Basis bzgl. dom f bzgl. Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Mo 11.12.2006 | | Autor: | Hollo |
| Aufgabe | Die lineare Abbildung f : [mm] \IR^{3} [/mm] -> [mm] \IR^{3} [/mm] sei bezueglich der Standardbasis durch
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 } \in M(3x3,\IR) [/mm] gegeben.
1. Zeige, daß die ersten beiden Spalten von A linear unabhaengig sind, dass aber alle drei Spalten linear abhangig sind.
2. Zeige, daß es eine Basis B des Wertebereiches von f gibt, so dass die Matrix A' von f bezueglich der Standardbasis im Definitionsbereich und der Basis B im Wertebereich von der Form
[mm] A'=\pmat{ 1 & 0 & a_{1} \\ 0 & 1 & a_{2} \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
mit [mm] a_{1}, a_{2} \in \IR [/mm] ist.
3. Bestimme fur eine solche Basis [mm] a_{1}, a_{2} [/mm] und die Uebergangsmatrizen [mm] M_{B_{0},B} [/mm] und [mm] M_{B,B_{0}}. [/mm]
Hierbei bezeichne B = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) die Standardbasis.
|
Hallo, ich glaub ich komme mit dieser Aufgabe nicht wirklich zurecht...
Naja, also:
Zu 1.) Hab ich gezeigt.
Zu 2.)Hier weiß ich gar nicht weiter. Angenommen ich würde eine solche Basis finden, würde es reichen sie einfach anzugeben?
Zu 3.)Für [mm] a_{1}, a_{2} [/mm] bekomme ich -1 und 2 raus, indem ich A auf die Form von A' bringe. Kann aber nicht wirklich begründen warum ich das gemacht habe. Die Übergangsmatrizen würde ich am liebsten so berechnen:
[mm] A*M_{B_{0},B}=A' [/mm] bzw. [mm] A'*M_{B,B_{0}}=A. [/mm] Funktioniert aber irgendwie nicht...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Mo 11.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
durch 1) weißt du doch, dass die ersten beiden Spalten der Matrix eine Basis des Bildes bilden (die Spalten erzeugen ja das Bild udn diese hier sind lin.unabhängig).
Ich nenne die Spalten jetzt mal [mm] v_1 [/mm] bis [mm] v_3
[/mm]
dann gilt offensichtlich [mm] $v_3=2*v_2-v_1$
[/mm]
also wenn [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] nun deine ersten Basisvektoren im Wertebereich sind, ist wirklich [mm] a_1=-1 [/mm] und [mm] a_2=2
[/mm]
Also wähle als Basis des Wertebereiches : [mm] $B=\{ v_1, v_2, v' \}$, [/mm] wobei v' ein ergänzter Basisvektor zum [mm] $\IR^3$ [/mm] ist.
(aber der wird ja nie getroffen, musst dennoch einen ausrechnen!)
Ist die dann klar, warum die Matrix dann gerade die Gestalt A' hat?
so und zur dritten Frage liest du am besten einfach mal den Artikel :  Transformationsmatrix
dann soll danach gelten : $ [mm] A=M_{B_{0},B}*A' [/mm] $
und $ [mm] A'=M_{B,B_{0}}*A [/mm] $
(wenn [mm] M_{X,Y} [/mm] die Basisgestalt bzgl X in die bzgl Y umwandelt
(ich weiß ja nicht, ob ihr das auch so herum definiert habt) )
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Mo 11.12.2006 | | Autor: | Hollo |
Hi Damenge!
Vielen Dank schonmal, poste nachher Ergebnisse oder vielleicht weitere Fragen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:47 Mo 11.12.2006 | | Autor: | Hollo |
Em wie berechne ich denn diesen dritten Vektor v'?
Kann man teil c) evtl. auch ohne Transformationen lösen, weil ich fürchte der Begriff ist bei uns noch nicht gefallen... Man kann doch in die Gleichungen [mm] A=M_{B_{0},B}*A' [/mm] und [mm] A'=M_{B_{0},B}*A [/mm] einfach A und A' konkret einsetzen, aber dann kommen ganz eklige sachen raus und das geht bestimmt einfacher?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Mo 11.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du kannst z.B : [mm] v'=e_3 [/mm] (der dritte kanonische einheitsvektor) setzen
dann musst du nur noch zeigen, dass die drei vektoren dann wirklich linear unabhängig sind.
Wenn du ganz allgemein wissen willst, wie man eine Basis praktisch ergänzen kann, dann schau mal HIER
> Kann man teil c) evtl. auch ohne Transformationen lösen,
> weil ich fürchte der Begriff ist bei uns noch nicht
> gefallen...
Deine Übergangsmatrizen SIND die Transformationsmatrizen !
(ihr nennt die nur anders)
>Man kann doch in die Gleichungen
> [mm]A=M_{B_{0},B}*A'[/mm] und [mm]A'=M_{B_{0},B}*A[/mm] einfach A und A'
> konkret einsetzen, aber dann kommen ganz eklige sachen raus
> und das geht bestimmt einfacher?
was setzt du denn jetzt als [mm] $M_{B_{0},B}$ [/mm] ein um das Produkt zu berechnen ?!?
(Hast du den Artikel denn gelesen?)
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mo 11.12.2006 | | Autor: | Hollo |
Ich wollte für [mm] M_{B_{0},B} [/mm] einfach ganz naiv sowas einsetzen :
[mm] \pmat{ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} } [/mm] und dann ein paar Gleichungssysteme lösen um die [mm] a_{i}, b_{i}, c_{i} [/mm] zu bekommen.
Arbeite grad den Artikel durch..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Mo 11.12.2006 | | Autor: | Hollo |
Ah okay, wir nennen Transformationsmatrizen Basiswechselmatrizen. Und ich brauche nur [mm] M_{B_{0},B} [/mm] zu berechnen weil [mm] (M_{B_{0},B})^{-1}=M_{B,B_{0}}. [/mm] Wie funktioniert das konkret?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Mo 11.12.2006 | | Autor: | Hollo |
Ah, jeder Vektor der neuen Basis lässt sich als Lin.komb. der alten Basis schreiben, das macht man und erhält Matrix [mm] M_{B_{0},B}=
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Korrekt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:14 Di 12.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Und ich brauche nur [mm]M_{B_{0},B}[/mm] zu
> berechnen weil [mm](M_{B_{0},B})^{-1}=M_{B,B_{0}}.[/mm]
Es ist zwar richtig, dass man [mm]M_{B_{0},B}[/mm] einfach hinschreiben kann, aber die Inverse musst danach auch schon noch explizit berechnen.
> $ [mm] \pmat{ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] $
wenn du den ersten Basisvektor von [mm] B_0 [/mm] in Basisdarstellung bzgl [mm] B_o [/mm] an die Matrix von RECHTS multiplizierst, also wenn du [mm] $\vektor{1\\0\\0}$ [/mm] daran multiplizierst, soll der Vektor bzgl B rauskommen, also: [mm] $\vektor{1\\4\\7}$
[/mm]
siehst du nun, wo dein Fehler liegt?
(analog mit den beiden anderen Einheitsvektoren)
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
|
