Basis aus R³,aus Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Fr 27.01.2012 | | Autor: | darek89 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Basis des R³, die aus Eigenvektoren von A besteht.
A=
[mm] \begin{pmatrix}
5 & 2 & -2 \\
-8 & -3 & 4 \\
4 & 2 & -1
\end{pmatrix} [/mm] |
Das charakteristische Polynom von A ist [mm] p(\lambda)=(\lambda)^3-(\lambda)^2-\lambda+1
[/mm]
Dann sind die Eigenwerte : [mm] \lambda_{1/2} [/mm] =1
Nach der weiteren berechnung folgt das rgA= 1 ist also gibs 2 frei wählbare Parameter und somit folgen 2 Eigenvektoren.
[mm] v_1=\begin{pmatrix} -1/2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] v_2=\begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Meine Frage ist nun:
Ist die Berechnung soweit richtig?
Und vorallem : Wie bekomme ich einen dritten Eigenvektor heraus? Auch unabhängig von dieser Aufgabe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Bestimmen Sie eine Basis des R³, die aus Eigenvektoren von
> A besteht.
> A=
> [mm]\begin{pmatrix}
5 & 2 & -2 \\
-8 & -3 & 4 \\
4 & 2 & -1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Das charakteristische Polynom von A ist
> [mm]p(\lambda)=(\lambda)^3-(\lambda)^2-\lambda+1[/mm]
>
> Dann sind die Eigenwerte : [mm]\lambda_{1/2}[/mm] =1
Halb Richtig .. [mm] p(\lambda)=(\lambda)^3-(\lambda)^2-\lambda+1= (\lambda-1)^{2}(\lambda+1)
[/mm]
demnach ist [mm] \lambda=\pm1
[/mm]
der wert [mm] \lambda=1 [/mm] besitzt algebraische vielfachheit 2, [mm] \lambda=-1 [/mm] algebraische vielfachheit 1
>
> Nach der weiteren berechnung folgt das rgA= 1 ist also gibs
> 2 frei wählbare Parameter und somit folgen 2
> Eigenvektoren.
> [mm]v_1=\begin{pmatrix} -1/2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]v_2=\begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Meine Frage ist nun:
> Ist die Berechnung soweit richtig?
> Und vorallem : Wie bekomme ich einen dritten Eigenvektor
> heraus? Auch unabhängig von dieser Aufgabe.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
deine vektoren wäre zb: [mm] v(1)=(1,-2,1)^{T}, v(2)=(1,0,2)^{T}, v(3)=(-1,2,0)^{T}
[/mm]
nun musst du zb nur noch v(1) ermitteln. die beiden anderen sind korrekt
LG Scherzkrapferl
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ps: meinen Eigenvektor v(1) ermittelst du mit dem Eigenwert [mm] \lambda=-1
[/mm]
Schema: [mm] (A-\lambda*I)v=0
[/mm]
Deine 3 linear unabhängigen Eigenvektoren bilden dann deine Basis
Liebe Grüße Scherzkrapferl
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