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Hallo,
ich habe die drei Vektoren:
[mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 9 }, \vektor{1 \\ 3 \\ 0 }, \vektor{1 \\ -1 \\ 4 }
[/mm]
Jetzt soll ich eine Basis bestimmen, zu dem augespannten Untervektorraum von [mm] R^n
[/mm]
Alle 3 Vektoren sind linear unabhängig, das hab ich schon ausgerechnet.
Das bedeuter doch, das ich 3 Basen habe.
Oder kann ich diese in eine Basis zusammenfügen?
Danke
Philipp
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:49 Fr 25.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ob die 3 lin unabh. sind hab ich nicht überprüft. wenn sie es sind hast du einen 3-dim- Raum ,der davon aufgespannt wird.
die Basis besteht also aus 3 lin unabh. Vektoren. Du kannst die gegebenen nehmen oder die üblichen des [mm] R^3, [/mm] also [mm] (1,0,0)^T (0,1,0)^T (0,0,1)^T [/mm] falls dus nicht kennst ^T macht aus Zeilenvektoren Spaltenvektoren.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:33 Fr 25.01.2008 | | Autor: | guenther |
Alle drei Vektoren zeigen im dreidimensionalen Raum in verschiedene Richtungen so, daß sie nicht in einer Ebene liegen.
Also ist jeder andere Vektor durch eine Kombination dieser drei gegebenen Vektoren darstellbar, jeder Punkt des Raumes ist erreichbar.
Wären die gegebenen 3 Vektoren linear abhängig, lägen sie in einer Ebene, wodurch diese Ebene nicht verlassen werden kann, Punkte außerhalb der Ebene also nicht erreichbar wären.
lg, guenther
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:15 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Philipp,
> Hallo,
> ich habe die drei Vektoren:
>
>
> [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 9 }, \vektor{1 \\ 3 \\ 0 }, \vektor{1 \\ -1 \\ 4 }[/mm]
>
> Jetzt soll ich eine Basis bestimmen, zu dem augespannten
> Untervektorraum von [mm]R^n[/mm]
>
> Alle 3 Vektoren sind linear unabhängig, das hab ich schon
> ausgerechnet.
> Das bedeuter doch, das ich 3 Basen habe.
Arbeite bitte an Deiner (mathematischen) Sprache bzw. Ausdrucksweise. Der [mm] $\IR^3$ [/mm] hat unendlich viele Basen (sogar überabzählbar viele, was man z.B. daran erkennt, dass für ein jedes festgewähltes [mm] $\alpha \in \IR\backslash\{0\}$ [/mm] die drei Vektoren [mm] $(\alpha,0,0)^T, (0,1,0)^T, (0,0,1)^T$ [/mm] linear unabhängig sind), Du hast nachgerechnet, dass die obigen 3 Vektoren linear unabhängig sind. Damit bilden sie dann eine Basis des [mm] $\IR^3$, [/mm] weil eine Menge von Vektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] genau dann eine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist, wenn sie aus 3 linear unabhängigen Vektoren besteht. Deine obigen Vektoren bilden eine Basis des [mm] $\IR^3$, [/mm] eine weitere mögliche Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist die - von leduart angegebene - sogenannte kanonische Basis, und noch eine weitere wäre z.B. mittels [mm] $(1,0,0)^T, (1,1,0)^T, (1,1,1)^T$ [/mm] gegeben. Was haben diese Basen gemeinsam? Genau, die Anzahl der "Basisvektoren" ist immer gleich (und diese sind stets linear unabhängig), nämlich 3, und würde man irgendeinen weiteren Vektor des [mm] $\IR^3$ [/mm] hinzunehmen, so wären diese 4 Vektoren dann linear abhängig.
Du kannst Dir übrigens behalten:
Wenn man $m$ Vektoren mit $m > n$, $m,n [mm] \in \IN$ [/mm] im [mm] $\IR^n$ [/mm] gegeben hat, so sind diese immer linear abhängig.
So sind z.B. immer $7000$ Vektoren im [mm] $\IR^{6997}$ [/mm] linear abhängig 
Also ich hoffe, Du verinnerlichst irgendwann mal die Aussagen wie:
- Maximale Menge linear unabhg. Vektoren
- Minimales Erzeugendensystem
- Austauschlemma von Steinitz
etc. und erkennst, was das ganze mit dem Begriff "Basis" zu tun hat.
Gruß,
Marcel
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