Basis bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Geben Sie eine Basis fuer diesen Vektorraum :
x* [mm] \begin{pmatrix} 17 \\ 42 \\ 17 \end{pmatrix} [/mm] |
Meine Loesung lautet :
[mm] 17x_1 [/mm] + [mm] 42x_2 [/mm] + [mm] 17x_3 [/mm] =0 [mm] x_2= \lambda [/mm] ; [mm] x_3= [/mm] v , [mm] \lambda, [/mm] v [mm] \in\IR
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -42/17 \lambda - v + 0 \\ \lambda + 0 + 0 \\ 0+0+v \end{pmatrix} [/mm]
und so bekomme ich die Basis wie folgt :
[mm] \vec [/mm] (x) = [mm] \lambda \begin{pmatrix} -42/17 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
Habe ich die Basis richtig gegeben oder ???
Danke im Voraus,
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Di 24.07.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Geben Sie eine Basis fuer diesen Vektorraum :
>
> x* [mm]\begin{pmatrix} 17 \\
42 \\
17 \end{pmatrix}[/mm]
was ist denn das für ein VR. Sollte da nicht so etwas stehen, wie
[mm]\left \{ x\in\IR^3 \ \ | \ \ 17*x_1+42*x_2+17*x_3=0\right \}[/mm] ?
> Meine
> Loesung lautet :
>
> [mm]17x_1[/mm] + [mm]42x_2[/mm] + [mm]17x_3[/mm] =0 [mm]x_2= \lambda[/mm] ; [mm]x_3=[/mm] v , [mm]\lambda,[/mm] v [mm]\in\IR[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\
x_2 \\
x_3 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -42/17 \lambda - v + 0 \\
\lambda + 0 + 0 \\
0+0+v \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> und so bekomme ich die Basis wie folgt :
> [mm]\vec[/mm] (x) = [mm]\lambda \begin{pmatrix} -42/17 \\
1 \\
0 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\begin{pmatrix} -1 \\
0 \\
1 \end{pmatrix}[/mm]
Wo ist denn dein v geblieben.
> Habe ich die Basis richtig gegeben oder ???
Ja, [mm]\left \{ \vektor{-\bruch{42}{17}\\
1 \\
0}, \vektor{-1 \\
0 \\
1} \right \}[/mm] ist eine Basis des VRs.
> Danke im Voraus,
>
>
Gruß
barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:17 Mi 25.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
>
> > Geben Sie eine Basis fuer diesen Vektorraum :
> >
> > x* [mm]\begin{pmatrix} 17 \\
42 \\
17 \end{pmatrix}[/mm]
>
> was ist denn das für ein VR. Sollte da nicht so etwas
> stehen, wie
>
> [mm]\left \{ x\in\IR^3 \ \ | \ \ 17*x_1+42*x_2+17*x_3=0\right \}[/mm]
> ?
>
>
> > Meine
> > Loesung lautet :
> >
> > [mm]17x_1[/mm] + [mm]42x_2[/mm] + [mm]17x_3[/mm] =0 [mm]x_2= \lambda[/mm] ; [mm]x_3=[/mm] v , [mm]\lambda,[/mm]
> v [mm]\in\IR[/mm]
>
>
> > [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\
x_2 \\
x_3 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} -42/17 \lambda - v + 0 \\
\lambda + 0 + 0 \\
0+0+v \end{pmatrix}[/mm]
> >
> >
> > und so bekomme ich die Basis wie folgt :
> > [mm]\vec[/mm] (x) = [mm]\lambda \begin{pmatrix} -42/17 \\
1 \\
0 \end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\begin{pmatrix} -1 \\
0 \\
1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Wo ist denn dein v geblieben.
>
> > Habe ich die Basis richtig gegeben oder ???
>
> Ja, [mm]\left \{ \vektor{-\bruch{42}{17}\\
1 \\
0}, \vektor{-1 \\
0 \\
1} \right \}[/mm]
> ist eine Basis des VRs.
so überzeugend würde ich das erst beantworten, wenn wir mal geklärt hätten, wie der Vektorraum wirklich aussieht.
Der Vektorraum
[mm] $$x*\vektor{17\\42\\17}\,,$$
[/mm]
den man so nicht schreiben sollte (egal, wie er zu verstehen ist), könnte man ja auch auffassen als
[mm] $$\left\{x*\vektor{17\\42\\17}: x \in \IR\right\}\,.$$
[/mm]
Für letzteren gebe ich ohne jegliches nachdenken direkt eine ganz banale Basis an.
