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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Do 25.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Es sei U ein Unterraum des Vektorraums V := [mm] \IR^5 [/mm] der von der Menge
S:={ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 3 \\ 1 \\ 1} ,\vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \\ 0}, \vektor{0 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{2 \\ 2 \\ 5 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1} [/mm] }erzeugt wird. Bestimmen Sie eine Basis [mm] B_U [/mm] von U mit [mm] B_U \subset [/mm] S |
Hallo zusammen,
wollte diese Aufgabe mal machen.
Kann ich das so machen, dass ich jeweils den Rang der einzelnen Vektoren berechne um so zu sehen welche voneinander linear abhängig sind?
Hab so mal angefangen:
Setze r= 0
da der Rang von [mm] s_1 \not= [/mm] 0 -> [mm] r_1=1 [/mm] > 0
Setze r=1 und [mm] b_1 [/mm] = [mm] s_1
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 3 & 2 \\ 1 & 2 \\ 1 & 0 } [/mm] ~ [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 3 & 2 \\ 1 & 2 \\ 0 & 0 } [/mm] ~ [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 2 \\ 1 & 2 \\ 0 & 0 } [/mm] ~ [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 2 \\ 1 & 2 \\ 0 & 0 } [/mm] ~ [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 2 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 } [/mm] ~ [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm]
[mm] r_2 [/mm] > r -> [mm] b_2 [/mm] = [mm] s_2
[/mm]
kann man das so machen?
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> Es sei U ein Unterraum des Vektorraums V := [mm]\IR^5[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
der von
> der Menge
>
> S:={ [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 3 \\ 1 \\ 1} ,\vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \\ 0}, \vektor{0 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{2 \\ 2 \\ 5 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> , [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}erzeugt wird. Bestimmen
> Sie eine Basis [mm]B_U[/mm] von U mit [mm]B_U \subset[/mm] S
> Hallo zusammen,
>
> wollte diese Aufgabe mal machen.
> Kann ich das so machen, dass ich jeweils den Rang der
> einzelnen Vektoren berechne
Hallo,
Vektoren haben keinen Rang - schon von daher ist die Vorgehensweise zum Scheitern verurteilt...
.
Du suchst ja eine möglichst kleine Menge [mm] B_U, [/mm] die den von S erzeugten Unterraum U erzeugt.
Du kannst das so machen:
[mm] \{s_1\} [/mm] ist l.u., da [mm] s_1 [/mm] nicht der Nullvektor ist.
Jetzt guckst Du, ob [mm] \{s_1, s_2\} [/mm] ebenfalls l.u. ist.
Wenn nein, fliegt [mm] s_2 [/mm] raus,
wenn ja, nimmst Du [mm] s_3 [/mm] dazu und prüfst erneut.
Wenn die Menge nicht l.u. ist, fliegt [mm] s_3 [/mm] raus, wenn sie l.u. ist, nimmst Du [mm] s_4 [/mm] dazu und prüfst wieder, usw.
Vielleicht hast Du es so gemeint?
Ansonsten kannst Du auch schematisch vorgehen.
Stell die Vektoren in eine Matrix, welche Du auf ZSF bringst.
Mal angenommen, die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in Spalte 1, 2 und 5.
Dann bilden der 1., 2., 5. Ursprungsvektor eine Basis von U.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 3 & 2 \\ 1 & 2 \\ 1 & 0 }[/mm] ~ [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 3 & 2 \\ 1 & 2 \\ 0 & 0 }[/mm]
> ~ [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 2 \\ 1 & 2 \\ 0 & 0 }[/mm] ~
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 2 \\ 1 & 2 \\ 0 & 0 }[/mm] ~ [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 2 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 }[/mm]
> ~ [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm]
>
> [mm]r_2[/mm] > r -> [mm]b_2[/mm] = [mm]s_2[/mm]
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> kann man das so machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Do 25.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Gut danke!! Meinte das mit der l.u auch aber habs leider bisschen schlecht ausgedrückt!!
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