt sich auch durch viele andere Vektoren darstellen.
Zum Beispiel auch durch die kanonische Basis [mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}$ [/mm]
oder jede anderen vier linear unabhänigen Vektoren aus dem [mm] $\IR^4$, [/mm]
denn U+V = [mm] $\IR^4$.
[/mm]
Beachte den Unterschied zwischen ![[]](/images/popup.gif) Matrizen und Basis eines Vektorraums.
> Gruß
Gruß
meili
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