Also: Hier gibt's enorme Notationsmängel - wo auch immer die herkommen! Ohne, dass geklärt ist, was obige Notation meint (denn selbst wenn, wie Du meinst, da auch noch etwas vergessen worden ist, ist die Notation einfach schrecklich - wenngleich auch leider nicht ungebräuchlich: Man erinnere sich dran, dass man manchmal in der Schule eine Ebene [mm] $E\,$ [/mm] durch den Nullpunkt als Vektorraum bezeichnet (was ja okay ist) und sagt, dass die Ebene $E: [mm] x=p+\alpha*q+\beta*r\,$ [/mm] sei (mit $p,q,r [mm] \in \IR^3$ [/mm] fest) und [mm] $\alpha,\beta\,$ [/mm] variable Skalare). Man sagt also, dass eine Gleichung eine Ebene sei?! Also nur nebenbei: So wurde uns das teilweise von manchen Lehrern in meiner Schulzeit verkauft. Ich frage mich, warum sie nicht einfach das gesagt haben, was da wirklich gemeint ist, nämlich das, was ich unten nochmal erläutere: Diese (bzw. eine solche) Gleichung charakterisiert eine Ebene!)
Was man damit aber meint, ist, dass die Gleichung [mm] $x=p+\alpha*q+\beta*r\,$ [/mm] die Menge [mm] $E\,$ [/mm] charakterisiert:
[mm] $$E=\{x \in \IR^3: x=p+\alpha*q+\beta*r,\;\;\;\alpha,\beta \in \IR\}$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 Mi 25.07.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo Marcel,
wie der VR letztendlich ausschaut, weiß nur fidanfidan.
Jetzt wurde aber im Folgenden die Rechnung [mm] $17x_1+42x_2+17x_3=0$ [/mm] aufgemacht. Da habe ich den VR mal so - wie in meiner Antwort - interpretiert.
Es kommt ja häufiger vor, dass Aufgabenstellungen nicht korrekt/vollständig abgeschrieben werden.
Dass die Notation generell - insb. beim Lösungsweg - zu wünschen übrig lässt, habe ich auch bemerkt - aber was soll ich dazu sagen. Meist kommt dann die Rückantwort, "dass haben wir in der Schule/Uni auch so gemacht" - du erläuterst das Problem ja selbst.
Mal sehen, ob sich fidanfindan noch einmal meldet und Licht ins Dunkel bringt.
Viele Grüße,
barsch
|
|
|
| |
|
Ich entschuldige mich, dass ihr so lange auf meiner Antwort gewartet habt.
Ihr habt Recht. Ich habe jetzt bemerkt dass ich ein Schreibfehler gemacht habe .
Ich schreibe nochmal die ganze Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Menge der Elemente x [mm] \in\IR^3, [/mm] die
x* [mm] \begin{pmatrix} 17 \\ 42 \\ 17 \end{pmatrix} [/mm] =0 erfuellen, ein Vektorraum ist.
Geben Sie eine Basis fuer diesen Vektorraum an !
Ob des ein Vektorraum ist, wurde schon bewiesen.
Und ich habe schon eine Basis fuer diesen Vektorraum angegeben, nun wollte ich wissen ob ich aber eine richtige Basis angegeben habe oder nicht ???
Beste Gruesse,
Fidan > Hallo Marcel,
>
> wie der VR letztendlich ausschaut, weiß nur fidanfidan.
>
> Jetzt wurde aber im Folgenden die Rechnung
> [mm]17x_1+42x_2+17x_3=0[/mm] aufgemacht. Da habe ich den VR mal so -
> wie in meiner Antwort - interpretiert.
> Es kommt ja häufiger vor, dass Aufgabenstellungen nicht
> korrekt/vollständig abgeschrieben werden.
>
> Dass die Notation generell - insb. beim Lösungsweg - zu
> wünschen übrig lässt, habe ich auch bemerkt - aber was
> soll ich dazu sagen. Meist kommt dann die Rückantwort,
> "dass haben wir in der Schule/Uni auch so gemacht" - du
> erläuterst das Problem ja selbst.
>
> Mal sehen, ob sich fidanfindan noch einmal meldet und Licht
> ins Dunkel bringt.
>
> Viele Grüße,
> barsch
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Mi 25.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich entschuldige mich, dass ihr so lange auf meiner Antwort
> gewartet habt.
>
> Ihr habt Recht. Ich habe jetzt bemerkt dass ich ein
> Schreibfehler gemacht habe .
>
> Ich schreibe nochmal die ganze Aufgabe:
>
> Zeigen Sie, dass die Menge der Elemente x [mm]\in\IR^3,[/mm] die
> x* [mm]\begin{pmatrix} 17 \\ 42 \\ 17 \end{pmatrix}[/mm] =0
> erfuellen, ein Vektorraum ist.
> Geben Sie eine Basis fuer diesen Vektorraum an !
>
> Ob des ein Vektorraum ist, wurde schon bewiesen.
>
> Und ich habe schon eine Basis fuer diesen Vektorraum
> angegeben, nun wollte ich wissen ob ich aber eine richtige
> Basis angegeben habe oder nicht ???
Ja, hast Du
FRED
>
> Beste Gruesse,
>
> Fidan > Hallo Marcel,
> >
> > wie der VR letztendlich ausschaut, weiß nur fidanfidan.
