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Basis Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:57 So 10.02.2019
Autor: rubi

Hallo zusammen,

ich soll eine Basis des Vektorraums V bestimmen, der das Erzeugnis (linearen Hülle) der folgenden Vektoren ist:

a= [mm] \vektor{3 \\ 8 \\ 7 \\ 3} [/mm] ; b= [mm] \vektor{1 \\ 9 \\ 5 \\ -3} [/mm] ; c= [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 2 \\ 6}; [/mm] d= [mm] \vektor{-1 \\ 10 \\ 3 \\ -9} [/mm]

Mit dem Ansatz [mm] s_1*a+s_2*b+s_3*c+s_4*d=0 [/mm] bin ich auf die folgende Lösung gekommen, die auch richtig ist:

[mm] s_4 [/mm] = [mm] s_4 [/mm]
[mm] s_3 [/mm] = [mm] s_3 [/mm]
[mm] s_2 [/mm] = [mm] s_3 -2s_4 [/mm]
[mm] s_1 [/mm] = [mm] -s_3+s_4 [/mm]

Das heißt die Vektoren sind linear abhängig und die Dimension von V ist 2.
Um eine mögliche Basis von V zu bestimmen, habe ich mir folgendes überlegt:

Ich schreibe die Lösungsmenge in der Form:

L = [mm] s_3*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] s_4*\vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 1} [/mm]

Ich dachte nun, dass ich die beiden Vektoren in der Lösungsmenge auch als Basis von V nutzen kann.
Aber das scheint nicht zu stimmen, weil ich mit den beiden Vektoren in der Linearkombination nicht mehr den Vektor a darstellen kann:

[mm] \vektor{3 \\ 8 \\ 7 \\ 3} [/mm] = [mm] s_3*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] s_4*\vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 1} [/mm]
führt mit [mm] s_3 [/mm] = 7 und [mm] s_4 [/mm] = 3 zu einem Widerspruch.

Wo ist mein Fehler bzw. wie kann ich eine Basis von V bestimmen ?

Hinweis:
Mir ist klar, dass ich speziell in diesem Fall die Vektoren b und c als Basis nehmen könnte, weil b + c = a und b - c = d ist.
Ich möchte jedoch einen allgemeinen Rechenweg für eine Basis kennen.

Danke für Eure Antworten.

Viele Grüße
Rubi








        
Bezug
Basis Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:49 So 10.02.2019
Autor: leduart

Hallo
mit deiner Lösung hast du doch nur gezeigt, dass die Vektoren Lin. abhängig sind und der UVR 2 d ist. Die so gefundenen Vektoren liegen doch nicht in dem VR. nachdem du gezeigt hast , dass der VR 2d ist kannst du 2 beliebige der Vektoren, die nicht proportional sind als Basis nehmen.
Gruß ledum

Bezug
        
Bezug
Basis Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 So 10.02.2019
Autor: rubi

Hallo Leduart,

danke für die Antwort.
Wie ich in diesem Fall eine Basis erhalten könnte, ist mir klar.
Aber was mache ich, wenn ich z.B. im [mm] R^5 [/mm] eine lineare Hülle von 5 Vektoren habe die linear abhängig sind, aber der Untervektorraum der linearen Hülle eine Dimension von 4 hat ?
Dann kann ich ja nicht zwangsläufig 4 der Vektoren beliebig auswählen und als Basis verwenden (ich müsste zunächst prüfen, ob die 4 ausgewählten Vektoren linear unabhängig sind - falls sie linear abhängig sind müsste ich 4 andere auswählen und prüfen) Ich finde das vom Verfahren her relativ aufwändig.
Gibt es hier kein anderes Verfahren, so wie ich es vom Prinzip dargestellt habe, mit dem man eine Basis einer linearen Hülle zusammenbauen kann ?

Viele Grüße
Rubi

Bezug
                
Bezug
Basis Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 So 10.02.2019
Autor: angela.h.b.

Hallo,

man kann die Frage mithilfe der Zeilenstufenform beantworten.

Stelle die Vektoren zunächst als Spalten in eine Mat rix, welche Du auf Zeilenstufenform bringst:


[mm] \pmat{3&1&2&-1\\8&9&-1&10\\7&5&2&3\\3&-3&6&-9} [/mm]

--> [mm] \pmat{\red{1}&4&-3&7\\0&\red{1}&-1&2\\0&0&0&0\\0&0&0&0} [/mm]

Die Spalten der Ursprungsmatrix, in denen in der ZSF die führenden Einsen der Nichtnullzeilen stehen, sind eine Basis des aufgespannten Raumes, hier also die erste und zweite Spalte: a=  [mm] \vektor{3 \\ 8 \\ 7 \\ 3} [/mm]  ; b=  [mm] \vektor{1 \\ 9 \\ 5 \\ -3} [/mm]


Oder Du legst die Spalten der Vektoren als Zeilen in eine Matrix, bringst diese auf ZSF, richtest die Nichtnullzeilen wieder auf und hast eine Basis des aufgespannten Raumes gefunden.

LG Angela

Bezug
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