> >
> > Jetzt wurde aber im Folgenden die Rechnung
> > [mm]17x_1+42x_2+17x_3=0[/mm] aufgemacht. Da habe ich den VR mal so -
> > wie in meiner Antwort - interpretiert.
> > Es kommt ja häufiger vor, dass Aufgabenstellungen
> nicht
> > korrekt/vollständig abgeschrieben werden.
> >
> > Dass die Notation generell - insb. beim Lösungsweg - zu
> > wünschen übrig lässt, habe ich auch bemerkt - aber was
> > soll ich dazu sagen. Meist kommt dann die Rückantwort,
> > "dass haben wir in der Schule/Uni auch so gemacht" - du
> > erläuterst das Problem ja selbst.
> >
> > Mal sehen, ob sich fidanfindan noch einmal meldet und Licht
> > ins Dunkel bringt.
> >
> > Viele Grüße,
> > barsch
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:24 Do 26.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo barsch,
das war auch keine direkte Kritik an Dir, sondern wirklich ein Hinweis drauf, dass oft unschöne Notationen (die nicht immer zwingend klar sind, wenn es nicht irgendwann mal klar erläutert wurde) wie selbstverständlich benutzt werden.
Ich finde es gut, dass Du aus dem Kontext heraus alles richtig interpretiert hast - aber genau da wollte ich Dich auch warnen: Manchmal steckt man nämlich dann viel Mühe rein, etwas zu interpretieren und irgendwie passt das dann alles mit ein paar kleinen Korrekturen zu dem Rest, was geschrieben wurde, zusammen. Da hat man dann einiges an Energie reingesteckt. Und dann kommt der Fragesteller und sagt, dass die Aufgabe aber doch eigentlich ganz anders war...
Deswegen: Ich hab' mir abgewöhnt, vorschnell zu viel "aus dem Kontext" herauszulesen und damit zu arbeiten - ich warte dann lieber auf eine Bestätigung oder Ergänzung bzgl. der Aufgabenstellung. Kann nämlich manchmal viel Nerven sparen -vor allem dann, wenn man etwas in die Aufgabenstellung hineininterpretiert, was die Aufgabe kompliziert werden läßt, während die Originalaufgabe vielleicht doch einfach ganz einfach war... (Nur, dass man das nicht glauben wollte, dass solche einfache Aufgaben gestellt werden).
Wie gesagt: Ist keine Kritik an Dir, sondern es ist nur ein kleiner Hinweis, dass Du Dich nicht irgendwann mal ärgerst, dass Dir sowas auch passiert ist.
Und die Notationsmängel: Schon jedes Lehrbuch, wo sowas drinsteht, dass [mm] $y=m*x+n\,$ [/mm] eine Gerade sei, verdient seinen Namen nicht. Warum nimmt man sich nicht den minimalen Platzanspruch und erklärt, was man eigentlich mit solch einer Aussage meint? Wenn man ergänzen würde, dass diese Sprechweise nur eine Kurzsprechweise dafür ist, zu sagen, dass etwa der Graph der Funktion $y=f(x)=m*x+n$ eine Gerade des [mm] $\IR^2$ [/mm] ist, hätte man das wenigstens etwas gerettet. Wenngleich ich das auch nicht schön fände, man könnte da sicher didaktisch bessere Sprechweisen einführen. Ich hab' auch niemals gesagt, dass eine Gleichung eine Gerade ist oder sowas. Sondern ich habe höchstens gesagt, dass da eine Geradengleichung steht. Oder dass da eine Gleichung steht, die eine Gerade charakterisiert.
Aber nun gut: In Zeiten des Bachelor und Mastersystems wird eh das meist propagierte gelernt und benutzt - drüber nachzudenken, ob das wirklich "vernünftig" definiert wurde, ist da nicht mehr so wichtig. Hauptsache, man weiß, welches Schema damit angesprochen wurde. Aber das ist eigentlich wieder ein anderes Problem...
Gruß,
Marcel
> Hallo Marcel,
>
> wie der VR letztendlich ausschaut, weiß nur fidanfidan.
>
> Jetzt wurde aber im Folgenden die Rechnung
> [mm]17x_1+42x_2+17x_3=0[/mm] aufgemacht. Da habe ich den VR mal so -
> wie in meiner Antwort - interpretiert.
> Es kommt ja häufiger vor, dass Aufgabenstellungen nicht
> korrekt/vollständig abgeschrieben werden.
>
> Dass die Notation generell - insb. beim Lösungsweg - zu
> wünschen übrig lässt, habe ich auch bemerkt - aber was
> soll ich dazu sagen. Meist kommt dann die Rückantwort,
> "dass haben wir in der Schule/Uni auch so gemacht" - du
> erläuterst das Problem ja selbst.
>
> Mal sehen, ob sich fidanfindan noch einmal meldet und Licht
> ins Dunkel bringt.
>
> Viele Grüße,
> barsch
>
|
|
|
|
